高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例

单调性与极值

1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.

解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<， 即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<.

2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：由于///()0f x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<

3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号.

解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增,

/(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >；

D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <. 解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =-

选择B.

5 .设)(x f 处处可导,则

A.lim ()x f x →-∞

=-∞必/lim ()x f x →-∞

=-∞；B. /lim ()x f x →-∞

=-∞必lim ()x f x →-∞

=-∞

C. lim ()x f x →+∞

=+∞必/lim ()x f x →+∞

=+∞；D. /lim ()x f x →+∞

=+∞必lim ()x f x →+∞

=+∞

解：选择D (A,C 的反例y x =，B 的反例2y x =) 6.设函数)(x f 在[)0,+∞上有界且可导，则

A. lim ()0x f x →+∞

=必/lim ()0x f x →+∞

= ;B. /lim ()x f x →+∞

存在，必/lim ()0x f x →+∞

=；

C. 0

lim ()0x f x +→=必/0

lim ()0x f x +→=; D. /0

lim ()x f x +→存在，必/0

lim ()0x f x +→=；

解：选择A (B,C,D 的反例()f x x =)

7. 设函数)(x f 在0x =的邻域内连续,且(0)0f =，0()

lim

21cos x f x x

→=-，则在0x =处

A. )(x f 不可导;

B.可导,且/(0)0f ≠;

C.取极大值;

D.取极小值 解：20000()()1()(0)1()(0)

lim

lim 2lim 2lim 21cos 00

2

x x x x f x f x f x f f x f x x x x x x →→→→--====---

所以0

000()(0)1()(0)1()(0)

lim

lim lim lim 0000

x x x x f x f f x f f x f x x x x x x x →→→→---=?=?=--- 所以)(x f 在0x =可导，且/(0)0f =.

0()

lim

21cos x f x x

→=-，而1cos 0,20x ->>，所以在0x =的某邻域内()0f x >，(0)0

f =所以在0x =处)(x f 取极小值.

8. (),()f x g x 为恒大于0的可导函数,且//()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时 A. ()()()()f x g b f b g x >；B. ()()()()f x g a f a g x >; C. ()()()()f x g x f b g b >; D. ()()()()f x g x f a g a >

解：/

//2

()()()()()

0()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=< ???

，所以()()f x g x 为减函数， 即当a x b <<时

()()()

()()()

f b f x f a

g b g x g a <<，又(),()f x g x 为恒大于0，

所以()()()()f x g b f b g x >，选择A

9.设)(x f 有二阶连续导数,且/

(0)0f =，//0()

lim

1x f x x

→= A.(0)f 是()f x 的极大值;B. (0)f 是()f x 的极小值; C. ()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点;

D. (0)f 不是()f x 的极值;()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点.

解：//0()

lim

10x f x x

→=>，所以在0x =的邻域内//()0f x >，即曲线是凹的，又/(0)0f =，所以(0)f 是)(x f 的极小值.选择B

10.设函数)(x f 在x a =的某个邻域内连续, ()f a 为)(x f 的极大值,则存在0δ>,当

(),x a a δδ∈-+时,必有:

A. ()()()()0x a f x f a --≥；

B. ()()()()0x a f x f a --≤;

C.2()()lim

0()()t a

f t f x x a t x →-≥≠-； D. 2()()

lim 0()()

t a f t f x x a t x →-≤≠-. 解：()f a 为)(x f 的极大值，则存在0δ>，(),x a a δ∈-和(),x a a δ∈+时， 都有()()f x f a ≤，所以(),x a a δδ∈-+时, ()()0f x f a -≤，所以A,B 都不正确.

22()()()()lim

()()t a

f t f x f a f x t x a x →--=--，由于()()0f a f x -≥，所以2

()()0()

f a f x a x -≥-. 选择C

11.设函数)(x f 在(),-∞+∞内有定义, 00x ≠是函数)(x f 的极大值点,则 A. 0x 必是)(x f 的驻点;B.0x -必是()f x --的极小值点 C. 0x -必是()f x -的极小值点; D.对一切x 都有0()()f x f x ≤ 解：选择B 12. 2

()()

lim

1()

x a

f x f a x a →-=--，则在x a =处

A. )(x f 导数存在,且/()0f a ≠；

B.取极大值;

C.取极小值; D . )(x f 导数不存在 解：2

()()

lim

1()

x a

f x f a x a →-=--，所以在x a =的某去心邻域内有()()0f x f a -<， 所以在x a =处，)(x f 取极大值.

