2019届中考数学总复习：几何综合问题
2019届中考数学总复习：几何综合问题
【中考展望】
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.
几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.
以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）； 3、几何计算问题； 4、动态几何问题等. 【方法点拨】
一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识： 1、与三角形有关的知识；
2、等腰三角形，等腰梯形的性质；
3、直角三角形的性质与三角函数；
4、平行四边形的性质；
5、全等三角形，相似三角形的性质；
6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；
7、弧长公式与扇形面积公式.
二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：
1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形；
2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；
3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】
类型一、动态几何型问题
1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：
⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？
⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
D A
B
C
Q P
【思路点拨】⑴中应由△QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t，AP=2t，可求出t的值；
⑵中四边形QAPC是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC与△PBC的面积求出；
⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.
【答案与解析】
【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.
2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒
（1）直接写出梯形ABCD的中位线长；
（2）当MN∥AB时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，使得MC=MN．
【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；
（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；
（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【答案与解析】
解：（1）∵AD=3，BC=10，
∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；
（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG=AD=3．
∴GC=10﹣3=7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴=，
即=．
解得，t=；
（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴=，
即=，
解得：t=．
综上所述，t=时，MC=MN．
【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.
3.（2016秋?泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点
D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；
②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．
【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE；
（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；
（3）①运用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得=8，
进而得出CD=8﹣6=2，在Rt△DCE中，求得，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．
【答案与解析】
解：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵BD=CE，AC=BC，
又∵BC=BD+CD，
∴AC=CE+CD；
（2）BD2+CD2=DE2．
证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2；
（3）①（2）中的结论还成立．
理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°=∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2；
②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，
∴=8，
∴BD=CE=8，
∴CD=8﹣6=2，
∴Rt△DCE中，
∵△ADE是等腰直角三角形，
==
∴
【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.
举一反三：
【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0?＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
【答案】（1）∠BPD= 30°；
（2）如图3，连结CD ．
∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，
∴ ∠1=∠2．
∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ． ∵ BD= BD ， ∴ △PBD ≌△CBD ． ∴ ∠BPD=∠3．
∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ， ∴ △BCD ≌△ACD ． ∴ 134302
ACB ∠=∠=∠=?． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150°.
类型二、几何计算型问题
【高清课堂：几何综合问题 例1 】
4.如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E. (1) DE 的长为 ；
(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．
【答案与解析】
【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何
综合题．
举一反三
【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，
∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．
由翻折的性质可知：△AB ′E ≌△ABE ，∴EB ′=EB=2 ∴B ′C=BB ′－BC=22－2， ∵四边形ABCD 是菱形，∴CF ∥BA ．
∴∠ B ′FC=∠B ′AB=90°, ∠B ′CF=∠B=45°
∴CF=
'2B C ∴S B FC △' =221
CF =3－22 ∴S 阴=S B E ′△A －S B FC
′△=22－2．
5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm ，CD=4 cm ，等腰直角△PMN 的斜边
MN=10 cm ， A 点与N 点重合， MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角△PMN 沿AB 所在直线以1 cm ／s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止.
(1)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由________形变化为________形；
(2)设当等腰直角△PMN 移动x (s)时，等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y(cm 2
)，求y 与x 之间的函数关系式；
(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积.
【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN ，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可； （2）可分为以下两种情况：
①当0＜x ≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN ，AN=x （cm ），过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则EH 平分AN ，求出EH ，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x ≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED ，求出AN=x （cm ），CE=BN=10-x ，DE=x-6，过点D 作DF ⊥AB 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ，求出DF ，代入梯形面积公式求出即可. 【答案与解析】
(1)等腰直角三角形；等腰梯形.
(2)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重合部分图形的形状可分为以下两种情况：
①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.
②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．
此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，
∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，
CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，
过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，
则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，
∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.
综上，.
(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，
∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.
∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.
【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.
(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；
(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.
【答案】
(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，
∴∠PAN=∠D=30°.
在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).
∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.
(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，
∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大
据(1)，S△AMN=AM·NP=.
∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.
∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．
当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．
则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.
【巩固练习】
一、选择题
1.（2016?天水）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l 平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）
A．B． C． D．
2.如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是（）
A.16
B.20
C.24
D.28
二、填空题
3.（2016?海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF 的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为 m．
4.如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=_____________cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．
三、解答题
5.有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；将直尺沿AB方向平
移（如图②），设平移的长度为xcm（0≤x≤0 ），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．
（1）当x=0时（如图①），S=________；
（2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式；
（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（4）直接写出S的最大值．
6. 问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
7.如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路AB－BC－CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.
