2021届广东省中山一中等七校高三第一次联考数学(理)试题Word版含答案

2021届广东省中山一中等七校高三第一次联考

数学（理）试题

本试卷共4页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.

参考公式： 24S R π=球表，其中R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.{}

2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R A

B =（ ）

A .[]2,5 B.(2,5] C.[]1,2- D.[)1,2-

2．如果复数21m i

mi

++是纯虚数,那么实数m 等于（ ）

A ．1-

B ．0

C ．0或1

D ．0或1-

3．设,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥??

+-≤??≥?

，则目标函数z x y =+最大值是（ ）

A ．3；

B ．4；

C ．6； D.8

4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2

(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区

间(3,6)内的概率为（ ）

（附：正态分布2

(,)N μσ中，()68.26%P μσξμσ-<<+=(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）

A ．4.56% B.13.59% C ．27.18% D.31.74%

5．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）

A ．2x

y = B ．2x

y = C ．22x x y -=- D ．22x x

y -=+ 6．下列有关命题的说法正确的是( )

A . 命题“若21x =,则1x =”的否命题为:“若2

1x =,则1x ≠”. B . “1x =-”是“2

560x x --=”的必要不充分条件．

C . 命题“x ?∈R ,使得2

10x x ++<”的否定是:“x ?∈R ,均有2

10x x ++<”. D . 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题. 7．已知函数sin(2)y x ?=+在6

x π

=处取得最大值，则函数cos(2)y x ?=+的图象（ ）

A .关于点(

0)6π,对称 B ．关于点(0)3

π

,对称 C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3

x π

=对称

8．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是（ ）

9．二项式29

1(2)x x -展开式中,除常数项外,各项系数的和为（ ）

A. 671-

B. 671

C. 672

D. 673

10.某一简单几何体的三视图如图1所示,该几何体的外接球的表面积是（ ）

A . 13π

B . 16π

C . 25π

D . 27π

11.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲

线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）

A .52

5 2 D .2

12. 已知函数2y x =的图象在点()

2

00,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0

x 必满足（ ）

A ．012x <<

0 B ．01

2

x <<1 C ．

22

2

0<

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()⊥-a a b ,则a 与b 的夹角是____. 14.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增 加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著 名的“徽率”.如图2是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框 图,则输出的值为____.

(参考数据:sin150.2588?=,sin7.50.1305?=

15.过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,若||3AF =,

则||BF =______.

16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥

，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ．

三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*

n ∈N ．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；

（Ⅱ）是否存在*

, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；

若不存在，请说明理由；

18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=?．点E 是棱PC 的中点，平 面ABE 与棱PD 交于点F ． (Ⅰ)求证：//AB EF ；

(Ⅱ)若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余

弦值．

19.(本小题满分12分)

某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：

万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．

已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36． (Ⅰ)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (Ⅱ)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．

20.(本小题满分12分)

已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ?面积的最小值．

21.

(本小题满分12分)

已知函数()ln f x x =，()()h x a x a R =∈.

（Ⅰ）函数()f x 与()h x 的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数

m ，使得对任意的1(,

)2x ∈+∞，都有函数()m

y f x x

=+的图象在()x e g x x =的

图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由.

（参考数据：ln 20.6931=，,ln3 1.0986= 1.3956==）.

请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号. 22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲

已知曲线C 的参数方程为21x y α

α

?=??=+??(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为

极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；

(Ⅱ)设12::63l l ππ

θθ==，，若l 1 、l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A 、B ，求△AOB 的面积.

23. (本小题满分10分)选修45-:不等式选讲

已知函数12)(---=x a x x f . (Ⅰ)当2=a 时，求03)(≥+x f 的解集；

(Ⅱ)当]3,1[∈x 时，3)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围.

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数学（理）试题参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

12.【解析】D ；画出图像，显然可以排除A 、B 选项.由题x x f 2)(='，2

00)(x x f =，所以l 的方程为

2

000)(2x x x x y +-=2

002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，所

以l 的方程为y 1ln 111

-+=x x x

，这样有??

???

=-=2

0110ln 1

12x x x

x ，所以2

002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2

--=x x x g ，()1,x ∈+∞，又因为x

x x g 12)(-='x x 1

22-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，

又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g ，

2ln 0g =-

0x <

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.60? 14. 24； 15. 3

2

； 16. 5；

16.【解析】5；在△ABC

中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，

5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=5

2x

=

． 在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =， 由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==??CDB ADC ∠+∠=π，

所以cos cos ADC CDB ∠=-∠5

2x

=-．解得5x =．所以AD 的长为5.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】(Ⅰ)11110(21)(2)a a a =++，得2

112520a a -+=，解得12a =，或112

a =．

由于11a >，所以12a =．.…………1分

因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以2

10252n n n S a a =++.

故22

1111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，.…………3分 整理，得22

112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．.

