【北师大版2020中考数学专项复习】：特殊三角形
【2020中考数学专项复习】：特殊三角形
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质：
(1)具有三角形的一切性质；
(2)两底角相等(等边对等角)；
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．
要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2．性质：
(1)直角三角形中两锐角互余；
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：
（1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；
（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．
3．判定：
(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】
类型一、等腰三角形
1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长．
【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．
【答案与解析】
延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．
∵∠EDC=∠DCB=120°∴∠DCM=∠CDM=60°，
∴△MDC为等边三角形∠M=60°，
同理△BAP，△EFN均为等边三角形．
∠M=∠N=60°∴△MNP为等边三角形，
MD=MC=6，PB=PA=1，
NE=NF=EF，
MP=6+9+1=16=MN=NP，
EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．
FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，
∴周长为1+9+6+8+2+13=39．
【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.
举一反三：
【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．
【答案】.
2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
(1)求证:AE=AF．
(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
【思路点拨】菱形的定义和性质.
【答案与解析】
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D ，
又∵BE=DF，∴≌．
∴AE=AF．
(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA ,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴, ．
∴．
又∵AE=AF ∴是等边三角形．
【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.
举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形例4】
【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.
求证：CE=DE.
【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，
∵等边△ABC，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．
∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，
∴BF＝BE，
∴等边△BEF，
∴EF＝BE，∠F＝∠B，
∴△BCE≌△FDE（SAS）．
∴CE＝DE．
类型二、直角三角形
3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．求证：(1)△ACE≌△BCD； (2)．
【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.
【答案与解析】(1) ∵，
∴，
即．
∵，
∴△BCD≌△ACE．
(2) ∵，
∴．
∵△BCD≌△ACE，
∴，
∴．
∴．
【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.
4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.
【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
理由如下：
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB．
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．
∵∠AFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
∴AE⊥BD．
【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.
举一反三：
【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.
【答案】.
类型三、综合运用
5 .（2019•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴ABP S △=
12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=1
2
AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△，
∴
12AB•PE+12AC•PF=1
2
AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.
【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键． 【答案与解析】
（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=
12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=1
2
AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △，
∴
12AB•PE=12AC•PF+1
2
AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵ABC S △=
1
2
AB•CH，AB=AC ， ∴
1
2
×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：
①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH， ∴PE=CH -PF=7-3=4；
②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10． 故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.
6．在△ＡＢＣ中，AC=BC ，
，点D 为AC 的中点．
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作
，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC 一般就要证三角形全等.
【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．
延长交于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
∴DG∥CB．
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且．
∴DG为的中位线．
∴．
∵AC=BC，
∴DC=DG．
∴DC- DE =DG- DF．
即EC =FG．
∵∠EDF =90°，，
∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
∴∠1 =∠2．
∵与都是等腰直角三角形，
∴∠DEF =∠DGA = 45°．
∴∠CEF =∠FGH = 135°．
∴△CEF ≌△FGH．
∴ FH=FC．
（2）FH 与FC 仍然相等．
【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.
举一反三：
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】
【变式】如图， △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中
点，下列结论：①tan ∠AEC=; ②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≥S ⊿ACE ; ③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D.
中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1． 已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）
A ．a 2
B ．a 2
C ．a 2
D ．a 2
CD
BC M E D
C B A
A ．（1）和（2）
B ．（2）和（3）
C ．（3）和（4）
D ．（1）和（4）
3.如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC=90°，在底边BC 上截取BD=AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4.如图，三角形纸片ABC 中，∠B=2∠C ，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B 落在AC 边上的E 处，那么下列等式成立的是（ ）A ．AC=AD+BD B ．AC=AB+BD C ．AC=AD+CD D ．AC=AB+ CD
5．（2019•镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A.51
1()32a ⨯ B ．511()23a ⨯ C ．611()32a ⨯ D. 611()23
a ⨯ 6. 用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．①②③
二、填空题
7．如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和
正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.
