湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试卷

湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试

数 学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．当

2

13

m <<时，复数(3i)(2i)m +-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．曲线

221259x y +=与曲线22

1925x y k k

+=--（9k <且0k ≠）的（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等

3．数列{}n a 的通项3(7)4,4,

,4,n n t n n a t n --+≤⎧=⎨>⎩若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）

A ．(4,7)

B ．32,75⎛⎫

⎪⎝⎭

C ．32,75⎡⎫

⎪⎢⎣⎭ D ．(1,7) 4．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）

A B C ．2 D ．12

5．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介人，同时所有人都没有免疫力的情况下，

一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，对于01R >，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数03R =，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（ ）（参考数据：

653729,41024==）

A ．35

B ．42

C ．49

D ．56

6．半径为5的圆O 内有一点P ，已知||4OP =，过点P 的21条弦的长度构成一个递增的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差的取值范围为（ ）

A ．10,5⎛⎤

⎥⎝⎦

B ．30,5⎛

⎤ ⎥⎝

⎦

C ．40,5

⎛⎤ ⎥⎝

⎦ D ．14,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦

7．已知0ω>，函数()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上存在最值，则ω的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫

⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1339,,2222⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭ D ．133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

8．已知函数2

()f x x mx n =++，则存在,m n ∈R ，对任意的x ∈R 有（ ） A ．()(22022)f x f x <+ B ．2022(())2022f f x x ≥

C ．22022f

f x ⎛≥ +⎝⎭

D ．(sin )(cos )f x f x ≤

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知圆2

2

:230A x y y +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线1x =-与圆A 相切 B ．圆A 截y 轴所得的弦长为4 C ．点(1,1)B --在圆A 外

D ．圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为3 10．已知n S 是{}n a 的前n 项和，下列结论正确的是（ ） A ．若{}n a 为等差数列，则n pS n ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

（p 为常数）仍然是等差数列 B ．若{}n a 为等差数列，则322n n n S S S =- C ．若{}n a 为等比数列，公比为q ，则(

)21n

n n

S q

S

=+

D ．若{}n a 为等比数列，则“,,,,m n p q m n p q *

+=+∈N ”是“m n q p a a a a ⋅=⋅”的充要条件

11．点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面正方形11ADD A 内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（ ）

A ．满足1MC AD ⊥的点M

B ．点M 存在无数个位置满足直线1B M ∥平面1B

C D

C ．在线段1A

D 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒

D ．若

E 是1CC 的中点，则平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为12．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分

别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）

A ．存在点P ，使得12||||2PA PF a -=

B ．存在点P ，使得直线12,PA PA 的斜率的绝对值之和122PA PA b

k k a

+≤ C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个

D ．若2

12PA PA b ⋅=，则120PF PF ⋅=

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．

14．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球

O

的球面上，

1120,2AB AC BAC AA ==∠=︒=，则球的表面积为___________．

15．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的

两条渐近线分别交于A ，B 两点．若112,0F A AB F B F B =⋅=，则C 的离心率为___________．

16．已知数列{}n a 满足()22

11112n n n n n n a a a a a a +++++=-+．

（1）若31a =，则n a =___________；

（2）若对任意正实数t ，总存在1(3,)a λ∈和相邻两项1,k k a a +，使得1(21)0k k a t a +++=成立，则实数λ的取值范围是___________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，三个点(0,0),(2,0),(0,6)O A B -到直线l 的距离均为d ，且1d <． （1）求直线l 的方程；

（2）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为5

，求圆C 的标准方程．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 中点，F 为PD 中点，2,1AB PD BC ===．

（1）证明：EF ∥平面PBC ； （2）求点E 到平面PBC 的距离． 19．（本小题满分12分）

8月份，有一新款服装投入某市场．8月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当8月某日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，已知8月31日当天刚好售出3件． （1）问8月几日该款服装销售最多？最多售出几件？

（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？ 20．（本小题满分12分）

已知抛物线2

:4,(1,2),(,0)C y x A B m =，其中0m >，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．

（1）当直线l 垂直于x 轴，且AMN △为直角三角形，求实数m 的值；

（2）若四边形OAPB 是平行四边形，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM AN ⊥． 21．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的首项13

5

a =，且满足1321n n n a a a +=+．

（1）求证：数列11n a ⎧⎫

-⎨

⎬⎩⎭

为等比数列； （2）设数列{}

n b 满足1

3,,2,,2n n n a

b n n n n

n ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得

122k b b b m +++<对一切正整数k 均成立．

22．（本小题满分12分）

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为1(2,0)F -．过1F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆交

