中考数学综合专题训练几何综合题解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析

在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可及基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。

在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目及已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。

一.考试说明要求

图形及证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。

图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决

及直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决及圆周角有关的问题；能解决及切线有关的问题。

图形及变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。

二.基本图形及辅助线

解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题及“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。

举例：

1、及相似及圆有关的基本图形

2、正方形中的基本图形

3、基本辅助线

（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；

（2）及中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；

（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；

（4）特殊图形的辅助线及其迁移

．．．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等

作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数

平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形

平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。

注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

三.题目举例

(一)基本图形及辅助线的添加例1、已知：AC平分MAN

∠

（1）在图1中，若?

=

∠120

MAN，?

=

∠

=

∠90

ADC

ABC，AC

AD

AB___

+。（填写“>”或“<”或“=”）

（2）在图2中，若?

=

∠120

MAN，?

=

∠

+

∠180

ADC

ABC，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：

①若?

=

∠60

MAN，?

=

∠

+

∠180

ADC

ABC，判断AD

AB+及AC的数量关系，并说明理由；

②若)

180

0(?

<

<

?

=

∠α

α

MAN，?

=

∠

+

∠180

ADC

ABC，则AC

AD

AB_____

=

+

（用含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

解：(1) AB＋AD = AC．--------------------------------------------------------------------------1分

(2) 仍然成立．

证明：如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN

于F，

则∠CEA=∠CFA=90°．

∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°，

N

M

A

C

D

E

∴ ∠MAC=∠NAC=60°．

又∵ AC=AC ， ∴ △AEC≌△AFC， ∴ AE=AF ，CE=CF ．

∵ 在Rt △CEA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE ．

∴ AE+AF=2AE=AC ． ∴ ED+DA+AF=AC ．

∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF．

又∵ CE=CF ，∠CED=∠CFB， ∴ △CED≌△CFB． ∴ ED=FB ， ∴ FB+DA+AF=AC ． ∴

AB+AD=AC ．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=3AC ．

证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC． ∴AG=AH ．

∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=

2

3AC ．∴AG+AH=3AC ．

∴GD+DA+AH=3AC ．

方法同(2)可证△GDC≌△HBC． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC ． ∴AD+AB=

3

AC ．---------------------------------------------

A

----------------------------------------6分 ②AB

＋AD ＝

2

cos

2α

·AC ．------------------------------------------------

-------------------7分

例2、已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,

ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的

中点.

图1 图2

(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO

=∠，则PMN △的形状是________________，此时

AD

BC

=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明

PMN BAO △∽△，并计算

AD

BC

的值（用含α的式子表示）；

(3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.

例3、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC=12

. 点D 在边AC 上（不

及A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.

（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF ；

（3）若BC=6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，

点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．

解：（1）k =1；

………….……………………………2分

（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 及AC 的交点为Q .

由题意，tan ∠BAC =12

，∴ 12

BC DE AC

AE

==.

∵ D 、E 、B 三点共线，∴ AE ⊥DB .

∵ ∠BQC =∠AQD ，∠ACB =90°, ∴ ∠QBC =∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG =90°，∠BCG+∠ACG =90°， ∴ ∠ECA =∠BCG . ∴ BCG ACE △∽△. ∴ 12

BC GB AC

AE

==. ∴ GB =DE.

∵ F 是BD 中点， ∴ F 是EG 中点.

B C

A

D

E

F

B D

E

A F

C

B

A

C

1

图2

图备图

2

图B

D E

A

F

C

G

Q

在Rt ECG △中，12

CF EG =, ∴ 2BE DE EG CF -==.

……………………5分

（3）情况1：如图，当AD =13

AC 时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ，

∵∠ACB =90°， tan ∠BAC =12

，且BC = 6, ∴AC =12，AB =65.

∵M 为AB 中点，∴CM =35,

∵AD =13

AC ，

∴AD =4.

∵M 为AB 中点，F 为BD 中点， ∴FM =12

AD = 2.

∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF =CM +FM =23

5+.6

分

情况2：如图，当AD =23

AC 时，取AB 的中点M ，

连结MF 和CM ，

类似于情况1，可知CF 的最大值为

435+. (7)

分

综合情况1及情况2，可知当点D 在靠近点C 的 三等分点时，线段CF 的长度取得最大值为43

5+ (8)

分

（二）直角三角形斜边中线+四点共圆 例4、已知：在△ABC 中，∠ABC =90

, 点E 在直线AB 上, ED 及直

线AC 垂直, 垂足为D ，且点M 为EC 中点, 连接BM , DM .

（1）如图1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 及DM 及∠BMD 及

A

M

F

B

A

F

M

∠BCD所满足

的数量关系, 并直接写出你得到的结论；

（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出

你的猜想并加以证明;

（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM

及DM及∠BMD及∠BCD所满足的数量关系.

图1 图2（三）倍长过中点的线段

例5、请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A B E

，，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG PC

，．若60

ABC BEF

∠=∠=，探

究PG及PC的位置关系及PG

PC

的值．

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

D

A

B

E F

C

P

G 图1

D C

G

P

A B

E

F

图2

B

E

D

A

M

C

B

E

D

A

M

C

E

B

A C

M

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

的值；

（1）写出上面问题中线段PG及PC的位置关系及PG

PC

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好及菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中2(090)

∠=∠=<<，将菱形BEFG绕点B顺

ABC BEFαα

的时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG

PC

值（用含α的式子表示）．

解：（1）线段PG及PC的位置关系是；PG

=．

PC

（四）共端点的等线段，旋转

例6、如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，2

tan=

B.

（1）求证：AD=AE；

（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.

求证：AF

-；

=

EF

DF2

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线E C上任意一点（P不及点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF

及AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

证明：（1）在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴ 2tan ==BE

AE B

∴BE AE 2=． ········ 1分 ∵E 为BC 的中点，

∴BE BC 2=．

∴AE=BC .

∵ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC . ∴AE=AD . ················· 2分

（2）在DP 上截取DH =EF （如图8）．

∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ，

∴∠EAD=90°．

∵EF ⊥PD ，∠1＝∠2， ∴∠ADH =∠AEF ． ∵AD =AE ，

∴△ADH ≌△AEF ． · 4分 ∴∠HAD =∠FAE ，AH =AF ． ∴∠FAH ==90°．

在Rt △FAH 中， AH =AF ，∴AF

FH 2=．

∴AF EF FD HD FD FH 2=

-=-=． 即AF

EF DF 2=-． 5分

（3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF 、EF 、AF 之间的数量关系为：AF EF DF 2=

+．

图1

E

B

C

A

图3

E

B C

A D

图2

E

C

B A

D F

P

H

E

C

B A

D

F

P

2

1

图8

E

C

B

A P D 图9

H

（五）利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线

例7、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和及其中一条对角线的大小关系，

并证明你的结论。

利用平移变换转移线段+作图8、（2011西城一模，25）在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE及AD的交点为P. （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；

（2）若

AC=，CD，求∠APE的度数.

解：（1）9，∠APE=

45°. ……………………2分

（2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF．……………………3分

∴ AD ∥EF ，AD=EF ． ∵

AC =

，CD ，

∴ 3=BD AC ，3==DF

CD

AE CD ． ∴

AC CD

BD DF

=．……………………………………………………4分

∵ ∠C =90°，

∴ 18090BDF C ∠=?-∠=?． ∴ ∠C=∠BDF ．

∴ △ACD ∽△BDF

∴ AD AC BF

BD

=1=∠2．

∴

EF AD BF

BF

=．

∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ． ∴

BF ⊥

EF ．…………………………………………………………6分

∴ 在Rt △BEF 中，tan BF

BEF EF

∠=．

∴ ∠APE =∠

BEF

=30°．…………………………………………7分

解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，

EF ．………………3分

∵ ∠C =90°，

∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，∠1+∠

2=90°．

∵ 在Rt △AEF 中，

tan 3AE AE AF CD ∠=

=在Rt △BDF 中，tan 1BD BD DF

AC

∠==∴ 3130∠=∠=?．

∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠∴ ∠AFD =∠EFB ． …………………4分

又∵ DF

AF BF

EF =

=

∴ △ADF ∽△

EBF ． ………………………………………………5分

∴

∠

4=

∠

5．…………………………………………………………6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5， ∴

