《函数的基本性质》知识总结大全

《函数的基本性质》知识总结大全

第一篇：《函数的基本性质》知识总结大全

《函数的基本性质》知识总结

1.单调性

函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A．如果对于区间I 上是单调增函数，I称为内的______两个值x1，x2，当x1

x1，x2，当x1

∈M,当x1

f(x1)-f(x2)∆y⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔>0； x1-x2∆x

②f(x)在区间M上是减函数⇔∀x1,x2∈M,当x10

f(x1)-f(x2)∆y<0⇔<0；⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2∆x①f(x)在区间M上是增函数⇔∀x1,x2

⑵函数单调性的判定方法

①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：

①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么

f(x1)-f(x2)>0⇔f(x)在区间[a,b]上是增函数；x1-x2

f(x1)-f(x2)<0⇔f(x)在区间[a,b]上是减函数。(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔

②导数法（选修）：在反之，f(x)区间(a，b)内处处可导，若总有f'(x)>0（f'(x)<0），则f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数；f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数，且处处可导，则f'(x)≥0（f'(x)≤0）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。

判定函数的单调性一般要将式子

单调性主要用定义法和导数法。

提醒求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“Y”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。

⑶与函数单调性有关的一些结论f(x1)-f(x2)进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的f(x)与g(x)同增（减），则f(x)＋g(x)为增（减）函数，f(g(x))为增函数；

②若f(x)增，g(x)为减，则f(x)－g(x)为增函数，g(x)－f(x)为减函数，f(g(x))为减函数；

1③若函数y=f(x)在某一范围内恒为正值或恒为负值，则y=f(x)与y=在相同的单调区间上的单调性相反； f(x)

④函数y=f(x)与函数y=f(x)+k(k≠0)具有相同的单调性和单调区间；

⑤函数y=f(x)与函数y=kf(x)(k>0)具有相同的单调性和单调区间，函数y=f(x)与函数y=kf(x)(k<0)具有相同单调区①若间上的单调性相反。

2.奇偶性

函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于

⑴函数奇偶性的定义

一般地，设函数y轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点；y=f(x)的定义域为A．如果对于_____的x∈A，都有f(-x)=_____，那么函数y=f(x)是偶函数.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A．如果对于_____的x∈A，都有f(-x)=_____，那么函数y=f(x)是奇函数.如果函数y=f(x)是奇函数或偶函数，那么函数y=f(x)具有________.注意具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

⑵图象特征

y=f(x)为奇（偶）函数⇔函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）成中心（轴）对称图形。

注意定义域含0的偶函数图象不一定过原点；定义域含0的奇函

数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到函数一半区间上，简化问题。

点评

①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.．．．．

②f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(-x)=-1.f(x)

第二篇：函数基本性质典型习题课教案

函数基本性质典型习题课教案

教学目标：

1、掌握函数的基本性质；

2、能灵活运用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目教学重点：能用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目教学难点：灵活运用函数的单调性、奇偶性教学方法：讲练结合教学过程：

一、复习

1、增函数、减函数的定义，如何判断一个函数的单调性？步骤是什么？

2、如何求一个函数的最值？

3、奇函数、偶函数的定义，如何判断一个函数的奇偶性？步骤是什么？

4、奇函数、偶函数的性质分别是什么？

二、典例析评

例

1、设函数f(x)是R上的偶函数，在区间(-∞,0)上递增，且有f(8)-f(3a2-2a)<0求a的取值范围。

解：Θf(8)-f(3a2-2a)<0

∴f(8)

