中考数学相似难题压轴题与答案

中考数学相似-经典压轴题含答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G． （1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论； （2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P 是MN上一点，求△PDC周长的最小值． 【答案】（1）解：结论：CF=2DG． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°， ∵DE=AE， ∴AD=CD=2DE， ∵EG⊥DF， ∴∠DHG=90°， ∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°， ∴∠CDF=∠DEG， ∴△DEG∽△CDF， ∴ = = ， ∴CF=2DG （2）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC， 此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK． 由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ， ∴EH=2DH=2 ，

∴HM= =2， ∴DM=CN=NK= =1， 在Rt△DCK中，DK= = =2 ， ∴△PCD的周长的最小值为10+2 ． 【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG．理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，根据中点的定义得出AD=CD=2DE，根据同角的余角相等得出∠CDF=∠DEG，从而判断出△DEG∽△CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论； （2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最 短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得CD=AD=10，ED=AE=5，DG=， EG=，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出△DEH相似于△GDH，根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=，再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1，在Rt△DCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。 2．综合题 （1）【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少． （2）【拓展应用】 如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少．（用含a，h的代数式表示） （3）【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． （4）【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》含答案

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G． （1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE； （2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG ＝，求线段AH长． 2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB?CE＝BD?CD； （2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值； （3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．

3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，延长弦CD至点E，CD＝6，AB⊥CD于点F，点M在AB 上，AM＝，连接EM，点N在半径OB上，ON＝2，ND∥ME． （1）求tan∠E的值； （2）延长OB至点G，使BG＝，连接GD并延长交ME于点H，判断GH与⊙O的位置关系，并求MH的长． 4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：CD2＝AD?DB； （2）如图2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且＝，求的值； （3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接写出tan∠ACH 的值为．

5．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形． （1）判断下列命题是真命题，还是假命题？ ①正方形是自相似菱形； ②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形． ③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则 在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED． （2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点． ①求AE，DE的长； ②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N． （1）求证：△MED∽△NFE； （2）当EF＝FC时，求k的值． （3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．

中考数学——相似的综合压轴题专题复习附详细答案

中考数学——相似的综合压轴题专题复习附详细答案 一、相似 1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上． 求： （1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？ （2）若设AK=x，S EFGH=y，试写出y与x的函数解析式． （3）x为何值时，S EFGH达到最大值． 【答案】（1）解：设边长为xcm， ∵矩形为正方形， ∴EH∥AD，EF∥BC， 根据平行线的性质可以得出： = 、 = ， 由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ， ∵BE+AE=AB， ∴ + = + =1， 解得x= ， ∴AK= ， ∴当时，矩形EFGH为正方形 （2）解：设AK=x，EH=24-x， ∵EHGF为矩形， ∴ = ，即EF= x， ∴S EFGH=y= x•（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）

（3）解：y=- x2+16x 配方得：y= （x-12）2+96， ∴当x=12时，S EFGH有最大值96 【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。 （2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。 （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。 2．阅读下列材料，完成任务： 自相似图形 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形． 任务： （1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________； （2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________； （3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）． 请从下列A、B两题中任选一条作答． A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；

中考数学压轴题之相似(中考题型整理,突破提升)附答案

中考数学压轴题之相似(中考题型整理,突破提升)附答案 一、相似 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x. （1）在△ABC中，AB＝ ________； （2）当x＝________时，矩形PMCN的周长是14； （3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。 【答案】（1）10 （2）5 （3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º. ∴AC∥PN，∠A=∠NPB. ∴△AMP∽△PNB∽△ABC. 当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB 此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6 而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12. 所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等. 【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6， （ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC ∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x， ∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5； 【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明

△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可. 2．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________． （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 【答案】（1）8-2t； （2）解：不存在 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10 ∵PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴，即， ∴AD= ， ∴BD=AB-AD=10- ， ∵BQ∥DP， ∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形， 即8-2t= ，解得：t= ． 当t= 时，PD= ，BD=10- ，