∠

APE =∠

3=30°．………………………………………………7分

（六）翻折全等+等腰（及角平分线类比） 例9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组

对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名

B

O

A

D

E

C

称；

（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12

DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个及A ∠相

等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12

DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在

等对边四边形，并证明你的结论．

．解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。 （2）答：及∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形；

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE

证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 点。

因为∠DCB=∠EBC=12

∠A ，BC 为公共边，

所以△BCF ≌△CBG ，

所以BF=CG ，

因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠BEC=∠ABE+∠A ，

所以∠BDF=∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， 所以BD=CE

所以四边形DBCE 是等边四边形。

证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB=∠DBC ，CF 交BE 于F 点。 因为∠DCB=∠EBC=1

2

∠A ，BC 为公共边，

B

O

A

D E

C

F

B C

所以△BDC≌△CFB，

所以BD=CF，∠BDC=∠CFB，

所以∠ADC=∠CFE，

因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，

所以∠ADC=∠FEC，

所以∠FEC=∠CFE，

所以CF=CE，

所以BD=CE，

所以四边形DBCE是等边四边形。

说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有此证法，只给1分。

二、从题目中获得方法的启发，类比解决问题

（一）由角平分线启发翻折，垂线

例1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断

并写出FE及FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由。

解：图略（1）FE及FD之间的数量关系为FE

＝FD。

（2）答：（1）中的结论FE＝FD仍然成立。

证法一：如下图，在AC上截取AG＝AE，连结FG

因为∠1＝∠2，AF为公共边可证△AEF≌△AGF所以∠AFE＝∠AFG，FE＝FG

由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线

可得∠2＋∠3＝60°

所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°所以∠CFG＝60°

由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD所以FG＝FD所以FE＝FD

证法二：如下图，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H 因为∠B＝60°，且AD、CE分别是∠BAC、

∠BCA的平分线，

所以可得∠2＋∠3＝60°，F是△ABC

的内心

所以 ∠GEF ＝60°＋∠1，FG ＝FH

又因为 ∠HDF ＝∠B ＋∠1 所以 ∠GEF ＝∠HDF 因此可证△EGF ≌△DHF 所以 FE ＝FD

（二）启发利用重心分中线，中点相关内容

例2、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离及重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.

已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心， 90=∠CAB ，直线m 过点O ,过C B A 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点

F E D 、、.

(1)当直线m 及BC 平行时（如图1），请你猜想线段CF BE 、和AD 三者之间的数量关系并证明；

(2) 当直线m 绕点O 旋转到及BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不

解（1）猜想：BE+CF=AD (1)

B B 图1 图2 图3

B

A

分

证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形ABC 的重心

∴AO=2OM 且AM ⊥BC

又∵EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥OM ∥CF ∴EB=OM=CF ∴EB+CF=2OM=AD ………………………3分

（2）图2结论：BE+CF=AD

证明：联结AO 并延长交BC 于点G, 过G 做GH ⊥EF 于H 由重心性质可得AO=2OG

∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG

∴△AOD ∽△GOH ∴AD=2HG ………………………………5分 ∵O 为重心 ∴G 为BC 中点

∵GH ⊥EF,BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥HG ∥CF ∴H 为EF 中点 ∴HG=2

1(EB+CF)

∴EB+CF=AD …………………………………………7分

图1

G

B

图2

(3)CF－BE= AD ………………………………………8分

（三）由特殊形解题启发构造哪些相等的角

例3、如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC 和△PAC中，如果存在一个三角形及△ABC相似，那么就称P为△ABC 的自相似点．

⑴图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是

AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC

的自相似点．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留

作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个

内角的度数．

(三) 一题多解及题目的变式及类题

1、点M为正方形ABCD的边AB（或延长线上）任一点（不

及A，B重合），90

DMN

∠=?，射线MN及ABC

∠的外角平分线交于点N，求证：DM=MN.

①②③