因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此15

2

n n a a +-=．…………5分 则数列{}n a 是以2为首项，5

2

为公差的等差数列. 所以51

2(1)(51)22

n a n n =+

-=-.……………………………6分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：

假设存在*

, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，…………………8分

则1

5151(51)2

m n k -+-=-．…………………9分

整理，得3

225

m n k +-=， ①

显然，左边为整数，所以①式不成立．

故满足条件的正整数, , m n k 不存在．…………………12分

18.【解析】(Ⅰ)∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ， 又∵AB ?面PCD ，CD ?面PCD ，

∴//AB 面PCD ，…………2分

又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =∴//AB EF ；…………4分

(Ⅱ) 取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥， 在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=?，G 是AD ∴AD GB ⊥，…………………6分

如图，建立空间直角坐标系G xyz -，设2PA

PD AD ===，

则(0,0,0)G ，(1,0,0)A

，B (C -，(1,0,0)D -，

P ， 又∵/

/AB EF ，点E 是棱PC 中点， ∴点F 是棱PD 中点，

∴(1,

2

2E -，1(,0,22

F -，3(,0,22AF =-,1(,22

EF =-，……………8分 设平面AFE 的法向量为(,,)n x y

z =，则有0

0n AF n EF ??=???=??，∴3z y x ?=??=??

，

不妨令3x =，则平面AFE

的一个法向量为(3,3,3n =，…………………10分 ∵BG ⊥平面PAD ，∴GB =是平面PAF 的一个法向量，

∵cos ,13

39n GB n GB

?=

=

=

?， ∴平面PAF 与平面AFE ．………………12分 19.【解析】(Ⅰ)设下周一无雨的概率为p ，由题意，2

0.36,0.6p p ==，…………2分

基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==………………………………………4分 ∴基地收益X 的分布列为：

()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =?+?+?+?=，…………………………5分

∴基地的预期收益为14.4万元．……………………………………………6分 (Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，

则其预期收益()200.6100.416E Y a a =?+?-=-（万元），…………………8分 ()() 1.6E Y E X a -=-，…………………9分

综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．……………………12分

20.【解析】(Ⅰ)由题意可知：动点M 到定点(1,0)F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离，根据抛物线

的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线。 ……2分

2p =，∴抛物线方程为：24y x = ……3分

（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212

(

,)22

x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，

由24, (1),

y x y k x ?=?=-?得2222

(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k .…………………5分

因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+，12124

(2)y y k x x k

+=+-=．

所以点P 的坐标为222

(1, )k k

+.…………………6分

由题知，直线2l 的斜率为1k

-，同理可得点Q 的坐标为2

(12,2)k k +-.…………………7分

当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2

222221112PQ k

k k k k k k

+==-+--.……8分 所以，直线PQ 的方程为2

2

2(12)1k y k x k k

+=---， 整理得2

(3)0yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；

当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．

综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ． …………………10分 （Ⅲ）可求的||

2EF ， 所以FPQ ?面积121

||(

2||)2(||)42||||

S FE k k k k =+=+≥. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ?面积的最小值为4．……………12分

21.【解析】(Ⅰ)函数()f x 与()h x 无公共点，等价于方程

ln x

a x

=在(0,)+∞无解.…2分 令ln ()x t x x =

，则21ln '(),x

t x x -=令'()0,t x =得x e = x (0,)e e (,)e +∞

'()t x

＋ 0 － ()t x

增 极大值 减 因为x e =是唯一的极大值点，故max 1

()t t e e

== ………………4分

故要使方程

ln x

a x

=在(0,)+∞无解，当且仅当1a e > 故实数a 的取值范围为1

(,)e

+∞ …………………6分

（Ⅱ）假设存在实数m 满足题意，则不等式ln x m e x x x +<对1

(,)2

x ∈+∞恒成立.

即ln x

m e x x <-对1(,)2

x ∈+∞恒成立. …………………6分

令()ln x r x e x x =-，则'()ln 1x

r x e x =--，

令()ln 1x x e x ?=--，则1'()x

x e x

?=-， ……………7分

因为'()x ?在1(,)2

+∞上单调递增，1

21'()202e ?=-<，'(1)10e ?=->，且'()x ?的图象在1

(,1)2上

连续，所以存在01(,1)2

x ∈，使得0'()0x ?=，即0010x

e x -=，则00ln x x =- ………9分 所以当01

(,)2

x x ∈时，()x ?单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()x ?单调递增，

则()x ?取到最小值000001()ln 11x

x e x x x ?=--=+

-110≥=>， 所以'()0r x >，即()r x 在区间1(,)2

+∞内单调递增. …………………11分

11

221111

()ln ln 2 1.995252222

m r e e ≤=-=+=，

所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1. …… ………12分

22.【解析】(Ⅰ)∵曲线C 的参数方程为?????+=+=α

α

sin 51cos 52y x (α为参数)

∴曲线C 的普通方程为()()5122

2

=-+-y x …………2分

将??

?==θ

ρθ

ρsin cos y x 代入并化简得：θθρsin 2cos 4+=

即曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4+=. …………5分 （Ⅱ）在极坐标系中，θθρsin 2cos 4+=：C

∴由?????+==θ

θρπθsin 2cos 46

得到132+=OA …………7分 同理32+=OB . ………… 9分

又∵6

π

=

∠AOB ∴4

3

58sin 21+=

∠?=

?AOB OB OA S AOB . 即AOB ?的面积为

4

3

58+. …………10分 23.【解析】(Ⅰ) 当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-，

①1,22213x x x ?

2213x x x ?≤

或③2,2213x x x ≥??--+≥-?…………………3分 解①得142x -≤<；解②得1

22

x ≤<；解③得2x =.…………………4分

综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤. …………………5分

（Ⅱ）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立，

即32122x a x x -≤+-=+. …………………6分 故2222x x a x --≤-≤+，

即322x a x --≤-≤+，…………………8分

∴232x a x --≤≤+对[]1,3x ∈时成立.

[3,5]a ∴∈-. …………………10分