2013年佛山中考数学试题答案

2013 年佛山中考数学试题答案
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1． ? 2 的相反数是( A A．2 ) B． ? 2 C．
1 2
D． ?
1 2
2．下列计算正确的是( A． a 3 ? a 4 ? a12
C )
B． (a 3 ) 4 ? a 7 C． (a 2 b) 3 ? a 6 b 3 D． a 3 ? a 4 ? a (a ? 0)
3．并排放置的等底等高的圆锥和圆柱(如图)的主视图是(
B
B )
A ．
．
C
D
．
．
4．分解因式 a 3 ? a 的结果是( A． a(a 2 ? 1)
C )
C． a(a ? 1)(a ? 1) D． (a 2 ? a)(a ? 1)
B． a(a ? 1) 2
5．化简 2 ? ( 2 ? 1) 的结果是( A． 2 2 ? 1 A．正面一定朝上 C．正面比反面朝上的概率大 B． 2 ? 2
D )
C． 1? 2 D． 2 ? )
2
B
6．掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是(
D
B．反面一定朝上 D．正面和反面朝上的概率都是 0.5
7．如图，若∠A=60°，AC=20m，则 BC 大约是(结果精确到 0.1m)( A．34.64m B．34.6m C．28.3m 8．半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是( A．3 B．4 C． 5
B ) C )
D． 7
D．17.3m
A 第 7 题图
C
9．多项式 1 ? 2 xy ? 3xy 2 的次数及最高次项的系数分别是(
A
)
? A． 3 ， 3
? B． 2 ， 3
? C． 5 ， 3
3 D． 2 ，
10．某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离 y 与时间 x 的关系的大致图象是( y
B )
y y y
O
A．
x
O
B．
x
O
C．
x
O A
D． B
x
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．数字 9 600 000 用科学记数法表示为 9.6 ? 10 .
6
C
12．方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的解是 x1 ?
2
3 ? 1, x 2 ? ? 3 ? 1 ．
O
D
第 14 题图
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13．在 1，2，3，4 四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于 40 的概率是 14．图中圆心角∠AOB=30°，弦 CA∥OB，延长 CO 与圆 于点D，则∠BOD=___30°_． 交 15．命题“对顶角相等”的条件是_______两个角是对顶角_______．
1 4
三、解答题(第 16～20 每小题 6 分，第 21～23 每小题 8 分，第 24 小题 10 分，第 25 小题 11 分，共 75 分) 16．计算： 2 ? 5 ? (?2) ? (? ? 4 ? 2 ) ．
3
?
?
?1
解：原式=2×(5-8)-(-4÷1/2) =2×(-3)-(-4×2) =-6+8 =2
17．网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形． 若 A，B，C，D，E，F 都是格点， 试说明△ABC∽△DEF． C F A B 第 17 题图 E D
证明：如图， AC ? 12 ? 12 ? 2 ，
AB ? 4
DF ? 22 ? 22 ? 8 ? 2 2 ,
DE ? 8
?CAB ? ?FDE ? 45o
在△ABC 和△DEF 中，
??CAB ? ?FDE ? 45? ? AC AB 1 ∵? ? ? ? DF DE 2 ?
∴△ABC∽△DEF 2 a?3 ? 18．按要求化简： ． (要求：见答题卡．) a ?1 1? a2
解答过程 解答步骤 说明 此处不填 示例：通分 解题依据（用文字或符号填写知识的名 称和具体内容，每空一个） 此处不填 示例：分式的基本性质：分式的分子和分 母都乘以同一个不等于零的整式，分式的 值不变（或者“同分母分式相加减法则：
2 a?3 ? a ?1 1? a2 2a ? 2 ? (a ? 3) = (a ? 1)(a ? 1)
b c b?c ? ? ” ） a a a
=
2a ? 2 ? a ? 3 (a ? 1)(a ? 1) a ?1 (a ? 1)(a ? 1) 1 = ② a ?1
去括号
=
合并同类项 约分 ③
去括号的法则：括号前面是“-”号，把 括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里 各项的符号都要改变。[或者乘法分配律： a(b+c)=ac+bc] ① 此处不填 分式的基本性质：分式的分子和分母都除 以同一个不等于零的整式，分式的值不变 ④
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19．已知两个语句： ①式子 2 x ? 1 的值在 1(含 1)与 3(含 3)之间； ②式子 2 x ? 1 的值不小于 1 且不大于 3． 请回答以下问题： (1) 两个语句表达的意思是否一样(不用说明理由)？一样 (2) 把两个语句分别用数学式子表示出来．
① 1≤2x-1≤3 ② 2x-1≥1 2x-1≤3
20．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线 AB 与高 AO 的夹角． 参考公式：圆锥的侧面积 S ? ?rl ，其中 r 为底面半径，l 为母线长．
解：如图，
1 ∵圆锥侧面积 S ? ?l 2 2
A
圆锥的侧面积 S ? ?rl
1 2 ∴ ?l ? ?rl 2
l=2r ∵AO⊥OB ∠AOB=90° ∴ Rt△AOB 中，sin∠AOB=OB/AB=r/l=1/2 ∵sin30°=1/2 ∴∠OAB=30° 即：母线 AB 与高 AO 的夹角为 30°
C
O
B
第 20 题图
21．已知正比例函数 y ? ax 与反比例函数 y ? (1) 求这两个函数的表达式；
b 的图象有一个公共点 A(1，2) ． x
(2) 画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时 x 的取值范围．
y=2/x
y
解：(1)①∵y=ax 经过点 A(1，2) ∴把 A(1，2)代入 y=ax，得：a=2, ∴正比例函数表达式为：y=2x； ②∵y=b/x 经过点 A(1，2) ∴把 A(1，2)代入 y=b/x，得：b=2, ∴正比例函数表达式为：y=2/x. (3)如图所作，两图像交点坐标为（-1，-2） （1,2） 当-11 时，正比例函数值大于反比例函数值。
y=2x
1 O 1 x
第 21 题图