以下五个结论：
① AD=BE ；② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°.
恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).
8．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_____（只需写出～的角度）．
9.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为
，则斜边的长为 .
5
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD 的面积是_________.
11．如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点P与点P′之间的距离为_________，∠APB=_________.
12．.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.
三、解答题
13. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中
点，连接BM，DM．
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．
14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
图1
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,
EF＝4.求GH的长.
图2
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.直
接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
图3图4
15．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你做出猜想：
当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
16.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
2.【答案】B.
【解析】此题采取排除法做．
（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排
除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．
【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C= 45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=
90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等
腰三角形共4个．
4.【答案】B.
【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.
5.【答案】A.
6.【答案】B.
【解析】当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：
（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；
（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；
（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．选B
二、填空题
7．【答案】①②③⑤.
【解析】提示：证△ACD ≌△BCE, △ACP ≌△BCQ.
8．【答案】50°.
9
【解析】设直角边为a,b,斜边为c ，则a +b =3，222a b c +=，1122
ab c =⨯，代入即可. 10．【答案】1，
.
【解析】
∵△BPC 是等边三角形，∴∠PCD=30°
做PE ⊥CD,得PE=1，即△CDP 的面积是=12
×2×1=1； 根据即可推得BCD BPD BPC PCD
S
S S S +=+. 11．【答案】6 ，150°.
12．【答案】
. 三、解答题
13.【答案与解析】 （1）结论：BM=DM ，∠BMD=2∠BCD ．
理由：∵BM 、DM 分别是Rt △DEC 、Rt △EBC 的斜边上的中线，
∴BM=DM=1
2 CE；
又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；
同理可得∠DME=2∠DCM；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．
（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD 证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=1
2
EC=MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴DM=1
2
EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=MC，DM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，
∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=1
2
EC=ME；
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=1
2
EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．
（3）所画图形如图所示：
图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．
14.【答案与解析】(1) 证明：
如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°.
∵∠EOB=∠AOF＝90°,
∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．
(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF=BN,GH=AM，
∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4．
(3) ①8．②4n．
15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=1355°,
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°．
∵AE=MC，∴BE=BM
∴∠BEM=∠EMB=60°
∴∠AEM=120°．
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°
∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM
∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（3）
16.【答案与解析】⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形 考点1：等腰三角形的性质与判定 1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______． 【答案】54° 【分析】 首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可． 【详解】 ∠ AF =EF . ∠ ∠A =∠AEF . ∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°. ∠ ∠A =36°. ∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°. ∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°． 故答案为：54°． 2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．
【答案】11802α︒- 【分析】 由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论． 【详解】 解：在∠ABD 中.AB =BD ∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒- ∠ 在∠BCD 中.BC =BD ∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒- ∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠= ∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022 ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒- ∠+∠ =11802 ABC ︒-∠ =1 1802α︒- 故答案为：11802α︒-． 3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．
【北师大版2020中考数学专项复习】：特殊三角形