中考数学圆与相似-经典压轴题及详细答案

中考数学圆与相似-经典压轴题及详细答案 一、相似 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线 y= 相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）． （1）直接写出点C坐标及OC、BC长； （2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值； （3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标． 【答案】（1）解：对于直线y=﹣ x+ ，令x=0，得到y= ， ∴A（0，）， 令y=0，则x=10， ∴B（10，0）， 由，解得， ∴C（，）． ∴OC= =8， BC= =10

（2）解：①当时，△OPQ∽△OCB， ∴， ∴t= ． ②当时，△OPQ∽△OBC， ∴， ∴t=1， 综上所述，t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似（3）解：如图作PH⊥OC于H． ∵OC=8，BC=6，OB=10， ∴OC2+BC2=OB2， ∴∠OCB=90°， ∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ． ∵∠PHO=∠BCO=90°， ∴PH∥BC， ∴， ∴， ∴PH=3t，OH=4t， ∴tan∠PCH=tan∠CBQ， ∴，

∴t= 或0（舍弃）， ∴t= s时，PC⊥BQ． 【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长； （2）根据速度乘以时间表示出OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当OP∶OC=OQ∶OB时，△OPQ∽△OCB，根据比例式列出方程，求解得出t的值；②当OP∶OB=OQ∶OC时，△OPQ∽△OBC，根据比例式列出方程，求解得出t的值，综上所述即可得出t的值；（3）如图作PH⊥OC于H．根据勾股定理的逆定理判断出∠OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶OB=PH∶BC=OH∶OC,根据比例式得出PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠PCH=tan∠CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。 2．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点． （1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：________． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB． 【答案】（1）PA=PB （2）解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下： 如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，

中考数学相似难题压轴题精选

1、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，那么DEF △的面积与ABC △的面积之比等于〔 〕 A ．1∶3 B ．2∶3 C ．3∶2 D ．3∶3 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，那么CE 的长为〔 〕 A ．32 B ．7 6 C ．256 D ．2 3.提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕〔BC AB =，且AC BC ≠〕，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分〔要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样〕． 背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线〞． 尝试解决： “等分积周线〞，从而平分蛋糕． 〔2〕 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交AB 于点D ．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． 〔3〕通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：假设AB ＝BC ＝5 cm ， AC ＝6 cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线〞，并简要的说明确定的方法． A B A B B 图 1 C B 图 2 C

4.如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问： (1) 图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由． (2) 求证：△APE ∽△FPA ． (3) 猜测：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由． 5、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ， OE OB ⊥交BC 边于点E ． 〔1〕求证：ABF COE △∽△； 〔2〕当O 为AC 边中点，2 AC AB =时，如图2，求OF OE 的值； 〔3〕当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE 的值． B B A A C E D D E C O F 图1 图2 F

2020-2021九年级中考数学相似解答题压轴题提高专题练习含详细答案

2020-2021九年级中考数学相似解答题压轴题提高专题练习含详细答案 一、相似 1．如图①，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2，l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE． （1）求证：△ABP≌△CBE． （2）连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②． ①当时，求证：AP⊥BD； ②当 (n＞1)时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值． 【答案】（1）证明：BC⊥直线l1， ∴∠ABP＝∠CBE． 在△ABP和△CBE中， （2）①证明：如图，延长AP交CE于点H． ∵△ABP≌△CBE， ∴∠PAB＝∠ECB， ∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°， ∴∠AHE＝90°， ∴AP⊥CE． ∵，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2， ∴△CPD∽△BPE，

∴， ∴DP＝EP． ∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD． ∵AP⊥CE，∴AP⊥BD． ②解：∵，∴BC＝nBP， ∴CP＝(n－1)BP． ∵CD∥BE， ∴△CPD∽△BPE， ∴． 令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S， S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S． ∵， ∴S1＝(n＋1)(n－1)S， ∴． 【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ABP≌△CBE； （2）①、延长AP交CE于点H，由（1）知△ABP≌△CBE，所以可得∠PAB＝∠ECB，而∠∠ECB+∠BEC=，所以可得∠PAB+∠BEC=，即∠AHE=，所以AP⊥CE；已知 =2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE∥BD，再根据平行线的性质即可求得AP⊥BD； ②方法与①类似，由已知条件易证得△CPD∽△BPE，则可得对应线段的比相等，然后可将△PAD的面积和△PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。 2．已知，如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．

