1、解三角形期末复习(含参考答案)
解三角形-复习
1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度.
训练1 如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17
. (1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.
2 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状.
训练2 在△ABC 中，cos A 2
＝ 1＋cos B 2
，判断△ABC 的形状.
3 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
(1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值.
训练3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255
，求△ABC 的面积S .
三、提升训练
1.在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，则△ABC 的形状一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
2.在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为( )
A.2 3
B.3
C.2 3 或4 3
D. 3 或2 3
3.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
A. 3
B.5 3
C.6 3
D.7 3
4.在△ABC 中，sin A ＝34
，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A.????152，＋∞ B.(10，＋∞) C.(0,10) D.?
???0，403 5.海上一观测站A 测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D ，在商船D
的正东方有一艘海盗船B 正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B 距观
测站107海里，20分钟后测得海盗船B 位于距观测站20海里的C 处，再经 分钟海盗船B 到达商船D 处.
6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .
(1)求cos A ；
(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .
7.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3
，AC ＝43，D 为BC 边上一点。 (1)若AD ＝2，S
△DAC ＝23，求DC 的长；
(2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值.
解三角形-复习：答案
1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度. 解 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，
由余弦定理，得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ×AC ＝32， ∴sin C ＝12
. 在△ADC 中，由正弦定理，
得AD sin C ＝AC sin ∠ADC
， ∴AD ＝
222×12
＝ 2. 训练1 如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17
. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长.
解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17
， 所以sin ∠ADC ＝437
. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )
＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B
＝437×12－17×32＝3314
. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得
BD ＝AB sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×331443
7
＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12
＝49， 所以AC ＝7.
2 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状.
解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，
∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]
＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，
∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ，
即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .
方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，
∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，
又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，
∴sin 2A ＝sin 2B .
在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，
∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2
. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
方法二 由正弦定理、余弦定理，得
a 2
b ×b 2＋
c 2－a 2
2bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 2
2ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，
∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，
∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.
即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
训练2 在△ABC 中，cos A 2
＝ 1＋cos B 2
，判断△ABC 的形状. 解 由已知得cos 2A 2＝1＋cos B 2
， ∴2cos 2A 2
－1＝cos B ，∴cos A ＝cos B ， 又0 3 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值. 解 (1)由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 得2R sin A ＝2R sin B cos C ＋2R sin C sin B ， 即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )， ∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B . ∵sin C ≠0， ∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角， ∴B ＝π4 . (2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24 ac ， 由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝222 ×sin A ＝22sin A ， 同理，得c ＝22sin C ， ∴S △ABC ＝24 ×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin ??? ?3π4－A ＝22sin A ??? ?sin 3π4cos A －cos 3π4sin A ＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin 2A ＋1－cos 2A ＝2sin ? ???2A －π4＋1， ∴当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时， S △ABC 有最大值2＋1. 训练3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255 ，求△ABC 的面积S . 解 因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35 ， 故B 为锐角，所以sin B ＝45 ， 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ??? ?3π4－B ＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210 . 