⑴若r=3cm,求⊙O首次与BC边相切时，AO的长；
⑵在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及
相应的切点的个数；
⑶设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的部分面积为S，在S＞0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.
A(O)
O
B C
8.（2015?德州）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD?BC=AP?BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB 相切时，求t的值．
9.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点P是线段AB上一个动点.设BP为x cm，△PCD的面积为y cm2．
(1)求AD 的长；
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
(3)在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
10.如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿边线AB —BC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停下运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交AD 或DC 于Q.设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S.求S 关于t 的函数解析式.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B.
【解析】如图1所示：当0＜x ≤1时，过点D 作DE ⊥BC′．
∵△ABC 和△A′B′C′均为等边三角形， ∴△DBC′为等边三角形．
∴．
∴y=
1
2
x 2．
当x=1时，，且抛物线的开口向上． 如图2所示：1＜x ≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，
垂足为E ．
∵y=
12B′C′?A′E=1
2
×1．
∴函数图象是一条平行与x 轴的线段．
如图3所示：2＜x ≤3时，过点D 作DE ⊥B′C，垂足为E ．
y=
12
x ﹣3）2
，
函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：B ．
2.【答案】B. 二、填空题
3.【答案】13
4. 4.【答案】4. 三、解答题
6.【答案与解析】 特例探究：
证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠DBA=∠EAC=60°， 在△ABD 与△CAE 中，
AB CA DBA EAC BD AE =??
∠=∠??=?
， ∴△ABD ≌△CAE （SAS ）；
归纳证明：△ABD 与△CAE 全等．理由如下： ∵在等边△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=∠BAC=60°， ∴∠DBA=∠EAC=120°． 在△ABD 与△CAE 中，
AB CA DBA EAC BD AE =??
∠=∠??=?
， ∴△ABD ≌△CAE （SAS ）；
拓展应用：∵点O 在AB 的垂直平分线上， ∴OA=OB ，
∴∠OBA=∠BAC=50°， ∴∠EAC=∠DBC ．
在△ABD 与△CAE 中，AB CA DBA EAC BD AE
=??
∠=∠??=?
，
∴△ABD ≌△CAE （SAS ）， ∴∠BDA=∠AEC=32°，
∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°． 7.【答案与解析】
(1).设⊙O 首次与BC 相切于点D ，则有OD ⊥BC ． 在直角三角形BDO 中， ∵∠OBD=60°，
∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；
（3）如图，易知在S＞0时，⊙O在移动中，在△ABC内部为经过的部分为正三角形．
记作△A′B′C′，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r．连接AA′，并延长AA′，分别交B′C′，BC于E，F两点．
则AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．
又过点A′作A′G⊥AB于G，则A′G=r．
∵∠GAA′=30°，
∴AA′=2x．
∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r，
8.【答案与解析】
解：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴AD?BC=AP?BP；
（2）结论AD?BC=AP?BP仍然成立．
理由：如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴AD?BC=AP?BP；
（3）如图3，
过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5﹣4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∴∠DPC=∠A=∠B．
由（1）、（2）的经验可知AD?BC=AP?BP，
∴5×1=t（6﹣t），
解得：t1=1，t2=5，
∴t的值为1秒或5秒．
9.【答案与解析】
(1)如图1，作DE⊥BC于点E．
据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE.
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13，
∴ EC=5．∴AD=BE=BC-EC=4．
(2)若BP为x，则AP=12-x.
S△BPC=BP·BC=x. S△APD=AP·AD=24-2x.
∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54.
即 y=-x+54，0≤x≤12.
当x=0时，y取得最大值为54 cm2.
(3)若△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90°
∴分两种情况讨论，如图2.
①当∠DPC=90°时
∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，
∴∠APD=∠PCB.∴ △APD∽△BCP.
∴.即.解得x=6.
∠APD=∠BPC=45°的情况不存在，不考虑.
②当∠P1DC=90°时，
在Rt△P1BC中，P1C2=BP12+BC2=x2+92，
在Rt△P1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，
∵∠P1DC=90°，CD2+P1D2=P1C2.
即132+(12-x)2+42=x2+92.解得.
综上，当x=6或，△PCD是直角三角形.