于()()1122,,,A a b B a b 两点，且112AF F B =．

（1）求证：()2

121220b b b b ++=，并求椭圆C 的方程；

（2）设()()()()11223344,,,,,,,M x y P x y N x y Q x y 是椭圆C 上顺时针依次排列的四个点，求

四边形MPNQ 面积的最大值并计算此时的2222

1212,x x y y ++的值．

湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

2．C 【解析】曲线

1259x y +=表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为4

5

，

焦距为8的椭圆．曲线

22

1

925

x y

k k

+=

--

（9

k<且0

k≠）表示焦点在y

轴上，长轴长为

短轴长为

，焦距为8的椭圆．对照选项，则C正确．

3．A 【解析】由已知得

2

70,

1,

4(7)4,

t

t

t t

->

⎧

⎪

>

⎨

⎪-+<

⎩

解得47

t

<<．故选A．

4．B 【解析】解法一：

如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD，

作CG PD

⊥于点G，CH PA

⊥于，点H，连接HG，

有

cos,

cos cos,

PH

CPA

PC

PG PH PH

CPD APD

PC PG PC

⎧

∠=

⎪⎪

⎨

⎪∠⨯∠=⋅=

⎪⎩

故cos cos cos

CPA CPD APD

∠=∠⨯∠．

已知60,30

APC APD

∠=︒∠=︒，

故

cos cos60

cos

cos cos30

CPA

CPD

APD

∠︒

=

∠︒

∠==为所求．

解法二：

如图所示，把,,

PA PB PC放在正方体中，,,

PA PB PC的夹角均为60︒．

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)

P C A B，

所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)

PC PA PB

=-==-，

设平面PAB的法向量(,,)

n x y z

=，则

0,

0,

n PA y z

n PB x y

⎧⋅=+=

⎪

⎨

⋅=-+=

⎪⎩

令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，

所以2cos ,3||||2PC n PC n PC n ⋅-〈〉=

==⋅⨯． 设直线PC 与平面PAB

所成角为θ

，所以6

sin |cos ,|3

PC n θ=〈〉=， 所以cos θ==

．故选B ． 5．B 【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染， 则每轮新增感染人数为0n

R ，

经过n 轮传染，总共感染人数为：1

20

00

111n n R R R R R +-+++⋅⋅⋅+=-，

因为03R =，所以当感染人数增加到100人时，

1

13100013

n +-=-，化简得3667n =， 由563243,3729==，故得6n ≈，又因为平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天， 故答案为B ．

6．A 【解析】由题知过点P 的最短弦与OP 垂直，弦长为6，最长弦为圆O 的直径，其长为10，过点P 的21条弦的长度构成递增的等差数列，则公差d 的最大值为1061

2115

-=-，

故{}n a 的公差的取值范围为10,5

⎛⎤ ⎥⎝⎦

，故选A ．

7．D 【解析】解法一：当()sin f x x ω=取最值时，,2

x k k π

ωπ=+

∈Z ．

即2,k x k π

πω

+

=

∈Z ， 由题知

23k π

ππ

πω

+

<

<，故1132k ωω<+<．

即33,21,

2

k k k ωω⎧

<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩Z ．

因为0,0k ω>=时，1322ω<<；1k =时，39

22

ω<<；

显然当32ω>

时，2232232

T ππππωω==<=，此时()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上必有最值点． 综上，所求133,,222ω⎛⎫⎛⎫

∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

解法二：由()cos f x x ωω'=，

()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上存在最值，

即()0f x '=在,3ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上有解． 即,2x k k π

ωπ=+

∈Z 在,3ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上有解． 以下同解法一． 解法三：特例代入法 分别取3

,52

ωω=

=，易知A 、B 、C 错，故选D ． 8．C 【解析】A 选项，由题意可知，函数图象开口向上，对称轴为2m x =-

，当220222

m x +=-时，根据二次函数性质知不成立，故A 错误；B 选项，(())f f x 为四次函数，因为2022

x

y =为指数函数，则x →+∞时，一定有2022(())2022x

f f x <，故B 错误；C 选项，

≥，则只需()

f x 左边即

可，即2m -

≤所以m ≥即可，故C 正确；D 选项，分别取,0,,22

x ππ

π=-，可得(0)(1)(1)f f f =-=，对二次函数来说是不可能的，故D 错误．故选C ．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．BC 【解析】由圆:230A x y y +--=得(1)4x y +-=， 所以圆心(0,1)A ，半径2r =，

