函数的基本性质详细知识点和题型分类(含课后作业)

《函数的基本性质》专题复习

（一）函数的单调性与最值

★知识梳理

一、函数的单调性

1、定义：

设函数的定义域为，区间

如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是，称为的。

如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是，称为的。 2、单调性的简单性质：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

3、判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

★热点考点题型探析考点1 判断函数的单调性

【例】试用函数单调性的定义判断函数2

()1

f x x =

-在区间（1，+∞）上的单调性.

)(x f y =A A I ⊆I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =

【巩固练习】证明：函数2()1

f x x =

-在区间（0，1）上的单调递减.

考点2 求函数的单调区间

1.指出下列函数的单调区间：

（1）|1|y x =-；（2）22||3y x x =-++.

2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.

【巩固练习】

1．函数26y x x =-的减区间是（）.

A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞

2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.

A. y =－x +1

B. y y = x 2

－4x ＋5 D. y =

3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）

单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .

4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.

5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.

二、函数的最大（小）值：

1、定义：设函数的定义域为

如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的；

如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的。

2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○

2 利用图象求函数的最大（小）值； ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；

如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；

考点3 函数的最值

【例】求函数253

32,[,]22

y x x x =--∈-的最大值和最小值：

【巩固练习】

1．函数4

y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是___________.

2. 23

()1,[0,]2

f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（）.

A. 有最大值34，但无最小值

B. 有最小值3

，有最大值1

C. 有最小值1，有最大值19

D. 无最大值，也无最小值

4. 已知函数322

+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.

)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =

3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.

(二)函数的奇偶性

★知识梳理函数的奇偶性

1、定义：

①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。

2、函数奇偶性的性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；

②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：

奇±奇=奇，偶±偶=偶，

奇±偶=非奇非偶，奇⨯奇=偶，奇÷奇=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶，奇×偶=奇，奇÷偶=奇非零常数×奇=奇，非零常数×偶=偶。

3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

○

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○

2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○

3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

★热点考点题型探析考点1 判断函数的奇偶性

【例】判断下列函数的奇偶性：

)(x f x )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f )(x f )(x f x )()(x f x f =-0)()(=--x f x f )(x f y

（1）31

()f x x x

=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.

考点2 函数的奇偶性综合应用

【例1】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1

()()1

f x

g x x -=+，求()f x 、()g x .

【例2】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.

【例3】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数。试判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并给予证明。

【巩固练习】

1．函数(||1)y x x =- (|x |≤3)的奇偶性是（）.

A ．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数

2.若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（）. A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1

3.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

A ．；

B ．；

C ．；

D ．

4. 设是上的奇函数，，当时，，则为

()f x (,1)-∞-3

()(1)(2)2

f f f -<-<3(1)()(2)2

f f f -<-<3(2)(1)()2f f f <-<-3

(2)()(1)2

f f f <-<-)(x f ),(+∞-∞0)()2(=++x f x f 10≤≤x x x f =)()5.7(f

5．已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f = .

6.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-。求函数()f x 的解析式。

课后练习

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．下面说法正确的选项（） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域

B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间

C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称

D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间上为增函数的是（） A ． B ．

C ．

D ．

3．函数是单调函数时，的取值范围（） A ．

B ．

C ．

D ．

4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（）

A ．最大值

B ．最小值

C ．没有最大值

D ．没有最小值 5．函数，是（）

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．不具有奇偶函数

D ．与有关

6．函数在

和都是增函数，若

，且

那么（）

A ．

B ．

C ．

D ．无法确定

7．函数在区间

是增函数，则

的递增区间是（） A ．

B ．

C ．

D ．

8．函数

在实数集上是增函数，则（）

A ．21->k

B ．21

9．定义在R 上的偶函数，满足

，且在区间

上为递增，则（） A ．

B ．

C ．

D ．

10．已知在实数集上是减函数，若

，则下列正确的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数在R 上为奇函数，且

，则当

，

12．函数

，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为 .

13．定义在R 上的函数

（已知）可用

的=和来表示，且

为奇函数，

为偶函数，则= .

14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，

①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）已知，求函数

得单调递减区间.

16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①； ②

；③；

17．（12分）已知8)(52017--+=x

ax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .

18．（12分））函数)(),(x g x f 在区间[]b a ,上都有意义，且在此区间上

①为增函数，；

②为减函数，.

判断)()(x g x f 在[]b a ,的单调性，并给出证明.

19．（14分）在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x 台的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差。 ①求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ；

②求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义。

20．（14分）已知函数，且

，

，试问，是否存

在实数

，使得在

上为减函数，并且在

上为增函数.