又函数f(x)在R上的偶函数，在区间(-∞,0)上递增

2∴-8<3a-2a<8

得a<-或a>2

43评：根据题意和偶函数的定义大致画出函数f(x)的图像，然后

再解不等式

例

2、证明函数f(x)=x+ax(a>0)在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数.证明：任取x1,x2∈(0,a),令x1

f(x1)-f(x2)=(x1+aaaa)-(x2+)=(x1-x2)+(-)x1x2x1x2a)x1x2a<0

x1x

2=(x1-x2)(1-

Θ0

∴x1-x2<01-

∴(x1-x2)(1-a)>0

即f(x1)>f(x2)x1x2ax

故函数f(x)=x+

(a>0)在（0，a）上是减函数同理：函数f(x)在(a,+∞)上是增函数

例

3、已知函数f(x),g(x)在R上是减函数，求证函数f（g(x))在R上也是增函数。

证明：任取x1,x2∈R,令x1

Θg(x)在R上是减函数

∴g(x1)>g(x2)

又Θf(x)在R上是减函数

∴f(g(x1))

∴函数f（g(x))在R上也是增函数

评：定义法是证明函数单调性的常用方法，对于复合函数求单调性就有“同增异减” 变式：

1、已知函数f(x),g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上也是增函数。

2、已知函数f(x)在R上是减函数,g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

3、已知函数f(x)在R上是增函数,g(x)在R上都是减函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

例

4、已知函数f(x),g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是什么函数？

解：Θf(x)是奇函数

∴f(-x)=-f(x)

同理：g(-x)=-g(x)

∴f(-x)g(-x)=f(x)g(x)故f(x)g(x)是偶函数

例

5、已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？解：略

例

6、已知函数f(x),g(x)都是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？解：略

三、课堂练习

1、已知f(x)=ax2+bx+3a+b是R上的偶函数，且定义域为[a-1,2a]，则a+b=

<1>

32、判断下列函数的奇偶性

1-x2(1)f(x)=

(2)f(x)=1-x2+x2-1

2-x+2

(3)f(x)=x+1+x-

1(4)f(x)=xx∈[-1, 4]

参考答案：(1)奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数

(3)偶函数(4)非奇非偶函数评：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点成中心对称，然后判断f(-x)是否与-f(x)相等或是否互为相反数。

四、课堂小结

本节课复习了函数的基本性质的概念②用定义法证明或判断函数的单调性或奇偶性以及解题步骤

五、课后作业

第三篇：函数的基本性质测试二

函数的基本性质测试二

(本章测试共18题,满分100分,时间90分钟)日期姓名得分

一、填空题:(共十小题,每题4分,共40分)

11.函数y={-2x+4,x≤4的值域是____________________.1x-6,x>42

12.函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域为____________________.13.函数f(x)=x2-6|x|+5的值恒小于0，则该函数的定义域为____________________.14.函数f(x)=a|x|+b(a,b为常数)，且①f(-2)=0;②f(x)有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有x

序对(a,b)为___________.二、选择题：（共四小题，每题4分，共16分）

1.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[-3,-7]上是（）

A.增函数且最大值为-5

B.增函数且最小值为-5

C.减函数且最小值为-5

D.减函数且最大值为-5

三、解答题：（共四小题，第15题8分，第16题10分，第17题，18题13分，共44分）

四、设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈Z).（1）若f(-1)=0，且对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围.五、已知函数f(x)=x|x-a|，其中a∈R.（1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）解关于x的不等式：f(x)≥2a2；

（3）设集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对任意x∈R，有f(x+k)=kf(x)成立，问是否存在实数a，使得f(x)=x|x-a|属于集合M.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.

第四篇：函数的基本性质教学设计解读

函数的基本性质教学设计

广东封开江口中学高一数学组

卓益声

函数是高中数学中一个重要的内容，在各年各地的高考中都是命题的重点与热点，高一的函数概念及其基本性质是函数的基础内容，对后续课程内容的影响意义重大，因此，如何抓好这一块内容的教学，成为每一位数学老师关心的问题。下面就我个人的经验，对本部分内容进行简单教学设计，并在最后附加部分高考真题，供同行们参考，有许多不足之处，希望各位同仁多加指导。