对于A ：圆心A 到直线1x =-的距离为1，所以直线1x =-与圆A 相交，故A 错误； 对于B ：圆心A 在y 轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B 正确；

对于C ：点(1,1)B --到圆心A 的距离2d ==>，所以点B 在圆A 外，故C 正确；

对于D ：圆心A 到直线的距离

3d =

=，所以圆A 上的点到直线34190

x y -+=的最小距离为321-=，故D 错误．故选BC ． 10．AC 【解析】对于A ，由211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫

=+

=+- ⎪⎝

⎭，故12

2n pS pd

d n p a n ⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭．易知n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）是首项为1a p ，公差为2pd 的等差数列，

A 正确；

对于B ，由{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --仍成等差数列，故有

()()2322n n n n n S S S S S -=+-，所以()323n n n S S S =-，B 不正确；

对于C ，()212212n n n n n n n n n S S a a a q a a a q S ++-=+++=++

+=，

故()21n

n n S q S =+，C 正确；

对于D ，充分性易证．而若{}n a 为常数列时，如3n a =，则210013a a a a ⋅=⋅，但210013+≠+，故必要性不成立，D 不正确。故选AC ．

11．ABD 【解析】对于A ，如图1，因为CD ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A ，

所以1CD AD ⊥；

因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD A D ⊥； 又1,CD A D ⊂平面111,A B CD CD

A D D =，所以1AD ⊥平面11A

B CD ，

所以点M 轨迹即为平面11A B CD 与平面11ADD A 的交线，即为1A D ，

所以点M =A 符合题意；

对于B ，如图2，因为11,B D BD BD ⊂∥平面111,BDC B D ⊄平面1BDC ，所以11B D ∥平面1BDC ；

同理可得：1AD ∥平面1BDC ，又1111111,,B D AD D B D AD =⊂平面11AB D ，

所以平面11AB D ∥平面1BDC ，

所以点M 轨迹为平面11AB D 与平面11ADD A 的交线，即1AD ， 所以点M 存在无数个位置满足直线1B M ∥平面1BC D ，B 符合题意；

对于C ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 以正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图3所示空间直角坐标系，

则11(0,1,0),(0,0,0),(1,1,1),(1,0,0),(0,0,1)C D B A D ， 所以1(0,1,0),(1,0,1)DC AD ==-， 设1(,0,),(01)M s t AM AD λλ=≤≤，

所以(1,0,)(,0,)s t λλ-=-，则(1,0,)M λλ-， 所以1(,1,1)B M λλ=---，

所以111cos ,||

B M

DC B M DC B M DC λ〉⋅〈=

=

=

⋅，

则当1

2

λ=

时，1max cos ,cos3032B M DC 〉︒〈=<=， 所以1B M 与DC 夹角大于30︒，C 不符合题意；

对于D ，由C 可得空间直角坐标系如图4，

则1

1

(1,0,0),(0,0,1),0,1,2A D E ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

， 所以111(1,0,1),0,1,2AD D E ⎛⎫=-=-

⎪⎝

⎭

， 设平面1AD E 的法向量(,,)n x y z =，

所以110,1

0,2

AD n x z D E n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令2z =，解得：2,1x y ==，所以(2,1,2)n =，

又平面11BCC B y ⊥轴，所以平面11BCC B 的一个法向量(0,1,0)m =， 所以||1

|cos ,|3

||||m n m n m n ⋅〈〉=

=⋅，所以|tan

,|22m n 〈〉=

即平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为，D 符合题意． 另由几何法（略）不难解得C 错，D 正确．故选ABD ．

12．AD 【解析】设()00,P x y ．对于A ，由双曲线的定义，只需11PA PF =即可，即只需P 点为线段11A F 的中垂线与双曲线的交点，知A 正确； 对于B ，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以12

2

000

2

2

000PA PA y y y k k x a x a x a

⋅=⋅=+--，又2200221x y a b -=， 所以()12222

22

022,PA PA

b b y x a k k a a =-⋅=，故122PA PA b k k a

+≥=，当且仅当

12PA PA k k =时等号成立，又分析得等号不可能成立，故B 错误；

对于C ，若P 在第一象限，则当12PF c =时，222PF c a =-，

12PF F △为等腰三角形； 当22PF c =时，11222,PF c a PF F =+△也为等腰三角形， 故点P 在第一象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 有两个．

同理，在第二、三、四象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 也各有两个， 因此使得12PF F △为等腰三角形的点P 共有八个，故C 错误；

