2020年数学高考第一次模拟试题(及答案)

2020年数学高考第一次模拟试题(及答案)

一、选择题

1．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0

D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0

2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27

B ．11

C ．109

D ．36

3．设函数()()21,0

4,0x log x x f x x ?-<=?≥?

，则()()233f f log -+=（ ）

A ．9

B ．11

C ．13

D ．15

4．已知a R ∈，则“0a =”是“2

()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ．

3

B ．3

C ．23

D ．43

6．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4

B ．16

C ．8

D ．32

7．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．

19

B ．

29

C ．

49

D ．

718

8．在二项式4

2n

x x ?

+ ??

?的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．

1

6

B ．

14

C ．

512

D ．

13

9．函数()1

ln 1y x x

=

-+的图象大致为( ) A ． B ．

C ．

D ．

10．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则 A ．1,1a b ==

B ．1,1a b =-=

C ．1,1a b ==-

D ．1,1a b =-=-

11．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2

f x x x m π

=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是

A ．（1,2）

B ．[1,2）

C ．（1,2]

D ．[l,2]

12．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ??==+> ???

且1)a ≠的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．设n S 是等差数列{}*

()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =

14．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1

sin 3

α=

，则cos()αβ-=___________. 15．若函数3

211()23

2f x x x ax =-++ 在2,3??

+∞????

上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.

16．已知函数sin(2)()22y x ??ππ

=+-<<的图象关于直线3

x π=对称，则?的值是________．

17．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．

18．已知点()0,1A ，抛物线()2

:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交

于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值

为__________．

19．若45100a b ==，则122()a b

+=_____________． 20．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C

c B B

+=+，C 是锐角，且27a =，1

cos 3

A =

，则ABC △的面积为______． 三、解答题

21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α

α

=??

=?（t 为参数，0≤α<π）．以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

244cos 2sin ρρθρθ-=-．

(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程．

22．设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛

物线2

2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1

2

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为6

2

，求直线AP 的方程. 23．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ??

<

，求不等式22510ax x a -+->的解集．

24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=?，

11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是11,AC A B 的中点.

（1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.

25．已知函数()3

2

f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()

1,1P f 处的切线方

程为31y x =+．

（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]

3,1-上的最大值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】

因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．

2．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得

()())((

())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++

0ν1∴=

1ν=1303?+= 2ν33211=?+= 3ν113336=?+=

故答案选D

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】

∵函数2log (1),0()4,0x

x x f x x -

， ∴()2l 23

og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．

故选B ． 【点睛】

本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．

4．C

解析：C 【解析】

因为()2

f x x ax =+是偶函数，所以22

()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=

所以0a =.所以“0a =”是“()2

f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】 解：在ABC ?中， 可得

sin sin BC AC

A B

=

,

即sin 60sin 45

AC 鞍

=

=

解得AC = 故选C. 【点睛】

本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.

6．B

解析：B 【解析】

等比数列的性质可知2

26416a a a ?==,故选B .

7．C

解析：C 【解析】

试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）

（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369

p == 考点：古典概型的计算.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】

因为n

前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -??∴=+?∴-= 1634

18

118,0,1,2,82

r

r r r n n T C x r -

+>∴=∴=?=Q L ，

当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为63679

95

12

A A A =,选C. 【点睛】

本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】

0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．

故选：A. 【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】

因为()a i i b i +=+， 即1ai b i -+=+，

因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-， 故选C. 【点睛】

本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.

11．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：利用辅助角公式化简函数为

()3sin 2cos 2f x x x m

=+-,令,则,所以此时函数即为

.令

有

,根据题意可知

在

上有两个解,

根据在函数图像可知,

.

考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.

12．D

解析：D 【解析】 【分析】

本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】

当01a <<时，函数x

y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1

x y a

=

过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ??=+

?

??过定点1

(,0)2

且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数

x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1

x y a

=

过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ?

?=+ ??

?过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】

易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.

二、填空题

13．25【解析】由可得所以

解析：25 【解析】

由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5

252

S +?=

=． 14．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边

解析：7

9

-

【解析】

试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么

1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3

βα=-=），

所以()2

2

2

7

cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19

αβαβαβααα-=+=-+=-=-

. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式

【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.

15．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性

解析：1

(,)9

-+∞

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：2

2

11()2224f x x x a x a ??=-++=--++ ??

?'．当23x ??∈+∞????，时，()f x '的最大值为

22239f a ??=+ ???'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9??

-+∞ ???

．

考点：利用导数判断函数的单调性．

16．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间

解析：6

π-

. 【解析】

分析：由对称轴得π

π()6

k k Z ?=-

+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13???

+=± ???

，所以2πππππ()326k k k Z ??+=+=-+∈，，因

为ππ22?-

<<，所以π

0,.6

k ?==- 点睛：函数sin()y A x B ω?=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π

T ω

=

；(3)由π

π()2

x k k ω?+=

+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ω?-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ω?+≤+≤+∈Z 求减区间.

17．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为

解析：513|22,66x k x k k Z ππππ??+<<+∈????