10.【答案与解析】
当Q点与D点重合时，AQ=AD=6，此时AP=AQ=3=t
当P与B点重合时，t=10，
当P点运动到C时，t=16，
∴分三类情况讨论
(1)当0≤t≤3时，如图：
AP=t，PQ=t，
∴S=AP·PQ=t2
(2)当3＜t≤10时，示意图：
中考数学几何专题复习
几何专题 题型一考察概念基础知识点型 例1.如图1,等腰△ ABC的周长为21,底边BC = 5, AB的垂直平分线是DE，则△ BEC 的周长为_________________ 。 例2?如图2,菱形ABCD 中,~A 60° E、F是AB、AD的中点，若EF 2，菱形边长 ____________ 图1 图2 例3 已知AB是。O的直径，PB是。O的切线，AB = 3cm, PB = 4cm，贝U BC = _______________________________________________________________ . 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4 D, E分别为AC , BC边的中点，沿DE折叠，若CDE 48°则APD等于_______________ 。例5如图4?矩形纸片ABCD的边长AB=4, AD=2 .将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C 重合，折 叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（） 积，侧面积，三角函数计算等。 例6如图3, P为。O外一点，PA切于A, AB是。O的直径，PB交。O于C, P心2cm PO 1cm,则图中阴影部分的面积S是（） 八 5.3 2 5.3 2 5.32 2 23 2 A. cm B cm C cm D cm 2 4 4 2 【题型四】证明题型： 第二轮复习之几何（一）一一三角形全等 【判定方法1: SAS 例1.AC是菱形ABCD勺对角线，点E、F分别在边AB AD上，且AE=AF求证：△ ACE^A ACF
例2正方形ABCD中, AC为对角线，E为AC上一点，连接EB ED. （1）求证：△ BEC^A DEC
中考数学复习几何压轴题
中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D
中考数学几何综合圆的综合大题压轴题
圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．
3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
中考数学专题突破几何综合
2016年北京中考专题突破几何综合 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律． 求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D 不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果 ．．．．．．．．．) 图Z9－1 2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F. (1)依题意补全图Z9－2①； (2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数； (3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
图Z9－2 3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D. (1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 图Z9－3 4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. (1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明； (3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围． 图Z9－4
86中考数学几何专项训练及答案
中考数学几何专题训练含答案 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点， 且∠BEH=∠HEG． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE． （1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； （2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF； （2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长． 4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF. ⑴求证：△ABE≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan∠EBC的值. A B D E C F
5、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF 分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE ∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE． （1）求证：BC=CD； （2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG； （3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．
中考数学几何压轴题
1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F
解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1
中考数学几何综合题汇总.doc
如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；
中考数学几何部分专题复习
1 / 3 数学几何部分专题复习 一、点到直线的距离垂线段最短 精炼1、点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值 为________ 二、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的 高 精炼： 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD 边上有2013个不同的点 122013,,,p p p ?，过(1,2,i p i =?,2013)作i i PE AB ⊥于i E ，i i PF AD ⊥于i F ，则 111122222013201320132013PE PF P E P F P E P F ++++?++的值为_______________. 三、利用轴对称解决最短距离问题 几何模型： 条件：如图1，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B 交l 于点P ，则PA+PB=A′B 的值最小（不必证明）． 模型应用： （2）如图3，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB+PE 的最小值是 ； （3）如图4，在菱形ABCD 中，AB=10，∠DAB=60°，P 是对角线AC 上一动点，E 、F 分别是线段AB 和BC 上的动点，则PE+PF 的最小值是 ． （4）如图5，在菱形ABCD 中，AB=6，∠B=60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF+ED 的最小值是 ． （5）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 ． 中考名题：1、长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ． 2、 如图，是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m 的半圆，其边缘AB=CD=20cm ，小明要在AB 上选取一点E ，能够使他从点D 滑到点E 再到点C 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为 m ．（π取3） 3、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________cm ． 4、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC 平分∠BCD，E ，F 分别是底边AD ，BC 的中点，连接EF ．点P 是EF 上的任意一点，连接PA ，PB ，则PA+PB 的最小值为 ． 四、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 精炼1、如图，已知BD 、CE 是ABC V 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。请证明。 2、如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5 3、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为 n 图3 图5 图4 B A 6cm 3cm 1cm 第1题图 第2题图 A B C D O F （第13题） E
2020年贵州省中考数学压轴题汇编解析：几何综合
2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）
中考数学压轴题精选(几何综合题)
中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1
中考数学几何综合题汇总
如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒
第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图②
“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)
