费马点及其证明
费马点定义
在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
证明
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1 浅谈三角形的费马点 法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用． 1．三角形的费马点 费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国数学家、物理学家。生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。 费马在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费马还研究了对方程ax2+1=Y2整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。 著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。”1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。 费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。 几何光学已有悠久的发展历史。公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反射的记载。公元100年亚历山大里亚的希罗（Hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。托勒密在公元130年对光的折射进行过研究。公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。最后，1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。 费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。 费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。由于费马原理的确立，几何光学发展到了费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”. 引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为： 在△ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。 解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点即为所求P 点。 证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60°∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。 ∴∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆 ∴∠APB=120°，∠APD=∠ABD=60° 同理：∠APC=∠BPC=120° 以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF， 以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60° ∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。 ∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD 另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心 将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。 则△ABG与△BDM重合，且M或在线段DG上或在DG外。 GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。 从而CD为最短的线段。 以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。较为完善的程度。 费马点 费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号,生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。 他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费 马还研究了对方程 2 21y ax= +整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。 所谓的“费马点”就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。这是费马通信的一贯作风。当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。人们称这个点为“费马点”。还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。可到死也没告诉人家这个所谓证明。结果困扰世界数学界一百多年。直到去年才解决。 著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不 可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。” 即： )3 (,2≥ = +n z y x n n 无整 数解。1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。 费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。 几何光学已有悠久的发展历史,由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。。1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。 费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理 费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵AH=BH=AB=12. ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴∠PHD=30°,. 在△HGB和△HPD中 ∵HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. ∴G、P、D三点一线。 ∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。 例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。 求证：GA+GB+GC最小 费马点 一、研究目的 费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。 二、研究结果 （一）费马点的发现者 费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自1631年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。 他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。 由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。 （二）费马点的求法 △ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。 （三）费马点的验证 1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外 侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为 费马点。则可得出结论： ①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P 是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④ 点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤△ABP、 △ACP、△BCP全等。⑥点P是△ABC各边的中线的交 点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点 P为费马点时和最小。 2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外 侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为 费马点。则可得出结论： ①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为 费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③ △ABP与△ACP全等；④△BCP为等腰三角形。 3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外 侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为 三角形的费马点 有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小，请同学们想一想，这个供水站应该建在哪里？ 事实上，这是法国著名数学家费马提出的一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小，人们称这个点为“费马点”. 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；当三角形三个内角都在120°以内，那么费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角 为120°的点.显然在第一种情况下，费马点的位置就是那个大于或等于120°的内角的顶点.在第二种情况下，如图所示：我们只需要以△ABC三边AB、AC、BC为边在三角形外作三个等边△ABC1、△ACB1和△BCA1，连接AA1、BB1和CC1，三线交点P就是费马点. 同学们肯定会想为什么？等同学们学习了三角形全等 的知识后就可以去探索这其中的道理了. 