高中数学必修一 《4 4 对数函数》教学导学案(统编人教A版)
第四章指数函数与对数函数
4.4.3 不同增长函数的差异
1.了解指数函数、对数函数、线性函数(一次函数) 的增长差异.
2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。
重点：函数增长快慢比较的常用方法；
难点：了解影响函数增长快慢的因素；
三种函数模型的性质
增函数;增函数;增函数;y轴;x轴;越来越快;越来越慢;a x>x n>log a x
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
提出问题
虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.
我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.
下面就来研究一次函数f (x )=kx +b ，k >0 ，指数函数g (x )=a x
(a >1) ，对数函数在定义域内增长方式的差异. 问题探究
以函数y =2x
与y =2x 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
分析：(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数y =2x
值恒大于0，一次函数y =2x 值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
结论1：函数y =2x
与y =2x 有两个交点(1,2)和(2,4)
结论2：在区间(0,1)上，函数y =2x
的图象位于y =2x 之上
结论3：在区间(1,2)上，函数y =2x
的图象位于y =2x 之下
结论4：在区间(2,3)上，函数y =2x
的图象位于y =2x 之上
综上：虽然函数y =2x
与y =2x 都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y =2x 的增长速度不变，
但是y =2x
的增长速度改变，先慢后快.
请大家想象一下，取更大的x 值，在更大的范围内两个函数图象的关系？
思考：随着自变量取值越来越大，函数y =2x
的图象几乎与x 轴垂直，函数值快速增长，函数y =2x
的增长速度保持不变，和y =2x
的增长相比几乎微不足道.
归纳总结
总结一：函数y =2x 与y =2x
在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y =2x 与y =2x
在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x 的增大，y =2x
的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y =2x 的增长速度.尽管在x 的一定范围内，2x
<2x ，但由于y =2x
的增长最终会快于y =2x 的增长，因此，总会存在一个
x 0
，当x >x 0
时，恒有2x
>2x .
总结二：一般地指数函数y =a x
(a >1)与一次函数y =kx (k >0)的增长都与上述类似.
即使k 值远远大于a 值，指数函数y =a x
(a >1)虽然有一段区间会小于y =kx (k >0)，但总会存在一个x 0
，
当x >x 0
时， y =a x
(a >1)的增长速度会大大超过y =kx (k >0)的增长速度.
跟踪训练
1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226 401 626 901 y 2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x 呈指数函数变化的变量是________. 答案：y 2
[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．故填y 2.]
分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx 没意义，一次函数值恒小于0， 所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
x y =lg x
0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 ···
···
···
以函数y =lg x 与
110
y x =
为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
x
y
102030405060
1
23456O
1
10
=
y x y =lg x
总结一：虽然函数y =lg x 与
在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在
(0,+∞)上增长速度不变，y =lg x 在(0,+∞)上的增长速度在变化.
随着x 的增大， 的图象离x 轴越来越远，而函数y =lg x 的图象越来越平缓，就像与x 轴平行一样.
例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；
111110110010100010010000100010101010
，，，，⨯=⨯=⨯=⨯= 这表明，当x >10，即y >1，y =lg x 比
相比增长得就很慢了.
思考：将y =lg x 放大1000倍，将函数y =1000lg x 与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.
1
10=
y x
=
1
10y x
x
y
102030405060
1
23456O
110
=
y x y =lg x
x
y
10
2030
40
50
60
1
23456O 110
=
y x y =
1
10
=y x
总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数y=kx(k>0)在(0,上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论a值比k值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于
的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x
0，当x>x
时，恒有log a x 跟踪训练 1．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的 大小进行比较). [解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x 当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)． 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是() A．y＝e x B．y＝ln x C．y＝x2D．y＝e－x x y 2110422063308440105501266014770168801899021100232102532027430295403165033760358703798040090422004431046420485305064052750 2110 4220 6330 8440 10550 12660 14770 O () log =>1 a y x a 【答案】A [结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A 正确．] 2．能使不等式log 2x D ．(4，＋∞) 【答案】D [当x >4时，log 2x 3．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示． 以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④ [结合图象可知②④正确，故填②④.] 4．某人投资x 元，获利y 元，有以下三种方案．甲：y ＝0.2x ，乙：y ＝log 2x ＋100，丙：y ＝1.005x ，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案. 【答案】乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y 值的大小即可求出．] 1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数f (x )=kx +b ，k >0，指数 函数g (x )=a x (a >1) ，对数函数 在定义域上的不同增长方式. 2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． () log =>1a y x a 对数函数 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= (); m n m n mn n m a a a a == 2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 2.2 对数函数 解读对数概念及运算 对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考． 一、对数的概念 对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ?log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N . 例1 计算：log 22＋log 51＋log 31 27 ＋9log 32. 分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值． 解 原式＝1＋0＋log 33－ 3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2. 点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数． 二、对数的运算法则 常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0. (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M . 例2 计算：lg 14－2lg 7 3 ＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解． 解 由已知，得 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用． 