2022年中考数学压轴难题附答案

2022年中考数学压轴题

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x＝﹣2交x轴于点C，直线l过点N（0，﹣2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l 于点M，△AOB的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当∠MPN＝∠BAC时，求P点坐标；

（3）①求证PM＝PC；

②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x＝﹣2，

∴c＝0，OA＝4，又△AOB的面积为2，

∴BC＝1，即顶点B的坐标为（﹣2，﹣1），

∴−b

2a

=−2，

−b2

4a

=−1，解得a=14，b＝1，

∴抛物线的解析式为y=1

4

x2+x；

（2）∵BC＝1，AC＝2，∴tan∠BAC=1

2，设P点坐标为（x，

1

4

x2+x），

如图1，当点P在y轴右侧，PM=1

4

x2+x−（﹣2）=14x2+x+2，MN＝x，

∴tan∠MPN=MN

PM

=x

1

4

x2+x+2

=12，即x2﹣4x+8＝0，此方程无解；

如图2，当点P在y轴左侧，此时PM=1

4

x2+x+2，MN＝﹣x，

∴tan∠MPN=MN

PM

=−x

1

4

x2+x+2

=12，

即x2+12x+8＝0，解得x1=−6+2√7，x2=−6−2√7，则y1=10−4√7，y2=10+4√7，∴点P坐标为（−6+2√7，10−4√7）或（−6−2√7，10+4√7）；

（3）①如图3，过点P作PD⊥BC于点D，则PD＝x+2，DC=1

4

x2+x，

由（2）知PM =1

4

x 2+x +2， 在Rt △PCD 中，

PC 2=(x +2)2+(14

x 2+x)2=116x 4+12

x 3

+2x 2+4x +4=PM 2， ∴PM ＝PC ；

②由①知，PM ＝PC ，

∴PQ +PC 的最小值为PQ +PM 的最小值，当Q 、P 、M 三点共线时，PQ +PM 有最小值为4．

∴PQ +PC 的最小值为4．

2．如图，抛物线y =−√3

3x 2−√3x +4√3

3与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ．

（1）求顶点D 的坐标及直线AC 的解析式；

（2）如图，P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，连接PC 、P A ，当△P AC 面积最大时，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，M 为抛物线对称轴上的一动点，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N ．连接PM ，NQ ，求PM +MN +NQ 的最小值．

解：（1）y =−

√33

x 2

−√3x +

4√33，令y =−√33x 2−√3x +4√3

3

=0，解得：x ＝﹣4或1， 故点A 、B 的坐标分别为：（﹣4，1）、（1，0），点C （0，4√33

），

由抛物线的表达式知，顶点D （−3

2，

25√3

12

）； 将点A 、C 的坐标代入一次函数：y ＝kx +b 得：{−4k +b =0b =4√3

3，解得{k =

√

33b =4√3

3

， 则直线AC 的表达式为：y =√3

3

x +

4√3

3

；

（2）设直线PQ 交AC 于点H ，设点P （x ，−

√33

x 2

−√3x +

4√3

3），则点H （x ，√33

x +4√33）， 则△P AC 面积＝S △PHC +S △PHA =1

2×PH ×OA ＝2×[−√3

3x 2−√3x +4√3

3−（√3

3x +4√3

3）]=

−

√3

6

（x 2+4x ），

∵−√3

6＜0，故△P AC 面积存在最大值，此时x ＝﹣2，故点P （﹣2，2√3），则点Q （﹣2，0）；

将点P 向右平移3

2

个单位得到点P ′（−1

2

，2√3），作点P ′关于y 轴的对称点P ″（1

2

，

2√3），

连接P ″Q 交y 轴于点N ，过点N 作NM 垂直于函数的对称轴于点M ，则点M 、N 为所求点，

理由：连接PM 、P ′N ，

∵PP′∥MN，PP′＝MN=3

2，故四边形PPNM为平行四边形，故PM＝P′C＝P″C，

则PM+MN+NQ＝P″C+MN+NQ＝MN+P″Q为最小，

∴PM+MN+NQ最小值＝MN+P″Q=3

2

+√(12+2)2+(2√3)2=3+√73

2．

3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−√3

3

x2+2√33x+√3与x轴交于A、B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求△BCD的周长；

