高二理科数学期中考试卷及答案

2012-2013年两英中学高二第二学期期中测试试题

数 学 （理 科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U =R ，集合{|22}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则=?B A （ ）

A ．(0,2)

B ．(0,2]

C ．[0,2]

D ．[0,2)

2. 若复数(1-i )(a +i )

是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为（

） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（ ）

A ．5 D ．13 4. 函数ln x

y x

=

在区间()1,+∞上（ ） A ．是减函数 B C ．有极小值 D 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

6. 设p ：0m ≤，q ：关于x 的方程2

0x x m +-=

有实数根，则p ?

是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 的分配方法种数为（ ）

A ．96

B ．114

C ．128

D ．136

N

M

D 1

C 1

B 1

A

1

D

C

B

A

图3

(度)

150

1401101008. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长

为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点 N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为（ ）

A ．4π

B ．2π

C ．π

D ．

2

π 图2 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9.为了了解某地居民月均用电 的基本情况, 抽取出该地区若 干户居民的用电数据, 得到频

率分布直方图如图3所示, 若 月均用电量在区间[)110,120 上共有150户, 则月均用电量 在区间[)120,150上的居民

共有 户

10. 以抛物线2

:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，

若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点，那么该圆的方程为 . 11. 如果1()n

x x

+

展开式中，第四项与第六项的系数相等， 则n = ，展开式中的常数项的值等于 . 12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为

a 、

b 、

c ，已知3,,3

c C π

==

2a b =, 则b 的值为 . 13. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须

满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥??

-≤??

则该校招聘的教师最多是 名.

14. 在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，

则AB = .

甲

D

C B

A

F E

乙

D

B

A

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）

已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ).

(1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ

为锐角，且83

f πθ??

+= ?

?

?，求tan θ的值.

16.（本小题满分12分）

某地区预计从2011年初开始的第x 月，商品A 的价格)6912(2

1)(2

+-=

x x x f （ 12,≤∈x N x ，价格单位：元）

，且第x 月该商品的销售量12)(+=x x g （单位：万件）.（1）2011年的最低价格是多少？

（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？

17.（本小题满分14分） 如图甲，在平面四边形ABCD 中，

已知45,90,A C ∠=∠=o

o

105ADC ∠=o

,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，

使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；

（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）求二面角B －EF －A 的余弦．

18.（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴

长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上

的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：k

k 2

1

?为定值；

（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP

OM

λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

19.（本小题满分14分） 设函数231

2

)(bx ax e

x x f x ++=-，

已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点. （1）求a 和b 的值； （2）设23

3

2)(x x x g -=

， 试比较)(x f 与)(x g 的大小.

20.（本小题满分14分）

已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图．(Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式；

(Ⅲ)求数列)}3({1

-+n n a n 的前n 项和n T ．

2012-2013年两英中学高二第二学期期中测试试题

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共6小题，每小题5分，满分30分．说明：第11小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. (

)(2

2

19x y -+±= 11. 8，70

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+

sin 2cos2x x =

+22x x ?=??

?

24x π?

?=+ ???. … 3分 ∴当224

2

x k π

π

π+

=+

,即(8

x k k π

π=+

∈Z )时,函数()f x

… 5分

(2)解法1:

∵83f πθ?

?

+

= ??

?,

223πθ??+= ?

?

?. …… 6分 ∴1cos 23θ=

. …… 7分 ∵θ为锐角，即02

π

θ<<, ∴02θπ<<.

∴sin 23

θ==. …… 8分

∴sin 2tan 2cos 2θθθ=

=…… 9分

∴2

2tan 1tan θ

θ

=-…… 10分

2

tan 0θθ+=. ∴

)(1tan 0θθ-=.

∴tan θ=

或tan θ=不合题意,舍去)… 11分 ∴tan θ=. … 12分

解法2: ∵8f πθ??

+

= ??

?22πθ??+= ?

?

?. ∴1cos 23θ=

. …… 7分 ∴2

12cos 13

θ-=. … 8分

∵θ为锐角，即02

π

θ<<

, ∴cos θ=

. …… 9分

∴sin 3

θ==

. … 10分 ∴sin tan cos 2θθθ==. … 12分

解法3:∵83f πθ?

?

+

= ??

?, 223πθ??+= ?

?

?. ∴1cos 23θ=

. ∵θ为锐角，即02

π

θ<<, ∴02θπ<<.