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22．课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推 A D 理的方法证实． (1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论 AAS； (2) 证明推论 AAS． 要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、 求证，并证明，证明对各步骤要注明依据． B C E F
第 22 题图
解： （1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 。 （2）已知：如图，△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF 求证：△ABC≌△DEF 证明：∵∠A+∠B+∠C=180° ∠D+∠E+∠F=180° ∴∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) 又∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F 在△ABC 和△DEF 中， ∠A=∠D ∵ AC=DF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF （已知） （已证） （已知） （ASA） （等式性质） （已知） (等量代换) （三角形内角和是 180°）
23．在一次考试中，从全体参加考试的 1000 名学生中随机抽取了 120 名学生的答题卷进行统计分析．其中，某 个单项选择题答题情况如下表(没有多选和不选)： 选项 选择人数 A 15 B 5 C 90 D 10 C B 30° 15° A 45°
(1) 根据统计表画出扇形统计图； 要求：画图前先求角；画图可借助任何工具，其中一个角的作图 用尺规作图(保留痕迹，不写作法和证明)；统计图中标注角度． (2) 如果这个选择题满分是 3 分，正确的选项是 C，则估计全体学生 该题的平均得分是多少？ 第 23 题图 D 270°
解：(1)选择 A 答案的圆心角：15/120×360°=45°； 选择 B 答案的圆心角： 5/120×360°=15°； 选择 C 答案的圆心角：90/120×360°=270°； 选择 D 答案的圆心角：10/120×360°=30°； 如图，尺规作图，作 A 答案的圆心角 45°：取一个 90°直角，做它的角平分线取 45°，在圆中作 一个角等于 45°，即为 A 答案的圆心角. (3)因为 120 名学生中 90 人选择 C 答案，正确率约为：90/120=3/4; 所以正确平均得分为：3×3/4=2.25(分) 答：估计全体学生该题的平均得分是 2.25 分。
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24．如图①，已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 A(0，3)，B(3，0)，C(4，3) ． (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3) 把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴 上，直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围 成的图形的面积 S(图②中阴影部分) ． y 3 A C y 3 A C
解： （1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(0，3)，
B(3，0)，C(4，3)
∴把 A、B、C 三点代入抛物线得： c=3 9a+3b+c=0 16a+4b+c=3 ∴抛物线的表达式为：y=x2-4x+3 解得： a=1 b=-4 c=3
B O 3 第 24 题图① 4 x O
B 3 第 24 题图② 4 x
（2）把一般式化为顶点式：y=x2-4x+3=（x2-4x+ 22-22）+3=（x-2）2-4+3=（x-2）2-1 ∴抛物线顶点坐标为： （2，-1） 对称轴为：直线 x=2 （3）抛物线 y=（x-2）2-1 向上平移到 x 轴得到 y=（x-2）2，向上平移了 1 个单位， （既：阴 影部分看做宽为 1，长为 2 的一条长带） S=1×2=2
25．我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样， 黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识． 已知平行四边形 ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a． (1) 把所给的平行四边形 ABCD 用两种方式分割并作说明 (见题答卡表格里的示例)； A 第 25 题图 B 要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个． (2) 图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度． 要求：计算对角线 BD 长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线 AC 的长． 解：在表格中作答 分割图形 示例 D C 分割或图形说明 示例①分割成两个菱形。 ②两个菱形的边长都为 a,锐角都为 60°。 A 第 25 题图 D C B D C
①分割成两两个等腰梯形。 ②两个等腰三角形的腰长都为 a， 上底长都为 a/2，下底长都为 3a/2， 上底角都为 120°，下底角都为 60°， 。
A 第 25 题图 D
B
C
①分割成 1 个等边三角形、1 等腰三角形、一个 直角三角形。 ②等边三角形的边长为 a, 等腰三角形的腰长为 a，顶角为 120°。
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A 第 25 题图
B

直角三角形两锐角为 30°、60°，三边为 a、 3 a、2a.
（2）
解：如图，连接 BD，取 AB 中点 E，连接 DE。 ∵AB=2a，E 为 AB 中点， ∴AE=BE=a, ∵AD=AE=a，∠A=60°， ∴△ADE 为等边三角形，∠ADE=∠DEA= 60°，DE=AE=a, 又∵∠BED+∠DEA= 180°, ∴∠BED=180°-∠DEA=180°-60°=120°， 又∵DE=BE=a, ∠BED=120°, ∴∠BDE=∠DBE= (180°-120°)/2=30°， ∴∠ADB=∠ADE+∠BDE= 60°+30°=90° ∴Rt△ADB 中，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD2+AD2=AB2 BD2+ a2=(2a)2
A
D
C
E
第 25 题图
B
BD2=4a2- a2=3 a2 BD= 3 a AC=2OC=2× OB 2 ? BC 2 ? 2 ∴BD= 3 a ，AC= 7 a
3 2 7 7 a ? a2 ? 2 a ? 2 ? a ? 7a 4 4 2
A D O C
3a / 2
第 25 题图
a
B
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