【2020中考数学专项复习】：特殊三角形 【考纲要求】 【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°． 要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形． 考点二、直角三角形 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形； (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释： （1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高； （2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形． 3．判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形； (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形； (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】 类型一、等腰三角形 1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长． 【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．
2020届中考数学复习专题：三角形(含答案)
2020届中考数学复习专题：三角形 1．定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为，那么称这个三角形为“神奇三角形”． （1）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°． ①当AC＝BC时，求证：△ABC是“神奇三角形”； ②当AC≠BC时，且△ABC是“神奇三角形”，求tan A的值； （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，若∠DCB＝45°，求证：△ABC 是“神奇三角形”． 2．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E． （1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由； （2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值； （3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE． （1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数； （2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明理由． 4．（1）发现 如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE． 填空： ①∠DCE的度数是； ②线段CA、CE、CD之间的数量关系是． （2）探究 如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由． （3）应用 如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．
2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合(含答案)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F （1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC； （2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长． （3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长． 2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值； （3）在点E的运动过程中，若，求的值．
3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足． （1）求点A，C的坐标； （2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S △PAB ＝S △POC ，若存在，请求出t的值， 并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．一副三角板直角顶点重合于点B ，∠A ＝∠C ＝45°，∠D ＝60°，∠E ＝30°． （1）如图（1），若∠AFE ＝75°，求证：AB ∥DE ； （2）如图（2），若∠AFE ＝α，∠BGD ＝β，则α+β＝ 度． （3）如图（3），在（1）的条件下，DE 与AC 相交于点H ，连接CE ，BH ，若DG ＝2CG ＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．
特殊三角形培优专项训练(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：特殊三角形培优专项训练一．选择题 1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论： ①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（） A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④ 【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△DAB≌△EAC， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确， ∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确， ∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确， ∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确， 故选：A． 2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（） A．2B．C．8D．9 【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：连接EF、DF， ∵BD⊥AC，F为BC的中点，
∴DF＝BC＝9， 同理，EF＝BC＝9， ∴FE＝FD，又G为DE的中点， ∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5， 由勾股定理得，FG＝＝2， 故选：A． 3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（） A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定 【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6， ∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C．
中考数学专项训练特殊三角形含解析
特殊三角形 一、选择题 1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（） A．18° B．24° C．30° D．36° 2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（） A．30° B．35° C．40° D．50° 3．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（） A．25 B．25或32 C．32 D．19 4．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（） A． cm B． cm C． cm D．8cm 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为． 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题 6．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为． 7．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为． 8．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ． 9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ． 10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．
2020年中考数学复习 第11章 三角形(专题复习讲义)