（2）如图2，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过P作PM∥y轴交BC于M，交x轴于E，过D作DN∥y轴交BC于N，当PM+MN最大时，将线段PM绕P点旋转得线段PM′，连接BM′，取BM′的中点F，求EF的最小值及PM+MN的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PM+MN最大时，将△BME沿射线BC方向平移(10−5√3)个单位得△B′M′E′，作射线OE′，点G是射线OE′上一动点，连接BG，将△BOG 沿直线BG翻折得△BO′G，在y轴上有一点T（0，2），连接TO′、OO′，△TOO′能否构成等腰三角形？若能，求出点G的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）如图1，过D作DS⊥x轴于S，过C作CT⊥DS于T，

令x＝0，得y=√3，∴C（0，√3）

令y ＝0，−

√3

3

x 2+

2√3

3

x +√3=0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0）， ∵y =−√3

3x 2+2√3

3x +√3=−√3

3（x ﹣1）2+4√3

3，∴D （1，4√3

3）

有勾股定理可得：BC =√OB 2+OC 2=√32+(√3)2=2√3，BD =(4√33)2+22=2√21

3

，CD =12+(4√3

3−√3)2=2√3

3 ∴△BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝2√3+

2√213+2√33=2√21+8√3

3

； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，将B （3，0），C （0，√3）分别代入并解方程组得：y =−

√3

3

x +√3，∴N （1，

2√3

3

） 设P （m ，−√3

3m 2+2√3

3m +√3），则M （m ，−√3

3m +√3），过M 作MK ⊥DN 于K ， ∴PM =−√3

3m 2+2√33m +√3−（−√33m +√3）=−√3

3m 2+√3m ， ∵MK ⊥DN ，DS ⊥OB ，

∴MK ∥OB ，∠MKN ＝∠BOC ＝90° ∴∠NMK ＝∠CBO ， ∴△MKN ∽△BOC ∴

MN MK

=

BC OB

，即：MN •OB ＝BC •MK ，3MN ＝2√3（m ﹣1）

∴MN =

2√3(m−1)

3

， ∴PM +MN =−√3

3m 2+√3m +2√3(m−1)3=−√33(m −52

)2+17√312， ∵−

√3

3

＜0

∴当x =5

2时，PM +MN 的最大值=17√3

12，PM =5√3

12， ∴P （5

2，

7√3

12

），以P 为圆心，PM 为半径作⊙P ，作点B 关于直线PE 的对称点B ′，连接PB ′交⊙P 于点M ′，连接BM ′，F 为BM ′中点，连接EF ， ∵BE ＝B ′E ，BF ＝M ′F ∴EF =1

2BM ′，

∵PB ′＝PB =(3−52)2+(7√312)2=√183

12， ∵P 、M ′、B ′三点共线时，B ′M ′最小值=

√183−5√3

12

，

∴此时，EF 最小，且EF 的最小值=12

B ′M ′=

√183−5√3

24

．

（3）△TOO ′能构成等腰三角形．如图3，∵E （5

2

，0），将△BME 沿射线BC 方向平移

(10−5√3)个单位得△B ′M ′E ′， 连接EE ′，过E ′作E ′N ⊥OB 于N ， ∴E ′E ∥BC

∴∠E ′EN ＝∠CBO ，∠E ′NE ＝∠COB ＝90° ∴△E ′EN ∽△CBO ∴

E′N OC

=

EN OB

=

EE′BC

，即：

√3

=

EN 3

=

√3

2√3

∴E ′N =

10−5√32，EN =10√3−15

2

∴ON ＝OE ﹣EN =5

2−10√3−15

2

=10﹣5√3， ∴E ′（10﹣5√3，

10−5√32

） ∴直线OE ′的解析式为y =12

x ， ∵△TOO ′为等腰三角形，

∴TO ＝TO ′＝2或OO ′＝OT ＝2或O ′T ＝O ′O ①若TO ＝TO ′＝2时，由翻折得：BO ′＝BO ∴BT 垂直平分OO ′，即B 、G 、T 三点共线 易求得直线BT 解析式为：y =−2