9 .1,2,)n = 的最大值 证明：令1()x

f x x =

(1)x ≥，1ln ()

x x f x e

=， ()1

1

/222111()ln 1ln x

x f x x x x x x

x x ??=

-+=- ???，所以x e =时/()0f x =， 且x e <时/()0f x >，x e >时/()0f x <，所以()f e 时1

()x

f x x =的唯一极大值，也是

最大值.而

1,2,)n = 的最大值必是<，所以是

1,2,)n = 的最大值.

不等式的证明

1.当0x >时，证明：1arctan 2

x x π+>； 证明：令1()arctan 2

f x x x π=+

- /22

11()01f x x x =

-<+，所以0x >时

1()arctan 2f x x x π

=+-单调减， 而1lim ()lim arctan 02x x f x x x π→+∞→+∞

?

?

=+-= ??

?

， 所以0x <<+∞时，1()arctan 02f x x x π=+

->，即1arctan 2x x π

+>. 2. 当0x <<+∞时，证明：11

ln(1)1x x

+>+；

证明：0x <<+∞时，令11

()ln(1)1f x x x

=+-+，

()/222

111

()01(1)

1x f x x x x x x ??=

-+=-< ?++??+， ()f x 单调减， 而1

1lim ()lim ln(1)01x x f x x x →+∞→+∞?

?

=+-=??+??

，

所以0x <<+∞时，11()ln(1)01f x x x =+-

>+，即11ln(1)1x x

+>+. 方法二，0x <<+∞时， 1ln(1)ln(1)ln x x x

+=+-，令()ln f x x =，

则在区间[],1x x +上用拉格朗日中值定理有：/

11

ln(1)ln(1)ln ()x x f x

ξξ

+=+-==

其中1x x ξ<<+，所以

1111x x

ξ<<+，即有11

ln(1)1x x +>

+. 3.

证明：1ln(x x ++≥

证明：设()1ln(f x x x =+

则/()ln(f x x =++

ln(x =+，令//()0f x =，得唯一驻点0x =

//()0f x =

>，所以0x =是()f x 的极小值点，所以()(0),f x f ≥又(0)0f =

所以()0f x ≥

，即1ln(x x +≥.

4.当1x >，证明

ln(1)ln 1x x

x x

+>+； 证明：因为1x >，所以ln ,10x x +>，所证等价于()1ln(1)ln x x x x ++> 零()ln f x x x =，则/()ln 10f x x =+>，所以1x >时()ln f x x x =单调增加， 而11x x +>>，所以(1)()f x f x +>，即()1ln(1)ln x x x x ++>，即ln(1)ln 1x x

x x

+>+. 5.1,x a e >>，证明：()()a a x a x a ++<； 证明：只需证ln()()ln a a x a x a +<+

令()ln()()ln f x a a x a x a =+-+，则/

()ln a f x a a x =

-+，()

//2()0a

f x a x =-<+ 所以/()f x 单调减少，而/(0)1ln 0f a =-<，所以10x >>时//()(0)0f x f << 即()f x 单调减少，而(0)0f =，所以10x >>时()(0)0f x f <=， 即ln()()ln a a x a x a +<+，即()()a a x a x a ++<.

6.设b a e >>，证明：b a

a b >

证明：只需证明ln ln b a a b >，设()ln ln f x x a a x =-，

///2()ln ,()0a a f x a f x x x

=-=>，所以/()ln a

f x a x =-单调增加，

又/()ln 10f a a =->，所以b x a e >>>时/

()ln 0a

f x a x

=-

>， 故()ln ln f x x a a x =-单调增加.

因此，b x e >>时()ln ln ()f x b x x b f a =->，而()0f a =， 所以()ln ln 0f b b a a b =->，即b a e >>时，ln ln b a a b >. 所以b

a

a b >.

7．设()f x 在[)0,+∞上可导，且/()f x 单调递减，

证明：对任意正数,a b ，都有[]1

()(2)(2)2

f a b f a f b +≥

+ 证明：不妨设0a b <<，令[]1

()()(2)(2)2

F x f a x f a f x =+-+

则///()()(2)F x f a x f x =+-，当x a >时有2a x x +<，由于/()f x 单调递减 所以//()(2)f a x f x +>，即/()0F x >，所以()F x 单调增，即x a >时()()F x F a ≥ 所以0a b <<时，[]1

()()(2)(2)02

F b f a b f a f b =+-+≥， 即[]1

()(2)(2)2

f a b f a f b +≥+. 8.设//0

()

lim

1,()0x f x f x x

→=>，证明：()f x x ≥； 证明： //()f x 存在，所以()f x 可导，所以()f x 可导连续，又0()

lim

1x f x x

→=，

所以00()(0)lim ()lim 0x x f x f f x x x →→==?