再看一个数学问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法，那走什么样的路线最短呢？这个问题被古希腊亚历山大里亚城的一位久负盛名 的学者海伦解决了，后来被人们称作“将军饮马”问题.费马 思考了这个问题，他觉得不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题.人们总希望寻求最佳的路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短路线问题.费马就把这样的问题联想到某一个图形中，他大胆提出在任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短，并对此进行了充分的证明.现在研究表明不止是三角形，其它多边形也存在这样的点. 平面四边形的费马点：在凸边形中，对角线交点即费马点；在凹四边形中，凹顶点即为费马点. 那费马点在我们的生活中有没有应用价值呢？文章开头的供水站建在费马点肯定是最节约成本的；再譬如打篮球、踢足球时，你时刻注意的是怎样进攻，但要与自己的队友保持最好的距离和方位，前后左右都要顾及，这其实就是在找多边形中的“费马点”. 数学为科学之母，现在已经有很多方面应用到费马点的性质，在医学上、建筑上、军事上…… 像类似费马点这样的问题还有很多，同学们只要你们积极思考，遇到问题多问几个为什么，多一些打破砂锅问到底的精神，你们也会像费马一样发现更多更有趣的数学问题. > 费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 【 性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 ) 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ^ ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵ AH=BH=AB=12. ! ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴ A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ! ∴∠PHD=30°,. 在△HGB和△HPD中 ∵ HG=HP ∠GHB=∠PHD； ： HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. @ ∴ G、P、D三点一线。 ∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。， 、 1、费马点一定不在三角形外（证明略） 2、当有一个内角大于或等于120°时 对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转） 则△APC ≌△AP'C'∵∠BAC ≥ 120°∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60°∴等腰三角形PAP'中，AP ≥ PP'∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC ∴点A即费马点 3、当三个内角都小于120°时 在△ABC内做一点P，使得∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H ⊥EF于H 易证明∠D =∠E =∠F = 60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S 则有2S = d(PA + PB + PC)∵P'H ≤ P'A所以2S△EP'F ≤ P'A ·d ①同理有2S△DP'F ≤ P'B·d ② 2S△EP'D ≤ P'C·d ③ ① + ② + ③，得2(S△EP'F +S△DP'F + S△EP'D)≤ P'A·d + P'B·d + P'C·d ∴2S ≤ d(P'A + P'B + P'C) 又∵2S = d(PA + PB + PC) ∴d(PA + PB + PC) ≤ d(P'A + P'B + P'C)即PA + PB + PC ≤ P'A + P'B + P'C当且仅当P与P'重合时，等号成立 费马点定义 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。在平面三角形中: (1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合 证明 (1)费马点对边的张角为120度。 △CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1 关于费马点的相关问题 一、费马点的由来： 费马(Pierre de Fermat,1601—1665)是法国数学家、物理学家.费马一生从未受过专门的数学教育,数学研究也不过是业余爱好. 然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌.他是解析几何的发明者之一;概率论的主要创始人;以及独承17世纪数论天地的人. 一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家. 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”. 二、探索费马点： 1. 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候,则费马点就是这个内角的顶点. 下面来验证这个结论: 如图1,对三角形内任意一点P,延长BA至点C′,使得AC′=AC,作∠C′AP′=∠CAP,并且使得AP′=AP. 即把△APC以A为中心做旋转变换. 则△APC≌△AP′C′, ∵∠BAC≥120°,∴∠PAP′≤60°. ∴在等腰三角形PAP′中,AP≥PP′, ∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC. 所以A是费马点. 2. 如果三个内角都在120°以内,那么,费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点. 如图2,以B点为中心,将△APB旋转60°到△C′BP′. 因为旋转60°,且PB=P′B,所以△P′PB为正三角形. 因此,PA+PB+PC=P′C′+P′P+PC. 由此可知当C′,P′,P,C四点共线时,PA+PB+PC= P′C′+P′P+PC为最小. 当C′,P′,P共线时,∵∠BP′P=60°,∴∠C′P′B=∠APB=120°. 同理,若P′,P,C共线时,则∵∠BPP′=60°,∴∠BPC=120°. 所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点. 1、当有一个内角大于或等于120° 时对三角形内任一点P 延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转） 则△APC ≌△AP'C' ∵∠BAC ≥ 120° ∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60° ∴等腰三角形PAP'中，AP ≥ PP' ∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC ∴点A即费马点 2、当三个内角都小于120°时 在△ABC内做一点P，使得∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、 费马点的两证明方法 费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶角为120 度的点。 点的连线两两夹 1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下 2、当有一个内角大于等于120 度时候 对三角形内任一点P B A至C'使得AC=AC，' 做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说延长 了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转 ） 则△APC≌△AP'C' ∵∠BAC≥120° ∴∠PAP'=180°- ∠BAP - ∠C'AP'=180°-∠BAP - ∠CAP=18°0-∠BAC≤60° ∴等腰三角形PAP' 中，AP≥PP' ∴PA+PB+P≥CPP'+PB+PC'>BC'=AB+AC 所以A 是费马点 3、当所有内角都小于120°时 做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=12°0，分别作PA,PB,PC的垂线， 结P'A,P'B,P'C ，过P' 作 交于D,E,F 三点，如图，再作任一异于P的点P' ，连 P'H 垂直EF于H 为d，面积 为S 边长 易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计 则有2S=d(PA+PB+PC) ∵P'A≥P'H 所以2S△EP'F≤P'A*d 同理有 2S△DP'F≤P'B*d 2S△EP'D≤P'C*d 相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C) 即PA+PB+P≤C P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P' 重合时取到等号 所以P是费马点 ，我们先假设他在某个位置，做出来，证明他不可能具 虽然不知道费马点在那 里 于120 度的时候。 有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个内角都 小 费马点与费马定理（刁老师） 一．选择题（共1小题） 1．如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（） A．5 B．4 C．D． 二．填空题（共1小题） 2．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=． 三．解答题（共5小题） 3．如图P是△ABC所在平面上一点．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做费马点． （1）当△ABC是等边三角形时，作尺规法作出△ABC费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹） （2）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=．四边形CDPE是正方形，CD 在AC上，CE在BC上，P是△ABC的费马点．求：P点到AB的距离． （3）已知：锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点． ①求∠CPD的度数； ②求证：P点为△ABC的费马点． “费马点”与中考试题 费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小． 