8-6利用空间向量求空间角

第六节 利用空间向量求空间角

突破点(一) 利用空间向量求空间角

1．两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b |

|a||b |(其中φ

为异面直线a ，b 所成的角)．

2．直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e |

|n ||e |

.

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．

(2)如图②和图③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉

.

[例1] 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.

(1)求证：BD ⊥平面PAC ；

(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值．

本节主要包括2个知识点： 1.利用空间向量求空间角； 2.与空间角有关的综合问题.

[方法技巧]

111111的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1.

＝22，D是AA

(1)证明：BC⊥AB1；

(2)若OC＝OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

[易错提醒]

腰梯形，且平面BCEF⊥平面ABCD，AB∥DC，CE∥BF，AB＝2CD，∠ABC＝60°，G

为线段AB的中点．

(1)求证：AC⊥BF；(2)求二面角D-FG-B(钝角)的余弦值．

[方法技巧]

利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．

1．[考点一]如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形

A 1

B 1

C 1

D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是________．

2．[考点二]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1

与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．

3．[考点三]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．

4．[考点二、三](2016·天津高考)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.

(1)求证：EG ∥平面ADF ；(2)求二面角O -EF -C 的正弦值；

(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的

正弦值．

突破点(二) 与空间角有关的综合问题

与空间角有关的综合问题主要包括两类： (1)已知某一空间角，求另外一种空间角的大小；

(2)探究是否存在某点，满足线面角或二面角成某一角度(如直二面角、所成二面角为60°

[例1] ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．

(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若二面角 P -AC -E -的余弦值为33

，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．

[例2] 如图所示，等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，

且满足AD DB ＝CE EA ＝1

2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，

使二面角A 1 -DE -B 为直二面角，连接A 1B ，A 1C .

(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；

(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．

[方法技巧]

1．[考点一]如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，顶点D

1在底面ABCD 内的射影恰为点C .

(1)求证：AD 1⊥BC ；

(2)若直线DD 1与直线AB 所成的角为π

3，求平面ABC 1D 1与平面ABCD

所成角(锐角)的余弦值．

2．[考点二]如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝4，∠ABC ＝60°.

(1)求证：BC ⊥平面PAC ；

(2)E 是侧棱PB 上一点，记PE

PB ＝λ(0<λ<1)，是否存在实数λ，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国乙卷)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.

(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．

2．(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，

点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝5

4，EF交BD于点H.将△DEF沿

EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.

(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B-D′A-C的正弦值．

3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

[课时达标检测] 难点增分课时——设计3级训练，考生据自身能力而选 一、全员必做题

1．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．

2．(2016·大连二模)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝2，AC ＝2 2.M 是CC 1的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段BC 1上，且BQ ＝1

3

QC 1.

(1)证明：PQ ∥平面ABC ；

(2)若直线BA 1与平面ABM 所成角的正弦值为215

15，求∠BAC 的大小．

3.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝90°，△ABC ≌△ADC ，PA

＝AC ＝2AB ＝2，E 是线段PC 的中点．

(1)求证：DE ∥平面PAB ； (2)求二面角D -CP -B 的余弦值．

二、重点选做题

1.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，平面APD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，E 在AD 上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ＝

2.

(1)求证：平面PEC ⊥平面PBD ；

(2)设直线PB 与平面PEC 所成的角为π

6，求平面APB 与平面PEC 所

成的锐二面角的余弦值．

2．如图1，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝1

2EF ，AB ∥EF ，把四边形ABCD

沿AB 折起，使得AD ⊥平面AEFB ，G 是EF 的中点，如图2.

(1)求证：AG ⊥平面BCE ；

(2)求二面角C -AE -F 的余弦值．

三、冲刺满分题

1．(2016·四川高考)如图，在四棱锥 P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝1

2

AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.

(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； (2)若二面角P -CD -A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．

2.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝

1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π

3

.

(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；

(2)设CE ＝λ1CC (0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．