=，既有/00()()(0)

lim lim (0)1x x f x f x f f x x

→→-=== 令()()F x f x x =-，//////()()1,()()0F x f x F x f x =-=>， //(0)(0)10F f =-=，所以0x =是()()F x f x x =-的唯一极小值点，所以()()(0)F x f x x F =-≥，(0)0F = 既有()f x x ≥.

9.()0,1x ∈，证明：()221ln (1)x x x ++<；

证明：令()22()1ln (1)f x x x x =++-，/2()ln (1)2ln(1)2f x x x x =+++-

[]//ln(1)12

()2

22ln(1)111x f x x x x x x

+=+-=+-+++

令[]()ln(1)g x x x =+-，/

1()11g x x

=

-+，所以()0,1x ∈时/()0g x <，()g x 单调减 ()(0),(0)0g x g g <=，所以()0g x <，而此时2

01x >+，所以//()0f x <，而/(0)0f = 所以()0,1x ∈时，()0,1x ∈时，//()(0)0f x f <=，所以()f x 在()0,1x ∈时单调减少，且(0)0f =，所以()0,1x ∈时()22()1ln (1)0f x x x x =++-<，即()221ln (1)x x x ++<. 10. ()0,1x ∈，证明：

1111

1ln 2ln(1)2

x x -<-<+； 证明：令11()ln(1)f x x x =-+，则()22

/222

21ln (1)111

()1ln (1)(1)ln (1)

x x x f x x x x x x x ++-=-+=++++ ()/22221()1ln (1)(1)ln (1)f x x x x x x x ??=

++-?

?++，令()22()1ln (1)g x x x x =++-

由上题知()0,1x ∈时，()22()1ln (1)0g x x x x =++-<，所以/()0f x < 即()f x 在()0,1x ∈时单调减少.所以()0,1x ∈时，0

(1)()lim ()x f f x f x →<<

2000011ln(1)ln(1)

lim ()lim lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x f x x x x x x

→→→→??-+-+=-==??++?? ()0

01

1111lim

lim 2212

x x x x x →→-+===+，

所以

11

1()ln 22f x -<<，即11111ln 2ln(1)2

x x -<-<+ 11.证明：0x π<<时，sin 2x x

π

>； 证明：令()sin

2x x f x π=-，/11()cos 22x f x π=-，//1()sin 42

x f x =- 0x π<<时，//1()sin 042x f x =-<，曲线sin 2x x

y π

=-在[]0,π上是凸的，

而(0)(1)0f f ==，()0,x π∈时，()sin 02x x f x π=->，即sin 2x x

π

>.

12.设在[)0,+∞上函数)(x f 有连续导数，且/()0,(0)0f x k f ≥><.

证明： )(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.

证明：令()()(0)F x f x kx f =--，则//()()0F x f x k =-≥.所以，()F x 在()0,+∞内单调增加，[)0,x ∈+∞时，()(0)0F x F ≥>，所以()(0)f x kx f >+.

所以，存在a ∈(0,)+∞，()0f a >，又(0)0f <，所以()0f x =在(0,)+∞内有根，又

/()0f x k ≥>，所以)(x f 单调增加，所以)(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.

13.设()f x 在(),a +∞连续//()f x 在[),a +∞内存在且大于零， 记()()

()()f x f a F x x a x a

-=

>-，证明：()F x 在(),a +∞单调增

证明：()

()()()//

/2

2

()()()()1

()()()()()f x x a f x f a F x f x x a f x f a x a x a ---??=

=

---??

-- 令()/()()()()()g x f x x a f x f a =---，

则(),x a ∈+∞时，///////()()()()()()()0g x f x x a f x f x f x x a =-+-=-> 所以()()0g x g a >=，所以/()0F x >，即()F x 在(),a +∞单调增. 关于根的存在及个数问题

1.已知2350a b -<，讨论53

2340x ax bx c +++=实根的个数. 解：令53()234f x x ax bx c =+++，/42()563f x x ax b =++， 令4

2

5630x ax b ++=，由于22366012(35)0a b a b ?=-=-<， 所以4

2

5630x ax b ++=没有根，既有/42()5630f x x ax b =++>

由于lim ()0,lim ()0x x f x f x →-∞

→+∞

<>

，由于53()234f x x ax bx c =+++在(),-∞+∞内连

续，所以53

2340x ax bx c +++=至少有一个根.