第1课时：函数的单调性

一教学目标：理解增函数,减函数,单调区间的概念；掌握运用定义、图像对一些简单函数的单调性进行判断、证明的方法二教学重点：函数的单调性应用及证明

三教学难点：增函数，减函数的概念的理解及应用四教学内容：1.教学增函数，减函数概念：①给出函数实例（解析式，图像，函数值对应表格）；②结合实例请学生描述函数值y随自变量x的变化特点；③得出增函数概念、增区间概念；④增函数的图象特征；⑤学生仿照增函数的学习自学减函数、减区间。

2.函数单调性的简单应用

3.以实例讲解运用定义证明函数单调性并总结一般步骤：①取值

②作差③变形④判断（定号）⑤得结论。

五教材中蕴含的数学思想方法：

1、特殊到一般；

2、数形结合；

3、比较大小的方法：作差法六备选典型题目：

1、作下列函数的图像，并指出函数的增、减区间：

①f(x)=3x+2,x∈(-1,2] ②f(x)=|x-1| ③f(x)=2x2-4x-2 2.已知函数f(x)是R上的减函数，试比较下列值的大小：f(3)__f(-2)

f(-5)___f(-4)；如果f(a)>f(b)，比较大小 a___b ；解关于x的不等式：f(x)>f(2x+1)

3.证明函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数；证明函数f(x)=x2在1在(0,+∞)上是减函数 x第2课时：函数的最大值、最小值

一教学目标：掌握应用数形结合方法求有范围限制的二次函数的最值；能应用单调性求一些函数的最值二教学重点：函数最值的求法三教学难点：应用单调性求一些函数的最值四教学内容

1.结合实例教学函数最大值、最小值概念；(-∞,0)上是减函数；证明函数f(x)= 1

2.二次函数最值求法；

3.利用单调性求函数最值的方法(先证明单调性再求最值)。

五教材中蕴含的数学思想方法：

1、函数模型应用思想；

2、数形结合思想；六备选典型题目：

1、求下列函数的最大值或最小值：①f(x)=2x+1,x∈[-1,2]（可变换多种定义域练习）②f(x)=-x2-2x+2,x∈R（结合课本例3讲解此练习，还可变换定义域：x∈(-2,0]，x∈[0,2]，x∈(-2,1]等等）变形：求函数f(x)=21,x∈[2,6]（也可变换定义域再求）的最大值；

③f(x)=x-11-x(1-x)第3课时：函数的奇偶性

一教学目标：掌握奇函数、偶函数概念，能利用概念判断函数的奇偶性，能应用概念解决简单的奇偶性问题

二教学重点：利用概念判断函数的奇偶性，奇偶性质的简单应用三教学难点：函数的奇偶性概念的理解及判断应用四教学内容

1.奇函数、偶函数概念教学：①给出函数实例（解析式，图像，函数值对应表格）②结合实例请学生描述当自变量成相反数时函数值y 值的特点；③得出偶函数概念；④偶函数的图象特征；⑤学生仿照偶函数的学习自学奇函数；⑥结合练习介绍非奇非偶函数，既奇又偶函数；

2.利用定义判断函数奇偶性并总结方法：①求函数定义域；②判断定义域是否关于原点对称，如果不对称，函数是非奇非偶函数，如果对称，进入③；③检验：若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；

3.函数奇偶性质的简单应用

五教材中蕴含的数学思想方法：

1、数形结合；

2、判断函数奇偶性的方法六备选典型题目：

1、判断函数奇偶性：①f(x)=x3-x ②f(x)=2x4+x2 ③f(x)=x3+x2

④f(x)=0 ⑤f(x)=x-2+2-x ⑥f(x)=|x+1|

2、高考真题中第1题，第4题，第8题，第9题，第13题可直接选用

第4课时：函数的单调性与奇偶性综合

一教学目标：复习巩固增函数、减函数、奇函数、偶函数概念及性质特征，能解决函数性质的综合问题

二教学重点：解决函数性质综合问题三教学内容

1.函数的基本性质复习；

2.函数的基本性质综合问题举例

四涉及到的数学思想方法：

1、数形结合法；

2、分类讨论法

五备选典型题目：

1、若奇函数f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值是1，则f(x)在[-5,-3]上是___函数(填“增”或“减”)且有最____值(填“大”或“小”)是 _____（填写数值）。（此题可进行多种变形）；