函数的基本性质练习(含答案)

函数的基本性质练习(含答案) 基础训练A组 1.若函数f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，代入函数f(x)，得到： m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)(-x)^2+(m-2)(- x)+(m^2-7m+12) 化简得到：(m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)x^2-(m-2)x+(m^2-7m+12) 移项得到：4x=0，因此m=2，选B。 2.偶函数在[-∞,-1]上是增函数，说明在[1,+∞)上也是增函数，因此f(-3/2)

因此F(x)是偶函数，选B。 5.对于y=x，有y'=1>0，在(0,1)上是增函数，选A。 6.化简得到f(x)=-x^2+x，因此在[0,1]上是减函数，但f(-x)=-f(x)，因此是奇函数，选B。填空题 1.因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，不等式化简得到 f(x)<0，解为(-5,0)U(0,5)。 2.值域为(-∞,+∞)，因为2x+x+1可以取到任意大的值。 3.y=x+1，因此值域为(1,2]。 4.f(x)的导数为2(k-2)x+(k-1)，当x(k-1)/(2(k-2))时导数小于0，因此f(x)的递减区间为(-∞,-(k-1)/(2(k-2)))U((k-1)/(2(k-2)),+∞)。

5.命题(1)和(2)正确，命题(3)和(4)错误，因此正确的命题个数为2. 解答题 1.一次函数y=kx+b的单调性取决于k的符号，当k>0时单调递增，当k0时单调递减，当k0时开口向上，单调递增，当a<0时开口向下，单调递减。 2.因为定义域为(-1,1)，所以f'(x)=2x-1<0当x<1/2时，f(x)单调递减，因此f(x)在(-1/2,1/2)上取得最大值，最小值为 f(1)=3. x0时，f(x)为正数。因为f(x)是奇函数，所以当x0时，f(x)的值域为正实数区间，即f(x)>0.因为f(x)在定义域上单调递减，所以f(1-a)+f(1-a^2)a，即a1. 3．对于函数y=x+1+2x，由于x的系数是正数，所以y随着x的增加而增加，即y为单调递增函数。因此，值域为y的定义域的最小值到最大值，即y的值域为[2,正无穷)。

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解 4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)a f x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性）知识点4单调奇偶联袂二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)a f x x a x =+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x =+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x =+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，

又4 4()()()f x x x f x x x -=--=-+=-，所以函数()f x 为奇函数. （2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数，证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <，有121212 44()()()()f x f x x x x x -=+ -+ 121244 ()( )x x x x =-+-121212 (4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴, 12 1212 (4)0x x x x x x -∴ -<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数. 名师点评：对于函数()(0)a f x x a x =+>主要性质如下： ①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数； ③单调性：当0x >时；()(0)a f x x a x =+> 在上单调递减；在)+∞的单调增； ④值域与最值：当0x >时；()(0)a f x x a x =+> 值域为)+∞ ，当x = 小值

函数的性质基础题型训练(含答案)

函数的性质题型一：（函数的单调性） 1、已知函数()f x 在R 上是单调递增函数，且2()()f m f m >-，则实数m 的取值范围为． 2、定义在(1,1)-上的函数()f x 是单调递减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则实数a 的取值范围为． 3、已知函数22()(41)2f x x a a x =+-++在区间(],1-∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围为． 4、已知函数()(0)a f x x a x =+>在区间3 (,)4 +∞上单调递增函数，则实数a 的取值范围为． 5、函数x x x f -=ln )(的单调增区间是． 6、函数2()(1)x f x x x e =++()x R ∈的单调减区间为． 7、已知函数1,()|1|,x a f x x x x a ?

题型二：（函数的奇偶性） 12、已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义域为[1,2]a a -的偶函数，则a b +的值是． 13、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2x f x x =-，则 (0)(1)f f +-= ． 14、若函数(),0 ()(2),0x x b x f x ax x x -?=?+

函数的基本性质详细知识点和题型分类(含课后作业)

《函数的基本性质》专题复习（一）函数的单调性与最值 ★知识梳理一、函数的单调性 1、定义：设函数的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是，称为的。如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是，称为的。 2、单调性的简单性质： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1)(x f y =I I )(x f y =

【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. 考点2 求函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|y x =-；（2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（）. A. y =－x +1 B. y y = x 2 －4x ＋5 D. y = 2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.

函数的基本性质练习题(精华)

高一数学－-----函数的基本性质一、、知识点: 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venｎ图。本章知识结构 1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“０与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。几个常用数集Ｎ、N*、N+、Ｚ、Q、Ｒ要记牢。 3、集合的表示方法（1)列举法的表示形式比较容易掌握,并不是所有的集合都能用列举法表示,同学们需要知道能用列举法表示的三种集合: ①元素不太多的有限集,如{0,1,8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{１，２,3，…，10０} ③呈现一定规律的无限集,如{１，2，3,…,n,…} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时,集合元素的“无序性”。（2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准,然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=ｘ2},｛y|y=x2},{（x,y)|ｙ＝x２｝是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念,学会正确使用

2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点 1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。②复合函数的单调性规则是“同增异减”。 2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于对称。（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于对称。（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则?=-?-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线 a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则?-=-?+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点 )0,(b 中心对称； 4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。二、例题讲解 1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12 +-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性. 2．2 ()24f x x x =-+的单调减区间是 .

函数的基本性质老师版(部分含答案)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。

例2、判断函数1()x f x x += 在)0,(-∞上的单调性并加以证明. 练习：判断函数2()1x f x x += -在（-∞，0）上的单调性并加以证明。 [例3] 求证函数f (x )＝x ＋x a (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．分析利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明 (1)设01，所以2 11x x a -<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，\r(a .,)]上为减函数． (1) 设a ≤x 1a .,，所以\2 1x x a <1，所以2 11x x a - >0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.