如果方程5

3

2340x ax bx c +++=有两个实根1212,()x x x x <，则在[]12,x x 内()

f x 满足拉格朗日中值定理，所以存在

()12,x x ξ∈，使得/()0f ξ=，这

/4

2()5630

f x x a x b =++>矛盾，所以532340x ax bx c +++=只有一个实根. 练习：设函数()f x 在闭区间[]0,1上可微,对[]

0,1上的任意x ,函数的值都在开区间()0,1内,

且/()1f x ≠，证明:在()0,1内有且仅有一个x 使得()f x x =（令()()F x f x x =-） 2.求证方程cos 0x p q x ++=恰有一个实根.(其中,p q 为常数,01q <<)

证明：令()cos f x x p q x =++，取1a p q =++，则()1cos 0f a p q p q x =++++>

()()1cos 0f a p q p q x -=-++++<，由()f x 在[],a a -上连续，由介值定理知，存在

(),a a ξ∈-，使得()0f ξ=，所以方程532340x ax bx c +++=有一个实根.

又/()1sin f x q x =-，由于01q <<，所以/()1sin 0f x q x =->，即()f x 单调增，所以

cos 0x p q x ++=只有一个实根.

3.设0k >，求()ln x

f x x k e

=-

+在()0,+∞内根的个数. 解：/

11

()f x x e

=

-，得唯一驻点x e =，且()0f e k =>为函数极小值点， 所以()ln x

f x x k e

=-+在()0,+∞内根的个数为0.

练习：确定方程sin 2x x k π

-

=在0,2π??

???

内根的个数 4.0x >时,21

1kx x

+

=有且仅有一解,求k 的取值范围. 解：令21()1f x kx x =+

-，0lim ()0,x f x +→>0x >时,21

1kx x

+=有且仅有一解，所以必存在0a >，使得0x a ≥>时，()0f x <，所以0k ≤，反之，如果0k ≤时/

32

()0f x k x

=-

<，所以21()1f x kx x =+

-单调减，所以2

1

1kx x +=有且仅有一解. 5. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，1

()12

f =， 证明：1）存在1,12η??

∈

???

，()f ηη=； 2）对任意的λ，存在()0,ξη∈，使得[]/()()1f f ξλξξ--=

分析：要构造一个函数()G x ，使其导数中含有因子[]/

()1()f x f x x λ??---?

?

，

且(0)(1)G G =，由于，/()1f x -是()f x x -的导数，所以可设[]()()()G x h x f x x =-下面确定

()h x ，由于[]/

/

/

()()()()()1

G x h x f x x

h x

f x

??=

-+-??，比较

[]/()1

()f x f x x λ??---??，只需/()()h x h x λ=-，所以()x h x e λ-=

证明：[]()()x

G x e

f x x λ-=-

6.设函数()f x 在[]

0,1上连续且可导，又(0)(1)0,f f ==则对任意0(0,1)x ∈，存在

()0,1ξ∈，使/0()()f f x ξ=

分析：所证为[]

/0()()0,x f x xf x ξ

=-=，所以，令0()()()F x f x xf x =-

()0000(0)0,(1)(),()1()F F f x F x x f x ==-=-，如果0()0F x =，在[]00,x 上用罗尔定

理，如果0()0F x ≠，则0(1),()F F x 异号，所以存在0(,1)x η∈，使()0F η=，在[]0,η上用罗尔定理

7..设函数(),()f x g x 在[],a b 上具有二阶导数，并且()()()()0f a f b g a g b ====，

//

()0,g x ≠证明：1）在(),a b 内()0g x ≠；2）在(),a b 内至少存在一点ξ，使()////

()()

()

f f

g g ξξξξ= （令//()()()()()F x f x g x f x g x =-）

8. 设()f x 在[]

,a b 上连续,在(),a b 内可导, 且/()0f x ≠,证明:存在(),,a b ξη∈，

使//

()()

b a f e e e b a f ηξη--=- 证明：//

()()

b a f e e e b a f ηξη--=-等价于()()