3x +2 解方程组{y =−2

3x +2y =1

2x 得：{

x =

127y =67

∴G （

127

，6

7

）；

②若OO ′＝OT ＝2时，∵BO ′＝BO ，∠OBG ＝∠O ′BG ∴BG 垂直平分OO ′，

设BG 交OO ′于点Q ，则易求得Q （1

3，

2√2

3

）， ∴待定系数法可求得直线BG 的解析式为：y =−√2

4x +3√2

4

∴G （3√2−3，3√2−3

2

）；

易求得点O ′（3﹣2√2，1），直线BQ 解析式为：y ＝（2√2−3）x +9﹣6√2

∴G （

30−12√217，15−6√2

17

）； 综上所述，点G 的坐标为：G （127，67

）或G （3√2−3，

3√2−32）或G （30−12√217，15−6√2

17

）．

4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得∠ACQ ＝∠ABC ．

（1）求证：直线PQ 是⊙O 的切线．

（2）过点A 作AD ⊥PQ 于点D ，交⊙O 于点E ，若⊙O 的半径为2，sin ∠DAC =1

2，求图中阴影部分的面积．

解：（1）证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠CAB＝∠ACO．

∵∠ACQ＝∠ABC，

∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，∴直线PQ是⊙O的切线．

（2）连接OE，

∵sin∠DAC=1

2，AD⊥PQ，

∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．∴∠ABC＝∠ACD＝60°，

∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°，

∴∠EAO＝∠DAC+∠CAB＝60°，又∵OA＝OE，

∴△AEO为等边三角形，

∴∠AOE＝60°．

∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO

＝S 扇形−12

OA •OE •sin60° =60π

360×22−1

2×2×2×√3

2 =2π3−√3．

∴图中阴影部分的面积为

2π3

−√3．

5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 沿直线AB 翻折得到△ABD ，连接CD 交AB 于点M ．E 是线段CM 上的点，连接BE ．F 是△BDE 的外接圆与AD 的另一个交点，连接EF ，BF ．

（1）求证：△BEF 是直角三角形； （2）求证：△BEF ∽△BCA ；

（3）当AB ＝6，BC ＝m 时，在线段CM 上存在点E ，使得EF 和AB 互相平分，求m 的值．

（1）证明：∵∠ACB ＝90°，将△ABC 沿直线AB 翻折得到△ABD ， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，

∵∠EFB ＝∠EDB ，∠EBF ＝∠EDF ，

∴∠EFB +∠EBF ＝∠EDB +∠EDF ＝∠ADB ＝90°， ∴∠BEF ＝90°， ∴△BEF 是直角三角形．

（2）证明：∵BC ＝BD ， ∴∠BDC ＝∠BCD ， ∵∠EFB ＝∠EDB ， ∴∠EFB ＝∠BCD ，

∵AC ＝AD ，BC ＝BD ， ∴AB ⊥CD ， ∴∠AMC ＝90°，

∵∠BCD +∠ACD ＝∠ACD +∠CAB ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CAB ， ∴∠BFE ＝∠CAB ， ∵∠ACB ＝∠FEB ＝90°， ∴△BEF ∽△BCA ．

（3）解：设EF 交AB 于J ．连接AE ． ∵EF 与AB 互相平分， ∴四边形AFBE 是平行四边形， ∴∠EF A ＝∠FEB ＝90°，即EF ⊥AD ， ∵BD ⊥AD ， ∴EF ∥BD ， ∵AJ ＝JB ， ∴AF ＝DF ， ∴FJ =12

BD =m 2

， ∴EF ＝m ，

∵△ABC ∽△CBM ， ∴BC ：MB ＝AB ：BC ，

∴BM =m 2

6，

∵△BEJ ∽△BME ， ∴BE ：BM ＝BJ ：BE ， ∴BE =

m √2

， ∵△BEF ∽△BCA ， ∴

AC EF

=

BC BE

，

第 11 页 共 11 页 即√36−m 2m =m m √2，

解得m ＝2√3（负根已经舍弃）．