∴sin 23

θ==

. …… 8分

∴sin tan cos θθθ=

22sin cos 2cos θθθ= … 10分 sin 21cos 2θθ

=

+2=. … 12分 16．（本小题满分12分）

【解析】（1）∴+-=

],33)6[(2

1

)(2x x f Θ当6=x 时，)(x f 取得最小值， 即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；………………………4分 （2）设第x 月的销售收入为y （万元），依题意有

)82875(21

)12)(6912(2132+-=++-=x x x x x y ，……………6分

)5)(5(2

3

)753(212-+=-='x x x y Θ，…7分 所以当51≤≤x 时0≤'y ，y 递减

当125≤≤x 时0≥'y ，y 递增，…9分 所以当5=x 时，y 最小，即第5个月销售收入最少. ………11分 答：2011年在第5月的销售收入最低. …………12分 17. （本小题满分14分）

（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=o

∴45ADB ∠=o

,90ABC ∠=o

即

AB BD ⊥-----------------------------------------------------------------

y

X

--------------2分

在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ，且平面ABD I平面BDC＝BD

∴

AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD． -----4分又90

DCB

∠=o，

∴DC⊥BC,且AB BC B

=

I∴DC⊥平面ABC．----------5分

（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，垂足为点E

∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角-------------------------------------7分

在图甲中，∵105

ADC

∠

=o, ∴60

BDC

∠=o,30

DBC

∠=o

设CD a

=则2,

BD a BC

==,BF==

,

11

22

EF CD a

==-9分∴在Rt△FEB中，

1

sin

4

a

EF

FBE

FB

∠===

即BF与平面ABC所成角的正弦值为

4

．---------------------------------10分解法2

：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD a

=，则2,

BD AB a

==BC=，

可得(0,0,0),(2,0,0)

B D a,(0,0,2)

A a,

3

(,0)

2

C a，(,0,)

F a a，

∴

1

(,,0)

2

CD a

=

u u u r

,(,0,)

BF a a

=

u u u r

-----8分

设BF与平面ABC所成的角为θ，由（1）知DC⊥平面ABC

∴

2

1

cos()

24

||||

a

CD BF

CD BF

π

θ

?

-===

?

u u u r u u u r

u u u r u u u u r∴sin

4

θ=-----------10分

（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，又∵BE?平面ABC，AE?平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角------------------------------------12分

在△AEB中，

1

2

AE BE AC

====

∴

2221

cos

27

AE BE AB

AEB

AE BE

+-

∠==-

?

即所求二面角B －EF －A 的余弦为1

7

-．-------------14分 （其他解法请参照给分） 18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为2

2

2

x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，

∴d b ==

，即b = -------------1分

又c e a =

=

，即a =，222a b c =+

，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22

132

x y +=． -------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，

(A

，B ，则2200132x y +=，即2

200223

y x =-，

则1k =

2k =， ------------------4分

即222

00012222000222(3)2333333x x y k k x x x --?====----， ∴k k 21?为定值23

-． ----------6分

（Ⅲ）设(,)M x y

，其中[x ∈．

由已知

222

OP OM

λ=及点P 在椭圆C 上可得22

222222

2

2633()

x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222

(31)36x y λλ-+=

，其中[x ∈． --------8分

①

当3

λ=

时，化简得2

6y =， 所以点M

的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；--9分

②当λ≠时，方程变形为

22

22

166313x y λλ+=-

，其中[x ∈， ------11分

当03

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y

轴上的双曲线满足x ≤≤的部分；

1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x

轴上的椭圆满足x ≤≤部分；

当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ---------------14分 19．（本小题满分14分）

解：（1）)23()2(232)(1

2121b ax x x xe bx ax e x xe x f x x x +++=+++='---，（2分）

由2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点，得??

?='=-'.

0)1(,

0)2(f f （4分）

即 ???=++=+-,0233,026b a b a （5分） 解得 ?????

-=-=.1,31b a （7分）

（2）由（1）得231

2

3

1

)(x x e

x x f x --=-， 故)(3

231)()(1

2232312x e x x x x x e x x g x f x x -=+---=---. （8分）

令x e

x h x -=-1

)(，则1)(1-='-x e x h . （9分）

令0)(='x h ，得1=x . （10分）

)(x h '、)(x h 随x 的变化情况如下表： （12分）

由上表可知，当1=x 时，)(x h 取得极小值，也是最小值；即当),(+∞-∞∈x 时，

)1()(h x h ≥，也就是恒有0)(≥x h . （13分）

又02

≥x ，所以0)()(≥-x g x f ，故对任意),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x g x f ≥.（14分） 20． 解：（Ⅰ）由程序框图可知，121==a a ，n n n a a a 6512-=++ KK KK 2分 （Ⅱ）由)3(23112n n n n a a a a -=-+++，

且2312-=-a a 可知，数列}3{1n n a a -+是以2-为首项，2为公比的等比数列，可得

n n n a a 231-=-+，即

21223211-?=++n n n n a a ，Θ)12(2312

11-=-++n

n n n a a ，又21121-=-a ， ∴数列}12{

-n

n a 是以21-

为首项，23

为公比的等比数列， ∴

1)23(2112--=-n n

n a ，1

32--=n n n

a KK KK 9分

（Ⅲ）Θn n n n a n 2)3(1?=+-, ∴n

n n T 2...22212?++?+?=①,

1322...22212+?++?+?=n n n T ②, 两式相减得21(22...2)2n n n T n +=----+?

()111212222212

n n n n n n +++-=-

+?=-+?-22)1(1+-=+n n KK KK 14分