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107 ， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87 . 三、提升训练 1.在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案 B 解析 由正弦定理及已知条件，得 sin 2B sin 2C ＝sin B sin C ·cos B cos C . ∵sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ， 即cos(B ＋C )＝0，即cos A ＝0， ∵0° 故△ABC 是直角三角形. ∴bc ＝40.③ 由①②③可知a ＝7. 2.在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.2 3 B.3 C.2 3 或4 3 D. 3 或2 3 答案 D 解析 方法一 如图， AD ＝AB sin B ＝3<2， 故△ABC 有两解，且BC ＝2，BC ′＝4， S △ABC ＝12BC ×AD ＝3， S △ABC ′＝12BC ′×AD ＝2 3. 方法二 如图， 设BC ＝x ， 由余弦定理可得22＝(23)2＋x 2－2x ×23×cos 30°， 解得x ＝2或x ＝4， 故△ABC 有两解， S △ABC ＝12BC ×AB ×sin B ＝12×23×2×sin 30°＝3， 或S △ABC ＝12BC ×AB ×sin B ＝12×23×4×sin 30°＝2 3. 3.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( ) A. 3 B.5 3 C.6 3 D.7 3 答案 B 解析 连接BD ，四边形面积可分为△ABD 与△BCD 两部分面积的和， 由余弦定理，得BD ＝23， S △BCD ＝12 BC ×CD sin 120°＝3， ∠ABD ＝120°－30°＝90°， ∴S △ABD ＝12 AB ×BD ＝4 3. ∴S 四边形ABCD ＝3＋43＝5 3. 4.在△ABC 中，sin A ＝34 ，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A.????152，＋∞ B.(10，＋∞) C.(0,10) D.? ???0，403 答案 D 解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0 . 5.海上一观测站A 测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D ，在商船D 的正东方有一艘海盗船B 正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B 距观测站107海里，20分钟后测得海盗船B 位于距观测站20海里的C 处，再经 分钟海盗船B 到达商船D 处. 答案 403 解析 如图，过A 作AE ⊥BD 于点E ， 由已知可知AB ＝107，BC ＝30，AC ＝20， ∴cos ∠ACB ＝202＋302－(107)22×20×30 ＝12， ∵0°<∠ACB <180°， ∴∠ACB ＝60°， ∴AE ＝10 3. ∵∠DAE ＝60°， ∴DE ＝103×3＝30. ∵∠CAE ＝30°， ∴CE ＝10，∴DC ＝20， ∴t ＝2090×60＝403 . 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ； (2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解 (1)∵3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， ∴3cos B cos C －3sin B sin C ＝－1， ∴3cos(B ＋C )＝－1，∴cos(π－A )＝－13 ， ∴cos A ＝13 . (2)由(1)得sin A ＝223 ， 由面积公式12bc sin A ＝22，得bc ＝6，① 根据余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－912＝13 ， 则b 2＋c 2＝13，② ①②两式联立可得b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2. 7.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3 ，AC ＝43，D 为BC 边上一点. (1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值. 解 (1)∵S △DAC ＝23， ∴12 ·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12 . ∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3 ， ∴∠DAC ＝π6 . 在△ADC 中，由余弦定理得， DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6 ， ∴DC 2＝4＋48－2×2×43× 32＝28， ∴DC ＝27. (2)∵AB ＝AD ，B ＝π3 ， ∴△ABD 为正三角形. 在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DC sin ??? ?π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ????π3－C ， ∴△ADC 的周长为 AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ????π3－C ＋4 3 ＝8??? ?sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8??? ?12sin C ＋32cos C ＋4 3 ＝8sin ??? ?C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0 ， ∴π3 ， ∴当C ＋π3＝π2 ， 即C ＝π6 时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4 3. 高一下学期期末考试数学复习（解三角形） 1.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ） (A)- 12 (B) 12 (C) -1 (D) 1 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________． 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13 ，则sin ∠BAC ＝__________. 4.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ?的三条边及相对三个角，满足 ::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ?的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5.已知在ABC ?中，c c b A 22cos 2+=，则ABC ?的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形 6.在ABC ?中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ?的面积为332 ，则C =（ ) （A ） 3π （B ）23π （C ）6π （D ）56 π 7.在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24 π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A 的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ?的面积. 必修5第一章《解三角形》练习题 一、选择题 1．在ABC ?中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ?的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．318 2．在ABC ?中，若 b B a A cos sin = ，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 3．在ABC ?中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ） A ． 30或 60 B ． 45或 60 C ． 60或 120 D ． 30或 150 4．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．7=a ，5=b ， 80=A D ．14=a ，16=b ， 45=A 5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322 =-+x x 的根，则第三边长是（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．61 6．在ABC ?中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ） A ． 30 B ． 60 C ． 120 D ． 