2、定义在[-2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(a-1)

3、函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1-x)；求x<0时f(x)的解析式。第5课时：函数的基本性质（习题课）一教学目标：巩固函数基本性质知识，加强、提高应用能力二教学重点：函数单调性，函数奇偶性的判断及它们的综合应用三教学难点：函数单调性与奇偶性知识的区分四教学内容：

1.复习利用定义证明函数单调性的方法，判断函数奇偶性的方法

2.函数的基本性质问题应用举例

五涉及到的数学思想方法：

1、分类讨论思想；

2、转换思想

六备选典型题目：

1、已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明；（可变为奇函数，变区间进行练习）；

2、已知函数f(x)=x2-2ax+1在[-1,2]上是增函数，求实数（此题也可变为减函数，单调函数，变区间后再练习）；

a的取值范围。

3、判断函数f(x)={

x2+x,x<0-x+x,x>02的奇偶性；

函数的基本性质高考真题选：

1．（07广东）若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是

（）A、单调递减的偶函数

B、单调递减的奇函数

C、单调递增的偶函数

D、单调递增的奇函数

2．.（06广东）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

（）

1A、y=-x3,x∈R

B、y=sinx,x∈R

C、y=x,x∈R

D、y=()x,x∈R

23．（07辽宁）函数y=log1(x2-5x+6)的单调增区间为（）

255A、(,+∞)

B、(3,+∞)

C、(-∞,)

D、(-∞,2)

224．（07辽宁）已知函数y=f(x)为奇函数，若f(3)-f(2)=1，则f(-2)-f(-3)=__________;

15．（07福建）已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数

x的取值范

x围是

（）

A、(-∞,-1)

B、(1,+∞)

C、(-∞,0)Y(0,1)

D、(-∞,0)Y(1+∞)6．（07重庆）已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x>0时，f'(x)>0,g'(x)>0，则x<0时（）

A、f'(x)>0,g'(x)>0

B、f'(x)>0,g'(x)<0

C、f'(x)<0,g'(x)>0

D、f'(x)<0,g'(x)<0 7．(07重庆)函数f(x)=x2-2x+2x2-5x+4的最小值是_________。

8．（07宁夏）设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a=________ 9．（06辽宁）设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）

A、f(x)f(-x)是奇函数

B、f(x)|f(-x)|是奇函数 Cf(x)-f(-x)是偶函数

D、f(x)+f(-x)是偶函数 10．（07江苏）设f(x)=lg(（）

A、(-1,0)

B、(0,1)

C、(-∞,0)

D、(-∞,0)Y(1,+∞)

11．（07安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n，则n可能为

（）

A、0

B、1

C、3

D、5

a12．（07上海）已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R)，讨论函数f(x)的奇偶

x性，并说明理由。

113．（06全国）已知函数f(x)=a-x，若f(x)为奇函数，则a=______

2+114．（07全国）设a>1，函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之1差为，则a=（）

A、B、2

C、2

2D、4 22+a)是奇函数。则使f(x)<0的x的取值范围是1-x15．（07天津）设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2。若对任意的x∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是（）A、[2,+∞)

B、[2,+∞)

C、(0,2]

D、[-2,-1]Y[2,3]

第五篇：必修一函数的基本性质教案

必修一

1．3 函数的基本性质

教案

1．3．1 单调性与最大（小）值

1、引入

观察如下函数图象，说说它们的图象是单调上升，还是单调下降，有没有最大值或最小值。P27

2、研究函数单调性

函数图象的单调上升或是单调下降，我们统称为这是函数的单调性。那么我们怎样研究判断函数的单调性？

首先，研究一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x的单调性。P27 如

图所示

由图，可观察到函数f(x)=x的图象由左到右是上升的；而函数f(x)=x的图象在对称轴左侧是下降的，在对称轴右侧是上升的。所说的图象“上升”或“下降”反映的就是函数的单调性，那么，如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？