【解析】

由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1

sin 2

x <， 解得

51322,66

k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|

22,}66

x k x k k Z ππ

ππ+<<+∈. 18．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准

依题意可得焦点F 的坐标为04a ?? ???

，

， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =

13FM MN =Q ∶∶

KN KM ∴=∶

又

014

04

FN K a a --=

=-，

FN KN K KM

==-4

a

-∴

=-a =点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知

MF MK =，再根据题设得到KN KM =∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，

进而求解实数a 的值

19．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2

【解析】 【分析】

根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】

45100a b ==Q ，

4log 100a ∴=，5log 100b =，

10010010012

log 42log 5log 1001a b ∴+=+==， 则1222a b ??+= ???

故答案为2 【点睛】

本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基

20．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理

解析：【解析】 【分析】 由

cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C

C B

=，故sin2sin2B C =，于是得到

B C =或2

B C π

+=

，再根据1

cos 3

A =

可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求

出b c ==

【详解】

由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22

sin cos 2cos sin cos 2cos B C C

C B B =， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠，

∴

sin cos sin cos B C

C B

=， ∴sin2sin2B C =， 又,B C 为三角形的内角， ∴B C =或2

B C π

+=，

又1cos 3

A =

， ∴B C =，于是b c =．

由余弦定理得2

2

2

2cos ,a b c b A =+-

即(2

2222

3

b b b =+-，

解得b =，故c =

∴11sin 223

ABC S bc A ?=

==

故答案为． 【点睛】

正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题

21．(Ⅰ) ()()2

2

219x y -++=；（Ⅱ）3

4

y x =和x=0. 【解析】 【分析】 （I ）将x cos y sin ρθ

ρθ=??

=?

代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）

将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】

解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ

ρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程得：

曲线C 的直角坐标方程为：2

2

442x y x y +-=- 即()()2

2

219x y -++=

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

()()

22

cos 2sin 19t t αα-++=

整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=-

则12AB t t =-=

=

=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<

得3tan 2

4π

αα=

=

或，直线l 的普通方程为3

4

y x =和x=0 【点睛】

本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.

22．（Ⅰ）2

2

413

y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=.

【解析】

试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12

，则1

2a c -=，又椭

圆的离心率为

1

2

，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联

立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为

m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，

12c a =，2p a =，1

2

a c -=，解得1a =，12c =

，2p =，于是222

34

b a

c =-=. 所以，椭圆的方程为2

2

413

y x +=，抛物线的方程为24y x =.

（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点

21,P m ??-- ???，故21,Q m ??- ???.将1x my =+与22

413

y x +=联立，消去x ，整理得

()

2

23460m

y my ++=，解得0y =，或2634

m

y m -=

+.由点B 异于点A ，可得点

222

346,3434m m B m m ??-+- ?++??

.由21,Q m ?

?- ???，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ??--+????-+-+-= ? ? ?++???

???，令0y =，解得2

2

2332m x m -=+，故2

223,032m D m ??- ?+??.所以2222

23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V 的面积为2，故

2

2162232m m m ??=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.

所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题

【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.

23．132x x ??-<

?

【解析】 【分析】

由不等式的解集和方程的关系，可知

1

2

，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】

解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为

1

2

，2；

由根与系数的关系得552

21a a

?-=????-=??解得2a =-．

所以原不等式化为2530x x +-<解得1

32

x -<< 所以不等式解集为132x x ??-<<

????

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值. 24．（1）证明见解析；（2）35

. 【解析】 【分析】

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】

(1)如图所示，连结11,A E B E ，

等边1

AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，

由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ?平面11A B E ，故EF BC ⊥.

(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.

设1EH =，则3AE EC ==

1123AA CA ==3,3BC AB ==，

据此可得：()()()

1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ??

- ? ???

，

由11

AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ??

???

， 利用中点坐标公式可得：333,344F ??

???，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ??

= ???

u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r

，则：

()()13333,,,,33022223333,,,,002222m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ????=?-=+-=? ? ????

?

????=?-=-+= ?? ????

， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()

3,1m =u r ，333,344EF ??

= ???

u u u r 此时4cos ,53552

EF m EF m EF m

?===??

u u u r u r

u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43

sin cos ,,cos 55

EF m θθ===u u u r u r .

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关

系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 25．（1）()3

2

245f x x x x =+-+；（2）13。

【解析】 【分析】

（1）由f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x=-2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式．

（2）先求函数的导数f′（x ），通过f′（x ）＞0，及f′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可． 【详解】

（1）依题意，()2

32f x x ax b =++'，且()14f =，()13f '=，()20f '-=，

∴143231240a b c a b a b +++=??

++=??-+=?

，解得2a =，4b =-，5c =． ∴()3

2

245f x x x x =+-+．

（2）由（1）知()2

344f x x x '=+-，

令()0f x '=，得2

3

x =或2x =-． ∴当2x <-或23x >

时，()f x 为增函数；当2

23

x -<<时，()f x 为减函数． ∴()f x 在2x =-时取极大值，()213f -=． 又∵()14f =，

∴函数()f x 在区间[]

3,1-上的最大值为13． 【点睛】

本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．