广东省梅州市五华县水寨中学2020-2021学年高考压轴卷数学试卷含解析〖加13套高考模拟卷〗

广东省梅州市五华县水寨中学2020-2021学年高考压轴卷数学试卷

请考生注意：

1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()sin(3)6

f x x π

=+

的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来

的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．

9

π

B ．

29

π C ．

18

π D ．

24

π

2．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．

π

3

B ．

π6

C ．

π2

D ．

π4

3．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“

”表示一个阳爻，“

”表示一个阴爻）若

从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）

A ．

3

56

B ．

328

C ．

314

D ．

14

4．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意

(,]x m ∈-∞，都有40

()9

f x ≤

，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4

?

?-∞ ??

?

B ．19,

3??-∞ ???

C ．(,7]-∞

D ．23,

3??

-∞ ???

5．已知集合3{|0}2

x

A x Z x -=∈≥+，

B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3}

B ．{﹣1，0，1，2}

C ．{0，1，2}

D ．{x ﹣1≤x≤2}

6．在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ?的面为S ，且()2

243S a b c =+-，则sin 4C π??

+

= ??

?

（ ） A ．1

B ．

22

C ．

62

4

- D ．

62

4

+ 7．已知向量a ，b 夹角为30，()

1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2

B ．4

C ．23

D ．27

8．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为

(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）

A ．1212,()()p p E E ξξ><

B ．1212,()()p p E E ξξ

C ．1212,()()p p E E ξξ>>

D ．1212,()()p p

E E ξξ<<

9．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

10．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点

(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数

C ．()y f x =的图像关于直线2

x π=

对称

D ．()y f x =的最大值是

3

11．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

12．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种

B ．240种

C ．480种

D ．600种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则的值

是 ．

14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________.

15．函数()

(

)

41f x x

x x =

-+-的值域为_____.

16．若,x y 满足约束条件222022x y y x y +≥??

-≤??-≤?

，则z x y =+的最大值为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数()()2

14f x x a a R x =-+-

∈，ln ()x

g x x

=. （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；

（2）用{}max ,m n 表示m 、n 中的最大值，设函数()()(){}()max ,0h x xf x xg x x =>，当0<<3a 时，

讨论()h x 零点的个数.

18．（12分）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若

1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.

（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ；

（Ⅱ）若二面角11C AA B --为

3

π

，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 19．（12分）已知函数()|2|f x x =-，()||1g x a x =-. （1）若不等式(3)3g x -≥-的解集为[]

2,4，求a 的值. （2）若当x ∈R 时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.

20．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，

②

，其中

均为常数，为自然对数的底数．

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：

（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；

②参考数据：，，．

21．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．

(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；

(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X ．

22．（10分）已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；

（2）若不等式2

2()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【解析】 【分析】

根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】

解：由题意知，将函数()sin(3)6

f x x π

=+

的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得

()sin 36y x m π??=-+???

?，再将sin 336y x m π?

?=-+????图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不

变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)2

6

g x x m π

∴=-+，

因为()g x 是奇函数， 所以3,6

m k k Z π

π-+

=∈，解得,18

3

k m k Z π

π

=

-

∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18

π. 故选：C

【点睛】

本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题. 2、A 【解析】 【分析】

由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围

()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1

cos 2

B =

，即可得解B 的值． 【详解】

解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2

B =， ∴3

B π

=

．

故选A ． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 3、C 【解析】 【分析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是2

33C =；

仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是1

33C =，于是所求

的概率2

8333

14

P C +==． 故选：C 【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

4、B 【解析】 【分析】

求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】

当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n n

f x f x n x n x n =-=----，

max ()2n f x =，又40

489

<

<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---， 令40()9f x =，得3

402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤

. 故选：B. 【点睛】

本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 5、A 【解析】 【分析】

解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】

∵集合3{|

0}2

x

A x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，

B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 【点睛】

此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 6、D 【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】

解：由()2

2a b c =+-，

得222

1sin 22ab C a b c ab =+-+，

∵ 2222cos a b c ab C +-=，

∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，

cos 1C C -=

即2sin 16C π?

?-= ??

?，

则1sin 62

C π??

-

= ??

?， ∵ 0C π<<， ∴ 56

6

6

C π

π

π-

<-

<

， ∴ 6

6

C π

π

-

=

，即3

C π

=

，

则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ????+=+=+= ? ?????1222+ 故选D ． 【点睛】

本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键． 7、A 【解析】 【分析】

根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】

由于(

)

2

22

2244a b a b

a a

b b -=-=-?+=

2=， 故选：A. 【点睛】

本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 8、A

分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球，

有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；

如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，

对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.

点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果. 9、C 【解析】 【分析】

化简得到34z i =--，得到答案. 【详解】

()117i z i +=-，故()()()()

1711768341112i i i i

z i i i i -----=

===--++-，对应点在第三象限. 故选：C . 【点睛】

本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 10、D 【解析】 【分析】

通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】

解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；

D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]

1,1t ∈-则()322g t t t =-，()2

26g t t '=-，[1t ∈-，

1]，则3

3t -<<

时()0g t '>，13t -<<-或13t >>()0g t '<，即()g t 在,33?- ??

上

单调递增，在1,?- ??和?

???

?上单调递减；

且g =??

()10g -=，max y g ∴==

本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题． 11、D 【解析】 【分析】

根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】

由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==

则212a bi i +=+==故选：D 【点睛】

本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题. 12、B 【解析】 【分析】

首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】

将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：211

532

3

310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4

424A =种分配方法；

由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240?=种 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平