//

()()b a f f b a e e e ηηξ-=- 对()f x 和x

e 在[],a b 上用柯西中值定理，则存在(),a b η∈，使得/()()()

b a

f b f a f e e e

ηη-=-，所以()

/()()()b a

f f b f a e e e

ηη-=-，对()f x 在[],a b 上用拉格朗日中值定理，有()

/

()()()

f b f a f b a ξ-=-，其中(),a b ξ∈.所以()()

//

()()b a

f f b a e e e

ηηξ-=-

9. ()f x 在[]

,a b 上连续,在(),a b 内可导, 且()()1f b f a ==,证明: 存在(),,a b ξη∈， 使()/

()()1e

f f

ηξ

ηη-+=

证明：所证等价于()

/

()()e f f

e η

ξηη+=

()x e f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在(),a b η∈，使得

()

/

()()()()b a e f b e f a e f f b a ηηη-=+-，而()()b a b a e f b e f a e e e b a b a

ξ--==--，(),,a b ξ∈

所以存在(),,a b ξη∈，使()

/

()()1e

f f

ηξ

ηη-+=

10.设函数()f x 在[]0,3上连续,在()0,3内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==,证明:必存在()0,3ξ∈使/()0f ξ=

11. 设函数()f x 在[]

0,1上具有二阶导数，且满足//

(),(),(,f x a f x b a b ≤≤为非负常

数），c 是()0,1内任意一点。

1）写出()f x 在x c =处的带有拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；

2）证明：/

()22

b f

c a ≤+

. 解:1) ()()2

/

//1()()()(),(,2

f x f c f c x c f x c x c ξξ=+-+-介于之间） 2) ()()2

/

//1()()()()2

f c x c f x f c f x c ξ-=---代人0,1x =, 有/

//211()(0)()()2cf c f f c f c ξ-=--

,()()2

///21()1(1)()()12f c c f f c f c ξ-=--- 所以()2/////2

211()(1)(0)()1()2f c f f f c f c ξξ??=----?

?

12. 设函数()f x 在()0,+∞上二次可微, //(),()f x M f x M ≤≤,求证:/

()2f x M ≤

证明: 对任意()0,c ∈+∞

()()2

///1()()()(),(,2

f x f c f c x c f x c x c ξξ=+-+

-介于之间） 所以()/

//

()()1()()2

f x f c f c f x c x c ξ-=

---

取2x c =+,有/////(2)()(2)()

()()()222

f c f c f c f c f c f f M ξξ+-+-=

-≤+≤

13. 设函数()f x 在[]1,1-上具有三阶连续导数,且/(1)0,(1)1,(0)0f f f -===, 证明: 在()1,1-内至少存在一点ξ,使///()3f ξ=

证明: /

//2///311

()(0)(0)()(),(26f x f f x f x x f x x ξξ=++

+介于0,之间) ()//////1111

(1)(0)(0)()(),(1)

26f f f f x f ξξ-=-+-∈-,0()//////2211

(1)(0)(0)()(),(1)26f f f f x f ξξ=+++∈0,

()//////1111

0(0)(0)()(),(1)

26f f f x f ξξ=-+-∈-,0()//////2211

1(0)(0)()(),(1)26

f f f x f ξξ=+++∈0,

//////12()()6f f ξξ+=

又///()f x 连续,所以, ///()f x 在[]1,1-上存在最大值与最小值,M m ,使得

//////12()()

2f f m M ξξ+≤≤,由介值定理存在()1,1ξ∈-,

使/////////

12()()

()32

f f f ξξξ+=

= 其他

1.求证:当1x ≥时,212arctan arccos 24

1x x x π-

=+ 证明：令212()arctan arccos 21x f x x x

=-

+ 1x ≥

时，/

/2211

1

2()02

11x f x x x ??

=+

= ?

++?? 所以当1x ≥时,212()arctan arccos 21x f x x C x

=-

≡+, 而1(1)arctan1arccos124

f π

=-

= 所以当1x ≥时,212arctan arccos 241x x x

π

-

=+.

2..20sin (1)lim sin x x e x x x x x →-+ 解：20sin (1)lim sin x x e x x x x x

→-+

23333301111()()(1)2!3!3!lim x x x x o x x x o x x x x

→????++++-+-+ ??

?????=33

33011()

12!3!lim 6x x x o x x

→-+== 3. 设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且///(0)0,(0)0,(0)0f f f ≠≠≠ 证明:存在唯一的一组实数123,,λλλ,使得当0h →时123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ++-是比2h 高阶的无穷小.