对于D ，由2222

1200PA PA x y a b ⋅=+-=，得2220

0x y c +=， 从而222

12000PF PF x y c ⋅=+-=，故D 正确．故选AD ．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．

3

10

【解析】从5条线段中任取3条线段的基本事件总数为10，能构成三角形的情况有：(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个基本事件，故概率为3

10

．

14．12π 【解析】设ABC △和111A B C △的外心分别为D ，

E ．

可知其外接球的球心O 是线段DE 的中点，连接,OC CD ， 设外接球的半径为R

，ABC △的外接圆的半径r ，

120AB AC BAC ==∠=

︒，作图易得r =

（或可得BC =

2r =，所以r =）

而在OCD △中，可知2

2

2

||||||CO OD CD =+，

即2213R r =+=，

因此三棱柱外接球的表面积为2

412S R ππ==． 故答案为12π．

15．2 【解析】如图，因为1F A AB =，且120F B F B ⋅=，

所以121,F B F B F A AB ⊥=，

又点A 是1F B 的中点，点O 是12F F 的中点，2OA F B ∥，所以1OA F B ⊥， 则1AOF AOB ≌△△，则1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，

所以一条渐近线的斜率为

tan 60b

a

=︒=

所以2c e a ===，故答案为2．

16．（1）4n -；（2）7

,2

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

【解析】由已知整理得()2

110n n a a +-+=， 所以11n n a a +-=-．

所以数列{}n a 是公差为1-的等差数列， （1）31a =时，4n a n =-．

（2）1(21)1(21)2(1)10k k k k k a t a a t a t a +++=-++=+-=． 得1

2(1)

k a t =

+，

因为0t >，故102

k a <<

．

所以11012

a k <+-<， 即1112

k a k -<<-

． 从而11,(3,)2k k λ⎛⎫

--⊆ ⎪⎝⎭，即有13,

1

,2k k λ-≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩ 所以7

2

λ≥．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．【解析】（1）由几何意义可知，直线l 为ABO △的三条中位线，

而O 到OB 边的中位线距离为1．O 到OA 边的中位线距离为3．O 到AB 边上的中位线距离

12

OA

d <

=，故直线l 只能为AB 边上的中位线， 即直线l 过点(1,0),(0,3)-．故直线l 的方程113x y

+=-，即330x y --=；

（2）设圆的标准方程为2

2

2

(),0,0x a y r a r -+=>>，

则22222

(1),,

10a r r ⎧-=⎪⎛⎨+= ⎪⎝⎭⎩

解得2a =或0（舍去），1r =，

所以圆C 的标准方程为2

2

(2)1x y -+=．

18．【解析】（1）证明：取PC 的中点G ，连接,BG FG ，

因为F 为PD 中点，所以1

,2

FG DC FG DC =∥， 因为E 为AB 中点，所以1

2

BE AB =， 因为,AB DC AB DC =∥， 所以,BE FG BE FG =∥， 所以四边形BEFG 为平行四边形， 所以EF BG ∥，

因为EF ⊄平面,PBC BG ⊂平面PBC ，

所以EF ∥平面PBC ； （2）解法一：（几何法）

设DC 中点为Q ，连接EQ ，则EQ BC ∥，

故Q 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离． 设QH PC ⊥，垂足为H ， 因为,BC CD BC PD ⊥⊥， 所以BC ⊥平面,PDC BC QH ⊥， 从而QH ⊥平面PBC ．

设DM PC ⊥，垂足为M ，则DM PC DP DC ⋅=⋅，

故有

DM ==，

从而12QH DM =

=． 解法二：（等体积法）

由已知有,BC DC BC PD ⊥⊥，

所以BC ⊥平面PDC ，故,BC PC PCB ⊥△为直角三角形，

PD ⊥平面EBC ，设点E 到平面PBC 距离为h ，

由E PBC P EBC V V --=，得11

33

PBC EBC S h S PD ⨯=⨯△△，

又PC =

=

即1111

11113232

h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，

解得h =

解法三：（坐标系法）

因为PD ⊥平面,,ABCD AD DC ⊂平面ABCD ， 所以,PD AD PD DC ⊥⊥，

因为四边形ABCD 为矩形，所以AD DC ⊥， 所以,,PD AD DC 两两垂直，

所以以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，

则(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C P ， 因为E 为AB 中点，所以(1,1,0)E ，

所以(1,0,0),(0,2,1),(0,1,0)CB PC EB ==-=， 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，

则0,20,

m CB x m PC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1y =，则(0,1,2)m =， 所以点E 到平面PBC