第十一章三角形 知识点1 三角形基础知识 三角形概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 ⏹三角形特性 三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。 ⏹三角形按边分类 ➢等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 ➢等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。 ⏹三角形三边的关系（重点） （1）三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 （2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ⏹三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 典例1 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（） A．1 B．2 C．8 D．11 【答案】C 【标准解答】设第三边长为x，则有 7-3 即4 2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题（二次函数综合） 1．综合与探究 如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ，()0,3C 三点，与y 轴交于点C ，作直线BC ． (1)求抛物线和直线BC 的函数解析式． (2)D 是直线BC 上方抛物线上一点，求BDC 面积的最大值及此时点D 的坐标． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标． 3．已知，如图，抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点Q 是线段AB 上的动点，作QM x ⊥轴交抛物线于点M ，求线段QM 长度的最大值； (3)在x 轴上是否存在点N 使ADN △为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，过点P 作x 轴的垂线l ，垂线l 交BC 于点E ，AD ∥垂线l ，求证ADM PEM ∽；当PM AM 最大时，求点P 的坐标及PM AM 的最大值； (3)在(2)的条件下，在l 上是否存在点D ，使BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 中考总复习：全等三角形—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（） A．B．C．或 D．或 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个 C．3个 D．2个 3．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13 4．下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( ) (1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5. 已知：△ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（） A. B. C. D. 6.（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二、填空题 7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_____________度． 8．如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为_________. 9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB=10，则 △BDE的周长等于____________. 10．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于_________. 11. （2015春•鄄城县期中）如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为，∠ABD=． 12.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为． 三、解答题 13. 如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问： （1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由； （2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？ 《特殊三角形》过关检测 一、选择题(本大题共16小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.对于命题“已知:a∥b,b∥c,求证:a∥c”.如果用反证法,应先假设( ) A.a不平行b B.b不平行c C.a⊥c D.a不平行c 2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是( ) A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 第2题图第3题图第4 题图 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB等于( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 4.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法判断 5.给出下列几组 数:①6,7,8;②8,15,16;③n2-1,2n,n2+1;④m2-n2,2mn,m2+n2(m>n>0),其中能组 成直角三角形的三条边长是( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 6.下列命题中:①两直角边对应相等的两个直角三角形全等;②两锐角对应相 等的两个直角三角形全等;③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等;⑤一锐角和一边对应相 等的两个直角三角形全等.其中正确的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上.若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为( ) A.√ B.2 C.√3 D.√2 第7题图第8题图 第9题图 8.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,F为BC的中点,DE=5,BC=8,则△DEF的周长是( ) A.13 B.15 C.18 D.21 9.如图,在△ABC中,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分线分别交DE 于点E,D,若AC=3,AB=4,则DE的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2020中考数学临考大专题复习：三角形 一、选择题（本大题共8道小题） 1. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则() A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 2. 如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为() A.30° B.35° C.40° D.45° 3. 已知:如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，BC=√5，以点B为圆心，BC 为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为() A.2√2 B.2√3 C.√5 D.√6 4. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是() 5. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为() A.AB=√41，BC=4，AC=5 B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5 C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.cos A-1 2+tan B-√3 3 2=0 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是() A.45° B.60° C.75° D.85° 7. 如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是☉P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 8. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N.若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为() A.21 B.22 C.24 D.26 二、填空题（本大题共5道小题） 9. 如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=. 第17讲特殊三角形 【考点梳理】 1．等腰三角形 (1)性质： 等腰三角形的两底角相等，两腰相等； 等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”； 等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴． (2)判定： 有两角相等的三角形是等腰三角形； 有_两边相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形 (1)性质：三边相等，三个内角都等于60°； 等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴． (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．直角三角形 (1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2. (2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． 