2022年春人教版九年级数学中考复习《图形的相似解答压轴题》专题训练(附答案)

2022年春人教版九年级数学中考复习《图形的相似解答压轴题》专题训练（附答案）1．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将∠AOB绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到∠EOF，OE，OF分别交AB、BC于点E、F，连接EF交OB于点G．（1）求证： ①△OEF是等腰直角三角形；②△COF∽△BFG； （2）在旋转过程中，探究线段AC，EF，OG的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝3BE，OE＝，求线段OG，BF的长度． 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠B＝60°，AC为对角线，点E、F分别在边AB、BC 上（不与端点重合），且AE＝BF，连接CE、AF交于点G． （1）求证：△ABF≌△CAE； （2）求∠FGC的度数； （3）连接EF，DG，若EF⊥BC，求线段DG的长． 3．如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24cm，tan∠ABC＝． （1）求AB的长； （2）如图2，点P沿线段BC从B点向C点以每秒2cm的速度运动，同时点Q沿线段CA向A点以每秒1cm的速度运动，且当P点停止运动时，另一点Q也随之停止运动，若P点运动时间为t秒． ①若∠APQ＝∠B时，求证：△ABP∽△PCQ；并求此时t的值； ②点P沿线段BC从B点向C点运动过程中，是否存在t的值，使△PQC的面积最大； 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

4．问题背景： （1）如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用： （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，BD＝3，CD＝5，求的值； 灵活运用： （3）如图3，点A是△BCD内一点，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD＝，直接写出AD的长． 5．在△ABC中，点D是BC上一点，点E是AD上一点，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延长线交AC于点F． （1）求证：△AEF∽△BAF； （2）如图2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的长； （3）如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长．

中考数学压轴题之相似(中考题型整理,突破提升)附详细答案

中考数学压轴题之相似(中考题型整理,突破提升)附详细答案 一、相似 1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； （3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的 Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2， 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4 （2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A（﹣1，0）， 当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4）， 从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴△BCD为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率=

（3）解：存在， 易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6， M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1， ∴△AMN的面积为△ABC面积的， ∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1， 当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC= =4； 当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC= =1； ②当N点在BC上，如图2， BC= =2 ， ∵BC•AN= AC•BC，解得AN= ， ∵S△AMN= AN•MN=2，

2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练(附答案)

2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M． （1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求CP的长；（提示：过点P作PE⊥OA）（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形， ①证明：是定值； ②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围． 2．如图1，在矩形ABCD中，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，若点Q的运动路程x与线段BP的长y满足y＝﹣x+8，BD与PQ交于点E． （1）求AB，BC的长． （2）如图2，当点Q在CD上时，求． （3）将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连接EF，当EF所在直线与△BCD 的一边垂直时，求BP的长．

3．如图，已知菱形ABCD的三个顶点A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2），连接AC，P 为AC的中点，点E为AD延长线上（异于点D）一动点，连接EP并延长与CD、AB分别交于G、F两点． （1）P点的坐标为； （2）求+的值； （3）连接EC，若∠CEF＝60°，求ED的长． 4．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B． （1）当点P在BC上时，那么点P与点A的最短距离是； （2）若点P在BC上时，求证：△ABP∽△PCQ； （3）在点P处设计并安装一个扫描器，按固定角（∠APQ）扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请求出点K被扫描到的总时长．

2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题复习训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题复习训练（附答案）1．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF，分别交AC、AB于点P、G． （1）求证：△APF∽△EPC； （2）求证：P A2＝PG•PF； （3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长． 2．已知四边形ABCD中．AD＝AB，AD∥BC，∠A＝90°，M为边AD的中点，F为边BC 上一点，连接MF，过点M作ME⊥MF，交边AB于点E． （1）如图1，当∠ADC＝90°时，求证：4AE+2CF＝CD； （2）如图2，当∠ADC＝135°时，线段AE、CF、CD的数量关系为 （3）如图3．在（1）的条件下，连接EF、EC，EC与FM相交于点K，线段FM关于FE对称的线段与AB相交于点N．若NE＝，FC＝AE，求MK的长． 3．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°， （1）问题发现的值为；