150 7．在ABC ?中，若 60=A ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（ ） A ．620 B ．75 C ．51 D ．49 8．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A ． 223 B ．233 C ．2 3 D ．33 9．在ABC ?中，若12+= +c b ， 45=C ， 30=B ，则（ ） A ．2,1= =c b B ．1,2==c b C ．221,22+== c b D ．2 2 ,221=+=c b 10．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A ．38=k B ．120≤ 1. （2010届·广东高三六校联考（理））6．如图，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，D 在边AC 上，已知BC ＝2， CD ＝1，∠ABD ＝45°，则AD ＝（B ） A ．2 B ．5 C ．4 D ．1 2. （2010届·山东诸城高三1月质检）8. 在ABC △中，若 43 tan = A ， ?=120C ，32=BC ，则 边长AB 等于（C ） A.3 B.4 C.5 D.6 3. （2010届·广东高三六校联考（理））10．在 中，角 ， ， 所对的边分别是，，，若 ，且 ，则 的面积等于___ ___． 4. （2010届·浙江春浑中学高三1月月考）13．在ABC ?中，边长,a b 是方程2 520x x -+=的两个根， 120C ∠=?，则边长c 23 ． 5. （2010届·福建南靖一中高三月考）13．在?ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 若 13a =4c =，60A =，则b 1或3 6. （2010届·山东莱阳一中月考（文））1 7.如图，在直角坐标系xoy 中，锐角三角形ABC ?内接于圆 221x y +=.已知BC 平行于x 轴，AB 所在的直线方程为y kx m =+(0)k >，记角,,A B C 所对的边 分别是,,a b c . （1）若 22223ac k a b c = +-，求2cos sin 22A C B ++的值； （2）若2k =，记xOA α ∠=(0)2π α<< ，xOB β ∠=3() 2π πβ<< ，求sin()αβ+的值. 17.解析：（1）由 22223ac k a b c = +-得：222sin 21 3cos cos B ac B a b c B == +-, 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135） wenjian 第一章解三角形 本章规划 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五de第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆de方程等与本章知识联系密切de内容，使这部分内容de处理有了比较多de工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容de联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识de学习和巩固．要重视与内容密切相关de数学思想方法de 教学，并且在提出问题、思考解决问题de策略等方面对学生进行具体示范、引导． 1.教学内容 全章有三大节内容： 第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过de三角中de边角关系，让学生从已有de几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角de边角关系.我们是否能得到这个边、角de关系准确量化de表示呢?”重点是正弦定理de概念和推导方法，体现了从特殊到一般de思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形de两条边及其所夹de角,根据三角形全等de判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定de三角形.我们仍然从量化de角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知de两边和它们de夹角计算出三角形de另一边和两个角de问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法de 教学．比如对于余弦定理de证明，常用de方法是借助于三角形de方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量de方法，发挥了向量方法在解决问题中de威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关de解三角形和测量问题de过程中，一个问题也常常有多种不同de解决方案，应该鼓励学生提出自己de解决办法，并对于不同de方法进行必要de分析和比较．对于一些常见de测量问题甚至可以鼓励学生设计应用de 程序，得到在实际中可以直接应用de算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学de数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识de实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法de能力较强，但当面临一种新de问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题de科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题． 第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目de是让学生进一步巩固所学de知识，提高学生分析问题和解决实际问题de能力、动手操作de能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果de能力，增强学生应用数学de意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业de指导，包括对实际测量问题de选择，及时纠正实际操作中de 错误，解决测量中出现de一些问题． 2.作用与地位 本章de两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形de边角关系de结论．学习数学de最终目de是应用数学，而如今比较突出de两个问题是，学生应用数学de意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系de观点，从新de角度看过去de问题，使学生对于过去de知识有了新de认识，同时使新知识建立在已有知识de 坚实基础上，形成良好de知识结构． 3.学习目标 本章de中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形de工具，最后落实wenjian 1 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 2019级高一数学复习导学案编制人：王宇审核人：袁中飞 期末复习专题解三角形 【教学目标】 1. 运用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理解斜三角形． 2. 运用正弦定理、余弦定理及三角变换公式灵活进行边角转换． 3. 高考对解三角形，可以为填空题，也可以为解答题，灵活运用公式转化是考查的重点． 【教学过程】 课前预习 1．（2020?常德模拟）已知在△ABC中，，AB＝1，角A的平分线，则AC＝（）A．B．C．D． 2．在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是（）A．或B．C． D． 3．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为（）A．5米 B．10米C．15米D．20米 4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2＝2019c2，则的值为（）A．1008 B．1009 C．2017 D．2018 5．△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2＝2b2﹣2a2，，则cos2A﹣cos2B的值为（）A．B．C．D． 6．在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC＝3，AD＝，sin∠ABC＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．6D．12 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a sin B cos C+c sin B cos A＝b且a＞b，则B＝（）A．B．C． D． 8．（2017春?故城县校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，a+c＝4，则△ABC的面积为（）A．B．C．D． 9．（2017春?西宁期末）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°B．b＝18，c＝20，B＝60° C．a＝15，b＝2，A＝90°D．