4．等腰直角三角形 (1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_. (2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形. 【高频考点】 考点1：等腰三角形的性质及相关计算 【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)． (1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF； 2021年中考数学复习之专题突破训练《专题八：特殊三角形》 一、选择题 1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( ) A ．5，6，7 B ．1，4，8 C ．5，12，13 D ．5，11，12 2．已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则该等腰三角形的周长是( ) A ．9cm B ．12cm C ．12cm 或15cm D ．15cm 3．如图，ABC ∆中，10BC =，边BC 的垂直平分线DE 分别交AB 、BC 于点E 、D ，6BE =，则BCE ∆的周长是( ) A ．16 B ．22 C ．26 D ．21 4．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 边上，35DBC ∠=︒，则ADB ∠的度数为( ) A ．25︒ B ．60︒ C ．85︒ D ．95︒ 5．如图，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，以下结论正确的有几个？( ) ①ABD ACD ∆≅∆；②AB AC =；③B C ∠=∠；④AD 是ABC ∆的角平分线． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．如图，已知ABC ∆的面积为12，BP 平分ABC ∠，且AP BP ⊥于点P ，则BPC ∆的面积是( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 7．在平面直角坐标系中，等腰ABC ∆的顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)、(2,2)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C 有( )个． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( ) A ．AC 、BC 两边高线的交点处 B ．A C 、BC 两边垂直平分线的交点处 C ．AC 、BC 两边中线的交点处 D ．A ∠、B ∠两内角平分线的交点处 9．已知：在ABC ∆中，60A ∠=︒，如要判定ABC ∆是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法： ①如果添加条件“AB AC =”，那么ABC ∆是等边三角形； ②如果添加条件“B C ∠=∠”，那么ABC ∆是等边三角形； ③如果添加条件“边AB 、BC 上的高相等”，那么ABC ∆是等边三角形． 上述说法中，正确的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 10．如图，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且E 是AC 的中点．若6AD =，5DE =，则CD 的长等于( ) 第13讲特殊三角形 [基础篇] 一、等腰三角形 1、等腰三角形的概念：两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 底边 2、等腰三角形的性质： 2.1 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)； 2.2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”； 2.3 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴。 3、等腰三角形的证明方法： 3.1 有两个角相等的三角形是等腰三角形； 3.2 “两线合一”可证“三线合一” 二、等边三角形 1、等边三角形的性质 1）三条边相等； 2）等边三角形的内角都相等,且等于60 °； 3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一； 4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 2、等边三角形的判定 1）三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形； 3）有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形。 [技能篇] 类型一：等腰三角形概念 例1-1 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） （A ）42°； （B ）60°； （C ）36°； （D ）46° 例1-2 ABC ∆中，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，75BDC ∠=︒，则A ∠的度数是（ ） （A ）35°； （B ）40°； （C ）70 °； （D ）110° 例1-3 等腰三角形的对称轴是（ ） （A ）顶角的平分线； （B ）底边上的高； （C ）底边上的中线； （D ）底边上的高所在的直线 例1-4 如图，ABC ∠中，AD BC ⊥，AB AC =，30BAD ∠=︒，且AD AE =，则EDC ∠等于（ ） （A ）10； （B ）125︒．； （C ）15° （D ）20° 例1-5 ABC ∆中AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个 例1-6 如图，已知OC 平分AOB ∠，//CD OB ，若3OD cm =，则CD 等于（ ） （A ）3cm ； （B ）4cm ； （C ）1.5cm ； （D ）2cm 例1-7 如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ， 过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；•③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =．其中正确的有（ ）． （A ）①②③； （B ）①②③④； （C ）①②； （D ）① C B E D C A B 0B D E F 2020年中考数学二轮专题——特殊三角形 基础过关 1. (2018滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ＝BC ，若∠C ＝54°，则∠A 的度数为( ) A. 27° B. 30° C. 36° D. 45° 第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，如果CE ＝8，则ED 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. (2019抚顺)若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 5. (2019天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( ) A. (1，1) B. (1，3) C. (3，1) D. (3，3) 第5题图 第6题图 6. (2019宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为( ) A. 40° B. 45° C. 55° D. 70° 7. (2019张家界)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的 距离等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第7题图第8题图 8. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，则DE的长为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. (2019郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全．等．的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是() A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 第9题图第10题图 10. (2017成都黑白卷)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为() A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 11. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第11题图第12题图 12. 如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为() A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 45 13. 如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接P A, PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第13题图第14题图 14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC边的距离之和等于() 2020年中考数学复习：《三角形综合》专题训练 1.