经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】
【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备
3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。
中考数学几何选择填空压轴题精选配答案
中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：
2019年中考数学几何综合型试题分类汇编及答案
2019年中考数学几何综合型试题分类汇编及答案 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 1.重庆，11，4分)据报道，重庆主城区私家车拥有量近380000辆.将数380000用科学记数法表示为________ 【解析】科学记数法的正确写法是：a×。 【答案】×105 【点评】通常易犯的错误是a的整数位数不对。 2.过度包装既浪费资源又污染环境.据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨.把数3120000用科学记数法表示为 ×105 ×106 ×105 ×107
【解析】3120000是一个7位整数，所以3120000用科学记数法可表示为×1000000=×106，故选B. 【答案】B 【点评】科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|1时，n是正数;当原数的绝对值1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.学生在学习科学记数法时最不容易掌握的就是n的确定，查准是10的几次方。还有的学生容易把“×10n”忘记而丢失，要明确记清. 其方法是确定a，a是只有一位整数的数;确定n;当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时，n为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数. 16. 2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________. 【解析】科学记数法形式：a×10n 中n的值是易错点，由于378 000有6
位，所以可以确定n=6﹣1=5，所以378 000=×105 【答案】×105 【点评】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数;当原数的绝对值小于1时，n是负数.表示时关键要正确确定a 的值以及n的值. 17.从权威部门获悉，中国海洋面积是万平方公里，约为陆地面积的三分之一, 万平方公里用科学计数法表示为平方公里 A. B. C. D. 【解析】∵万平方公里=×106平方公里，且结果保留两位有效数字 ∴×106平方公里≈ 【答案】C. 【点评】此题考查对科学计数法和有效数字的理解，把一个绝对值大于10
中考数学几何选择填空压轴题精选
中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
初中数学中考几何综合题[1]
页眉内容 中考数学复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点： ⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基 本图形． ⑵ 掌握常规的证题方法和思路． ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数 学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ． 故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ． 点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．
中考数学几何图形综合复习
第四章图形的认识 本章思维导图 第一节图形初步 考点精要解析 考点一、平面展开图和三视图 1．平面展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 2．正方体的常见展开图 (1)“1－4－1”型，如图4－1－1所示． （2）“2－3－1”型，如图4－1－2所示．
（3）“3－3”型，如图4－1－3所示（4）“2－2－2”型，如图4－1－4所示 3．三视图 （1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状．（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状．（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．注：画三视图时应注意一视图的位置要准确，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线通常画成虚线，主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等．即主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高相等；左视图和俯视图的宽要相等． 考点二：线与角 1.直线、射线与线段 （1）两个重要公理： ①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”． ②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”． （2）两点之间的距离：连接两点的线段的长度． （3）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫作这条线段的中点． 2．角 （1）由公共端点的两条射线组成的图形叫作角． （2）角的分类 ①锐角——小于直角的角（0o＜α＜90o) ②直角——等于90o的角（α=90o）． ③钝角——大于直角而小于平角的角（90o＜α＜180o）．
（3）角的换算：1度=60分（1o=60'），1分=60秒（1'60" ）． （4）角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线． （5）余角和补角 ①如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称“互补”． ②如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称“互余”． ③补角、余角的性质：同角或等角的余（补）角相等． 考点三：相交线与平行线 1．两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：（1）相交；（2）平行． 2．相交线 （1）对顶角与邻补角 ①对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，这两个角叫作对顶角．对顶角相等． ②邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫作邻补角．邻补角互补． （2）垂线 ①定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直． ②垂线的性质 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离． 3．平行线 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． （2）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”． 4．两直线平行的判定方法 （1）平行公理的推论． （2）同位角相等，两直线平行．
中考数学几何专题复习
专题几何专题 题型一考察概念基础知识点型 例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为。 例2如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______． D E B C A 图1 图2 图3 例3已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝． 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于。 例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其 一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ． 112 C ． 4 D ．5 2 E D B C A P 图 4 图5 图6 【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。 例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ， PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A. 2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 22 32cm π - 图3 B D G F F
D C B A E F G 【题型四】证明题型： 第二轮复习之几何（一）——三角形全等 【判定方法1：SAS 】 例1如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE=AF 。 求证：△ACE ≌△ACF 例2 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ； （2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数． 【判定方法2：AAS （ASA ）】 例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+． 例4如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。求证：△AEF ≌△CHG. E B D A C F A F D E B C A D F E B C
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边