a＝4，b＝3，A＝120° 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值 (4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A 八年级数学上册第11章三角形期末复习试题及答案解析 一．选择题（共7小题） 1．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一 点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等 边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（）个． A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要 使PC+PB最小，则点P应该满足（） A．P B=PC B．P A=PD C．∠BPC=90°D．∠APB=∠DPC 3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论： ①AG=CE ②DG=DE ③BG﹣AC=CE ④S△BDG﹣S△CDE=S△ABC 其中总是成立的是（） A．①②③B．①②③④C．②③④D．①②④ 4．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连 接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中 正确的是（） A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④ 5．如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF ．其中正确的有（） A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④ 6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE 、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：①AE=CF；②EF=AP； ③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC =2∠C，下列结论：①B E=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=∠ABC，其 中正确的结论是（） A．①②③B．①④C．①②③④D．①② 二．解答题（共8小题） 8．如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点 E作EG⊥BC于G． （1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数； （2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG． 9．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a ﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）． （1）证明：OB=OC； 2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则 =++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b cos cos cos 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 2. 在ABC ?中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ? A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论 解三角形 一、知识梳理： 三角形中的有关公式： （1）内角和定理：π=++C B A ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方。 （2）正弦定理： R R C c B b A a (2sin sin sin ===为三角形外接圆的半径）. ① C B A c b a sin :sin :sin ::=；②R a A 2sin = R b B 2s i n = R c C 2s i n = ③=a R A 2sin ? R B b 2s i n ?= R C c 2sin ?= 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 (3)余弦定理：bc a c b A A b c c b a 2cos ,cos 22 222 2 2 -+=-+=等，常选用余弦定理鉴定三角 形的形状. (4)面积公式：)(2 1 sin 2121c b a r C ab ah S a ++=== （其中r 为三角形内切圆半径） 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意π=++C B A 这个特殊性： C B A -=+π,2 cos 2sin ,sin )sin(C B A C B A =+=+；（2）求解三角形中含有边角混合关 系问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 二、典型例题： 题型一：利用正、余弦定理解三角形 1、在ABC ?中，若,60,2,6 ===B BC AC 则______=C 。 2、下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______ ① 30,16,8===A b a ，有两解； ② 60,20,18===B c b ，有一解； ③ 90,2,15===A b a ，无解 ④ 150,25,30===A b a ，有一解 3、设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知4 1cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ?的周长 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 数学5 第一章 解三角形 课题: §1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得 sin sin c b C B = ， b a 期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 教学目标 1、复习相似三角形的性质； 2、复习解直角三角形的性质。 重点、难点 相似三角形及解直角三角形的几何证明 考点及考试要求 1、相似三角形 2、解直角三角形 3、相似三角形及解直角三角形的几何证明 教 学 内 容 第一课时 相似三角形及解直角三角形知识梳理 1.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM= 2.1cm ，则MC= cm 。 (2) 如果 9 5 =AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。 2.若 b a b +＝53，那么b a ＝ 3．在的长为，则，，中，BC AB B C ABC Rt 73590=?=∠?=∠? 。 4.计算：.60cos 43)258(sin )21()1(032010o o -+-+?--π 5.如图，的长求线段的角平分线，若是，，中，AD AC ABC AD B C ABC .33090=??=∠?=∠?。 D C A B 课前检测 一、相似三角形相关知识点 1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换 相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。 （2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作相似于。 （3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 （4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。 注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序. 全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2.相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）相似三角形的判定 ① 两角对应相等的两个三角形相似； ② 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似； ④ 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 二、解直角三角形相关知识点 1. 定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。 2. 理论依据 （1） 三边关系：222c b a =+ （勾股定理） （2） 锐角关系：A+B= 90 （3） 边角关系：c b B = sin c a B =cos a b B =tan b a B =cot B A sin sin = sinB cosA = B A cot tan = B A tan cot = 知识梳理高一下学期期末考试数学复习(解三角形)
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