（2）探究与证明 将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为． 4．（1）问题发现 如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M． ①的值为； ②∠AMB的度数为； （2）类比探究 如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD ＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 5．【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． 【拓展提升】

中考数学与圆与相似有关的压轴题附答案解析

中考数学与圆与相似有关的压轴题附答案解析 一、相似 1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I． （1）求证：AF⊥BE； （2）求证：AD=3DI． 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=BD=CD，∠ACB=45°， ∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC， ∴AE=CE， ∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF， ∴△CDE≌△CDF， ∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°， ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°， 在△ABE与△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠ABE=∠FAC， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE （2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°

∴四边形DECF是正方形， ∴EC∥DF，EC=DF， ∴∠EAH=∠HFD，AE=DF， 在△AEH与△FDH中， ∴△AEH≌△FDH（AAS）， ∴EH=DH， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE， ∵M是IC的中点，E是AC的中点， ∴EM∥AI， ∴， ∴DI=IM， ∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。 （2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。 2．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．

中考数学与圆与相似有关的压轴题含详细答案

中考数学与圆与相似有关的压轴题含详细答案 一、相似 1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由； （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形， 在中， 分别是的中点， （2）解：如图1，过点作于，

（舍）或秒 （3）解：四边形为矩形时,如图所示： 解得： （4）解：当点在上时，如图2，

当点在上时，如图3， 时，如图4， 时，如图5， 综上所述，或或或秒时，是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。 （3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

中考数学圆与相似-经典压轴题附详细答案

中考数学圆与相似-经典压轴题附详细答案 一、相似 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 ∴抛物线解析式为：y= x2−x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点． 设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ） （3）解：当△AOC∽△MNC时， 如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a−1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a−1） 把M代入y= x2−x−1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3） 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

九年级数学备考中考：最新各地中考模拟卷(相似)压轴题集锦(附答案)

最新各地中考模拟卷（相似）压轴题集锦 一．选择题 1．（2019•萧山区模拟）如图，已知在△ABC 中，点D 为BC 边上一点（不与点B ，点C 重合），连结AD ，点E 、点F 分别为AB 、AC 上的点，且EF ∥BC ，交AD 于点G ，连结BG ，并延长 BG 交AC 于点H ．已知 ＝2，①若AD 为BC 边上的中线，的值为；②若BH ⊥AC ， 当BC ＞2CD 时， ＜2sin ∠DAC ．则（ ） A ．①正确；②不正确 B ．①正确；②正确 C ．①不正确；②正确 D ．①不正确；②正确 2．（2019春•北碚区校级月考）如图，△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、 AC 上两点，且EF ∥BC ，若AE ：EB ＝2：1，则S △AEF ：S △ABD ＝（ ） A ．2：1 B ．4：9 C ．2：3 D ．8：9 3．（2019•云南模拟）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则AE 的长为（ ） A ．2 B ． C ．2或 D ．3或

4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点A （7，5），B （4，3），先将线段AB 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，然后以原点O 为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（ ） A ．（4，3） B ．（4，3）或（﹣4，﹣3） C ．（﹣4，﹣3） D ．（3，2）或（﹣3，﹣2） 5．（2019•平房区一模）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，射线BF 交AC 于点G ，交CD 的延长线于点E ，则下列等式正确的为（ ） A ． B ． C ．＝ D ．＝ 6．（2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （4，2），过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD ，则OC 的长度是（ ） A ．1 B ．2 C ． D ． 7．（2019•铁西区三模）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 是线段AB 上的一点，连结CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论： ①； ②若AF ＝AB ，则点D 是AB 的中点； ③若 ＝1，则S △ABC ＝9S △BDF ； ④当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ； 其中正确的结论序号是（ ）