的距离为||1||1EB m d m ⋅=

==+ 19．【解析】（1）设8月n 日售出的服装件数为(

)

,131n a n n *

∈≤≤N ，最多售出k a 件．

由题意知33(1),

2(31)3,k k

a k a k =+-⎧⎨--=⎩

解得13,

39,k

k a =⎧⎨

=⎩

所以8月13日该款服装销售最多，最多售出39件． （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，

因为3,113,652,1431,n n n a n n ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩

所以(33),113,2

273(51)(13),1431.

n n n

n S n n n +⎧≤≤⎪

=⎨⎪+--≤≤⎩ 因为13273200S =>，

所以当113n ≤≤时，由200n S >，得1213n ≤≤，

当1431n ≤≤时，日销售量连续下降，由20n a <，得2331n ≤≤， 所以该款服装在社会上流行11天（从8月12日到8月22日）．

20．【解析】（1）由题意:l x m =，代入2

4y x =中，解得y =± 不妨取(

,2),(,2)M m m N

m m -，

则(1,22),(1,2)AM m m AN m =--=--，

即2

(2)(1,2)(1)(44)0AM AN m m m m ⋅=-⋅--=-+-=，

故5m =或1，易知1m =不合题意，舍去，故5m =． （2）由题意四边形OAPB 为平行四边形，则2BP OA k k ==，

设直线22

1212:2(),,,,44y y l y x m M y N y ⎛⎫⎛⎫

=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

联立22(),4,

y x m y x =-⎧⎨=⎩得2

240y y m --=，

由题意，判别式Δ4160m =+>， 12122,4y y y y m +==-，

要使AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，

又22

12121,2,1,244y y AM y AN y ⎛⎫⎛⎫

=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

即()()22

12121122044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

， 化简，得()()1222160y y +++=，

即()12122200y y y y +++=，代入解得6m =． 故6m =时，有AM AN ⊥．

21．【解析】（1）证明：由已知得，

1121

33n n

a a +=+， 所以

1111

113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 因为112

103

a -=≠，

所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

是首项为23，公比为1

3的等比数列．

（2）由（1），当n 为偶数时，12

323

n n n b a =-=-， 当n 为奇数时，222

222

n n n b n n n n +=+=+-

++， 故()()1221321242k k k b b b b b b b b b -++

+=+++++++

24222222222222222213352121333k k k ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

=+-++-+

++-+-+-+

+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

242222

22222133

3k

k k k ⎛⎫

=+-

++++

- ⎪+⎝⎭

222211233212113

k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭

=-++-

2921

42143k k =--

+⋅， 由29219421434k k --<+⋅及数列性质知m 的最小值为94

． 22．【解析】（1）由112AF F B

=，得()()11222,22,

a b

a b ---=+， 故122b b =-，从而()()()2

2

22

121

22222222222220b b b b b b b b b b ++=-++

-=-=，

依题意，直线AB 的方程为2)y x =

+，

由22222),1,

y x x y a

b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩

2

221y b +=， 即2222

222403b a y y b a b ⎛⎫++-= ⎪⎝

⎭， 又因为2

2

2

2a b -=，

故1222224

1222

2234,33b b a b a b b b b b b a

a ⎧

⎪+=⎪⎪+⎪

⎨⎪--⋅==⎪⎪++

⎪⎩

于是2

42

222033b b a a ⎛

⎫ ⎪

-+= ⎪ ⎪

⎪++ ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭， 解得3,a b ==

故22

:195

x y C +=． （2）由（1）得2222

1122

1,19595

x y x y +=+=，故由基本不等式和绝对值不等式

)22221221

1221122129595x y x y x y x y y x y =+++≥=+≥-，

从而1221x y x y -≤，取等条件为222

2

1221,9595x y x y ==，且12120x x y y ≤，故有2222

1212

95x x y y ++=， 于是2222

12129,5x x y y +=+=．

而11

||||sin |||22

OMP S OM OP MOP OM OP =

⋅⋅⋅∠=⋅△

= 21()2OM OP =⋅=

122112x y x y =

=-≤

同理OPN ONQ QQM S S S ≤

≤≤△△△． 于是，四边形MPNQ 的面积（考虑O 在四边形MPNQ 内部和外部）

4OMP OPN ONQ OQM S S S S S ≤+++≤

=△△△△．

另一方面，当M ，N ，P ，Q 为椭圆四个顶点时，有1

|2||2|2S a b =⋅⋅=

故四边形MPNQ 面积的最大值为，且由上述过程知，此时2222

12129,5x x y y +=+=．