以二次函数f(x)=x为例，结合图象，不难发现，图象在对称轴左侧是“下降”的，也就是在区间（-∞，0

222]内，随着x的增大，相应的f(x)（即y值）反而减小；相反地，在对称轴的右侧图象是“上升”的，也就是在区间(0，+∞]内，随着x的增大，相应的f(x)（即y值）也随着增大。

那么该如何去描述“在区间(0，随着x的增大，相应的f(x)（即y 值）也随着增大”？+∞]内，描述如下：在区间(0，任取两个x1,x2，并且x1

23、增函数、减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上任取的两个值x1,x2，当x1

相反地，如果对于定义域I内某个区间D上任取的两个值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。这时区间D就叫单调减区间。

4、例题

P29 例1

例2 巩固练习

P32 练习1，2，3，4

1、已知函数f(x)=2x-mx+3，当x∈(-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,-2)时是减函数，则f(1)等于（）

A．-3

B．13

C．7

D．含有m的变量

22、如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是

2__________．

5、函数的最值

再次观察P27 图1.3-2两个图象，我们发现函数f(x)=x的图象上有一个最低点（0，0），即对于任意的x∈R，都有f(x)≥f(0)。当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值，这时的f(0)就是函数的最小值。那么f(x)=x有最低点吗？有最小值吗？

同样地，当一个函数的图象有最高点（a,b），也就是在定义域内，任意的一个x，都有

2f(x)≤f(a)，就说函数f(x)有最大值，这时的f(a)就是函数的最大值。

6、例题

P30 例3 例4 巩固练习： P32 练习5

1．3．2 奇偶性

1、观察P33 两图，讨论以下问题：（1）两函数图象关于什么对称？

（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？发现两个函数的图象都关于y轴对称。那么，如何利用函数解析式描述这两函数图象的这个特征呢？从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

例如：对于函数f(x)=x，有：

f(-3)=9=f(3)；

f(-2)=9=f(2)；

f(-1)=9=f(1)。

也就是，对于函数f(x)=x定义域R内任意的一个x，都有f(-x)=（-x）=x=f(x)。这时我们称函数f(x)=x为偶函数。

2、偶函数定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

问：例如：P34，图1.3-8 两个函数也都是偶函数，它们的函数图

象都关于什么对称？所以偶函数图象关于y轴对称。

3、观察P34，图1.3-9 两函数f(x)=x和f(x)=222221的图象，并完成下面两个函数值的对应表，你能x发现这两函数图象关于什么对称？两函数值对应表又是怎样体现这一特征的？

发现，两函数的图象都关于原点对称，由函数值对应表发现，当自变量x取一对相反数，相应的函数值f(x)也是一对相反数。

例如：对于函数f(x)=x，有：

f(-3)=－3=－f(3)；

f(-2)=－2=－f(2)；

f(-1)=－1=－f(1)。

也就是，对于函数f(x)=x定义域R内任意一个x，都有f(-x)=－x=－f(x)，这时我们称函数f(x)=x为奇函数。

4、奇函数定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。奇函数关于原点对称。

思考：若奇函数定义域中有0，则其图象必过原点，即f(0)=0。这句话对吗？

5、利用奇偶函数定义判断函数奇偶性

P35 例5 判断下列函数的奇偶性：

小结：要判断函数的奇偶性，首先，函数定义域必须是成对的相反数也，也就是定义域必须关于原点对称，然后根据f(-x)=f(x)或f(-x)=－f(x)来判断其奇偶性。

练习：P36 练习1

6、利用函数奇偶性比较函数值大小

如图，给出了偶函数y=f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小。

7、利用函数奇偶性求函数解析式

（-∞，+∞）

已知，函数f(x)是定义在上的奇函数，当x>0时，f(x)=x（1+3x)，求：

（1）f(-8)；

（2）当x<0时，f(x)的解析式。

8、函数奇偶性与单调性的综合利用