二元一次不等式与平面区域

二元一次不等式（组）与平面区域

【教学目标】

1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

【教学重点】

用二元一次不等式（组）表示平面区域；

【教学过程】

讲授新课

.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形

（1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间

思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？

（2）探究

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

点P的纵坐标

1

y

点A的纵坐标

2

并思考：

当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？

根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？

直线x-y=6右下方点的坐标呢？

学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6

的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。

直线叫做这两个区域的边界

由特殊例子推广到一般情况：

（3）结论：

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 【应用举例】

例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。

解：先画直线44x y +=（画成虚线）.

取原点（0，0），代入x +4y -4,∵0+4×0-4=-4＜0,

∴原点在44x y +<表示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。 变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。

例2 画出不等式2x ＋y －6＞0表示的平面区域.

解:先画直线2x ＋y －6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x ＋y －6，得0－6＜0.因2x ＋y －6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x ＋y －6＞0表示的平面区域与原点在直线2x ＋y －6＝0的异侧，即直线2x ＋y －6＝0的右上部分的平面区域. 学生课堂练习. (1)x －y ＋1＜0.

(2)2x ＋3y －6＞0.

(3)2x ＋5y －10≥0.

(4)4x －3y≤12.

例3 用平面区域表示.不等式组312

2y x x y

<-+??

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线

2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

变式1、画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。

变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。

例4 画出不等式组?

?

?+-≥++02,

063＜y x y x 表示的平面区域.

x ＋3y ＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合.

x －y ＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合. 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.

例5 画出不等式组??

?

??≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域.

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0右上方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0右上方的平面区域，x≤3左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分. 课堂练习

作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域. （1）x-y+1＜0; （2）2x+3y-6＞0; （3）2x+5y-10＞0; （4）4x-3y-12＜0; （5）??

?--+0.

0,

1＞＞y x y x

如下图：

［合作探究］

由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式（组）表示平面区域的吗？ 归纳如下：

1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l:x+y-1=0分成三类： （1）直线l 上：{(x,y)|x+y-1=0}；

（2）直线l 的上方：{(x,y)|x+y-1＞0}；

（3）直线l 的下方：{(x,y)|x+y-1＜0}.

对于平面内的任意一点P(x,y)的坐标,代入x+y-1中，得到一个实数，此实数或等于0，或大于0，或小于0.观察到所有大

于0的点都在直线l 的右上方，所有小于0的点都在直线l 的左下方，所有等于0的点在直线l 上. 2.一般地，

二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线A x+B y+C =0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成虚线表示不包括边界.

二元一次不等式A x+B y+C ≥0表示的平面区域是直线A x+B y+C =0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线应画成实线.

此时常常用“直线定界，特殊点定位”的方法.（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点） ［方法引导］

上述过程分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论. 课堂小结

1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l 分成三类： （1）直线l 上； （2）直线l 的上方； （3）直线l 的下方.

2.二元一次不等式a x+b y+c ＞0和a x+b y+c ＜0表示的平面区域. 布置作业

1.不等式x-2y+6＞0表示的区域在x-2y+6=0的（ ）

A.右上方

B.右下方

C.左上方

D.左下方 2.不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域是（ ）

3.不等式组?

?

?+-≥+-02,

063＜y x y x 表示的平面区域是（ ）

4.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式___________表示.

5.不等式组??

?

??++0834,0,0＞＜＜y x y x 表示的平面区域内的整点坐标是_______________.

6.画出(x+2y-1)(x-y+3)≥0表示的区域.