这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26 费马点的小论文 费马(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律师和法国政府的公务员，他利用闲暇的时间研究数学，他从未发表他的研究发现，但是他几乎与同时代的所有欧洲的大数学家保持通信。曾经，费马是欧洲所有数学研究进展之交换中心。 费马点的定义 费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 费马点的证明 证明一 Part1当有一个内角大于等于120度时候 对三角形内任一点P 延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转） 则△APC≌△AP'C' ∵∠BAC≥120° ∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60° ∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP' ∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC 所以A是费马点 Part2当所有内角都小于120°时 做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H 易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S 则有2S=d(PA+PB+PC) ∵P'A≥P'H 所以2S△EP'F≤P'A×d 同理有 2S△DP'F≤P'B×d 2S△EP'D≤P'C×d 相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C) 即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号 所以P是费马点 证明二 如右图所示，⊿ABE、⊿ACH、⊿BCG均为等边三角形，连接AG、CE、BH，CE与AB 相交于F，则： ∵⊿AEC≌⊿ABH， ∴∠1=∠2，∴⊿BFP∽⊿EFA ，∠3 =∠4=60° 在PE上取点D ，使得⊿DBP为正三角形 则⊿ABP≌⊿EBD，得AP=ED ∴PA+PB+PC=DE+PD+PC=CE 费马点的应用 (1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？ (2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？ 几何最值之费马点知识精讲 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有"业余数学家之王"的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的"费马小定理"、"费马大定理"等. 今天所讲的问题不是费马提出来的，而是他解决的，因此又叫费马点，问题如下： 问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 1. 如何作出费马点 第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，如图所示： 第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，如图所示： 第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点）， 第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA ＝120o. 注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，对应的图如下所示： 此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默 认最大角小于120o. 接下来就是要证明，证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的. 如下图所示，在△AEB与△ACD中， ∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60o， ∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC， 在△BPM与△DAM中， ∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60o，∴∠BPC＝120o； 在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示： 由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG， 易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120o， ∴∠APC＝120o，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD. 接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！ 如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ 在一个三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”。 目录 1简介 2费马点定义 3费马点的判定 4证明 5费马点作法 1简介 皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。 费马点 之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。 费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。 2费马点定义 (1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 3费马点的判定 （1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。 费马点的计算 （2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 4证明 我们要如何证明费马点呢： 图4—11P C B A 从“费马点”说起 应立君（余姚市实验学校） 前言 解题 题海战术 通性通法 过程与结果 内化 一、走近费马点 1．（浙教版数学八下P82）设计题 你听说过费马点吗？如图4—11，P 为△ABC 所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P 到△ABC 三顶点的距离之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C 表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。 请按下列步骤对费马点进行探究： （1） 查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景； （2） 在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC 是等边三角形、等 腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？ （3） 把你的研究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善 你的小论文。 2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. （1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________； （2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++. 3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题： (1)阅读理解： ①如图(1)，在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离． ②如图(2)，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD+BC ·DA=AC ·BD ，此为托勒密定理． 费马点 1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(?6,0),B(6,0),C(0,43√), 延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. (1)求D点的坐标； (2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； (3)在第二问的条件下,设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求：简述确定G点位置的方法,但不要求证明) ???四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个2.A B C D 城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建? 3.在△ABC中,∠ABC=60°,AB=6,BC=4,点P是△ABC内的一点,求PA+PB+PC的最小值 点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. 5、如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C． （1）求b、c的值； （2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标； （3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG 内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR ①求证：PG=RQ； ②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．“费马点”说明及例举
费马点问题(含答案)
关于费马点知识总结
三角形的费马点
费马点问题(含答案)
费马点的证明
费马点及其证明.
关于三角形的费马点
费马点的两证明方法
费马点与费马定理(刁老师)
(完整版)“费马点”与中考试题
费马点的小论文
几何最值之费马点知识精讲
费马点
费马点
费马点