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1,在^ ABC 中，AD 平分Z BAG, Z ABC = 2Z C.求证：AC= AB+BD ; 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2,在AC上截取AE,使得AE= AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题. 方法二：如图3,延长AB到点E,使得BE= BD,连接DE ,可以得到等腰三角形，进而解决问题. (1)根据阅读材料，任选 一种方法证明 的方法，解决下面的问题; (2)如图4,四边形ABCD中，E是BC上一点, B = 90° ,探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明.EA= ED, Z DCB = 2Z B, ZDAE + Z 根据自己的解题经验或参考小明 AC = AB+BD, 2.如图，在△ ABC中，/ABC = 30° ,以AC为边作等边△ ACD,连接BD . (1)如图1,若/ ACB = 90° , AB = 4,求^ BCD 的面积； (2)如图2,若Z ACB V 90°，点E为BD中点，连接AE、CE,且AE± CE,延长BC 至点F,连接AF,使得Z F= 30° ,求证V3AE. 3.如图1, OA= 2, OB = 4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ ABC. (1)求C点的坐标； (2)如图2, P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰 作等腰RtA APD,过D作DE ± x轴于E点，求OP - DE的值； (3)如图3,已知点F坐标为(-2, -2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作RtAFGH,始终保持/ GFH = 90° , FG与y轴负半轴交丁点 G ( 0, m), FH与x轴正半轴交丁点H (n, 0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值. 备战2020中考数学三轮复习专项练习：《三角形》 1．如图，▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，F 是AE 上一点，∠FBE ＝45°，FC ⊥CD 于点C ． （1）若AB ＝2 ，BF ＝2，求△ABF 的面积； （2）如图2，连接AC ，求证：AF +BC ＝AC ． 2．如图，点A 的坐标为（﹣6，6），AB ⊥x 轴，垂足为B ，AC ⊥y 轴，垂足为C ，点D ，E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，∠DAE ＝45°． （1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求△DOE 的周长； （2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设△ADE 的面积为S 1，△DOE 的面积为S 2，请猜想S 1与S 2之间的等量关系，并证明你的猜想． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E． （1）求证：△BCE≌△CAD； （2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是． 4．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD 为斜边作等腰Rt△BED，连接EC． （1）如图1，当∠DBA＝30°时： ①求证：AC＝BD； ②判断线段EC与EB的数量关系，并证明； （2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？ 对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路： 想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG； 通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题； 想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题； 想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题． 请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）． 中考复习冲刺：《三角形综合》 1．如图，在三角形ABC 中，AB ＝8，BC ＝16，AC ＝12．点P 从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →＞B →C →A 的方向运动，点Q 从点B 沿B →C →A 的方向与点P 同时出发；当点P 第一次回到A 点时，点P ，Q 同时停止运动；用t （秒）表示运动时间． （1）当t ＝ 秒时，P 是AB 的中点． （2）若点Q 的运动速度是2 3个单位长度/秒，是否存在t 的值，使得BP ＝2BQ ． （3）若点Q 的运动速度是a 个单位长度/秒，当点P ，Q 是AC 边上的三等分点时，求a 的值． 2．如图，在△ABC 中，BC ＝7cm ，AC ＝24cm ，AB ＝25cm ，P 点在BC 上，从B 点到C 点运动（不包括C 点），点P 运动的速度为2cm /s ；Q 点在AC 上从C 点运动到A 点（不包括A 点），速度为5cm /s ．若点P 、Q 分别从B 、C 同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程： （1）经过多少时间后，P 、Q 两点的距离为5cm ？ （2）经过多少时间后，S △PCQ 的面积为15cm 2？ （3）用含t 的代数式表示△PCQ 的面积，并用配方法说明t 为何值时△PCQ 的面积最大，最大面积是多少？ 3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形； （2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝4 2 ，求△ABC面积； （3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 4．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD，使点A的对应点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限． （1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）； （2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值； （3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由． 考向4.4 特殊三角形常考知识点专题 例1、（2021·福建·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上． （1）求证：ADE DFC ∠=∠； （2）求证：CD BF =． 证明：（1）在等腰直角三角形EDF 中，90EDF ∠=︒， ∴90ADE ADF ∠+∠=︒． ∵90ACB ∠=︒， ∴90DFC ADF ACB ∠+∠=∠=︒， ∴ADE DFC ∠=∠． （2）连接AE ． 由平移的性质得//,AE BF AE BF =． ∴90EAD ACB ∠=∠=︒， ∴18090DCF ACB ∠=︒-∠=︒， ∴EAD DCF ∠=∠． ∵EDF 是等腰直角三角形， ∴DE DF =． 由（1）得ADE DFC ∠=∠， ∴AED CDF ≌， ∴AE CD =，∴CD BF =． 1、等腰三角形的最重要的性质“三线合一”，这是中考题中常考点； 2、中考几何综合题的基本特征就是常考知识点三个以上的在一个题中出现，因此解综合题的前题是学生对知识点能全面并熟悉掌握。 3、本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． 中考真题）已知AOB 和△2OM OA ⎫<<⎪⎪⎝⎭ ，90AOB MON ∠=∠=︒． （1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON △绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长． 解：(1)∵AOB 和MON △都是等腰直角三角形， ∴90OA OB ON OM AOB NOM ，，， 又=+=90+AOM NOM AON AON ， =+=90+BON AOB AON AON , ∴=BON AOM ， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴AM BN =； (2)①连接BN ，如下图所示： ∴==90 AOM AOB BOM BOM ， ==90 BON MON BOM BOM ， 且OA OB OM ON ，==， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴45A OBN ，AM BN =，2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题(二次函数综合)【有答案】
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