三、对数换底公式 根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式： log a b ＝log c b log c a (a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)log a b ·log b a ＝1；(2)log an b m ＝m n log a b . 例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32 log 35 . 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底． 解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 32 2log 35 ＝52log 25×12log 52＝54 . 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记． 通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界． 第1课时对数函数的概念、图象及性质 学习目标 知识梳理 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象及性质 (0，＋∞) 3．反函数 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换． 名师导学 知识点1 对数函数的概念 【例】(1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)·log m x，则m＝________． (2)已知对数函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12. ①求f (x )的解析式； ②解方程f (x )＝2. 【解】 (1)由对数函数的定义可得m 2－3m ＋3＝1， 即m 2－3m ＋2＝0，也就是(m －1)(m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2. 又因为m >0，且m ≠1，所以m ＝2. (2)①由题意设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，12可得f (4)＝1 2， 即log a 4＝1 2 ， 所以4＝a 1 2，解得a ＝16， 故f (x )＝log 16x . ②方程f (x )＝2，即log 16x ＝2， 所以x ＝162＝256. 反思感悟 判断一个函数是对数函数的方法 变式训练 1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________． 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪ ⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4. 答案：4 2．点A (8，－3)和B (n ，2)在同一个对数函数图象上，则n ＝________． 解析：设对数函数为f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． 则由题意可得f (8)＝－3，即log a 8＝－3， 所以a －3 ＝8，即a ＝8－ 1 3＝1 2 . 课时教学设计(第 1 课时/总3课时) 课题 4.4.1对数函数的概念 课型新课 1、教学内容分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第 4.4.1节《对数函数的概念》.对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数 之一.对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质， 都有其共通之处.相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感.学习中让学 生体会在类比推理，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能 力的一个重要的过程.为之后学习数学提供了更多角度的分析方法.培养学生逻辑推 理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养. 2、学习者分析对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常 用对数以及指数函数的基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这个重 要数学思想的进一步理解与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知 识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决相关自 然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数函数的性质的基础. 3、学习目标确定 1.理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域； 2.了解对数函数与指数函数之间的联系，培养学生观察问题、分析问题和归纳 问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法. 3.在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关 系，培养数学应用的意识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数学的兴趣. 4、学习重点和难点教学重点：对数函数的概念、求对数函数的定义域 教学难点：对数函数与指数函数的关系. 5、学习评价设计1．对数函数的概念及其应用 2.会求与对数函数有关的定义域问题 3.会应用对数函数模型 6、学习活动设计教师活动学生活动设计意图 一、情景导入 我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量思考、讨论并交流温故知新，通过对上节指数函数 问题的回顾，提出新的问题，构 建对数函数的概念.培养和发展逻 第四单元指数函数与对数函数 一教学要求 1．理解有理数指数幂的概念，掌握幂的运算性质． 2．了解幂函数的概念，了解幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 1 2 ，y＝x-1， y＝x-2的图像． 3．理解指数函数的概念、图像和性质． 4．理解对数的概念(包括常用对数、自然对数)，了解对数的运算性质． 5．了解对数函数的概念、图像和性质． 6．了解指数函数和对数函数的实际应用． 7．通过幂与对数的计算，培养学生计算工具的使用技能；结合生活、生产实例，讲授指数函数、对数函数模型，培养学生数学思维能力和分析、解决问题能力． 二教材分析和教学建议 (一) 编写思想 1．提供丰富的背景材料 每一个抽象概念的产生和发展总有它的现实或数学理论发展的需要，强调概念产生发展的背景，联系学生原有的认知基础，将有利于学生理解抽象概念的内涵．因此，教材结合本单元数学概念的特点选取了具有时代特点、贴近学生实际的实例来创设情境．例如，在引入幂函数概念时，选取了购物等五个问题，引导学生概括这些问题中的函数有什么共同特征？又如，在引入指数函数的概念时，选取了细胞分裂和放射性元素衰变两个例子；对数函数概念也是通过两个实际问题引入的．这样做，有利于引导学生经历数学知识的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉． 2．注重信息技术的应用 信息技术是一种有效的认知途径，能够为学生提供强有力的学习工具，呈现以往教材和其他教学手段难以呈现的内容，帮助学生更好地理解数学．本单元专门设计了“数学实验”的栏目，如“研究参数a的取值对指数函数y＝a x图像的影响”展现了运用计算机的动态环境研究指数函数的性质的过程与方法．3．体现应用，培养应用意识 函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中都有着广泛的应用．本 4．3.2 对数的运算 [目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用． [重点] 对数的运算性质的推导与应用． [难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用． 知识点一 对数的运算性质 [填一填] 如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． [答一答] 1．若M ,N 同号,则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 提示：不一定,当M >0,N >0时成立,当M <0,N <0时不成立． 2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a M N ＝log a M －log a N (M ,N >0,a >0且a ≠1)两个公式吗？ 提示：①设M ＝a m ,N ＝a n ,则MN ＝a m ＋ n .由对数的定义可得log a M ＝m ,log a N ＝n ,log a (MN )＝m ＋n . 这样,我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地,设M ＝a m ,N ＝a n , 则M N ＝a m － n .由对数定义可得log a M ＝m , log a N ＝n ,log a M N ＝m －n , 即log a M N ＝log a M －log a N . 知识点二 换底公式 [填一填] 前提 原对数的底数a 的取值范围 a >0,且a ≠1 最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用. 知识点一对数函数的概念 函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）． 错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质 a＞１0＜a＜１ 图 象 性质 定义域（0，＋∞） 值域R 过点（１,0），即当x＝１时，y＝0 在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数 错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”． 知识点三反函数 一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． [教材解难] １．教材P１３0思考 根据指数与对数的关系，由y ＝错误! 5730 x （x ≥0）得到x ＝log 573012 y （0＜y ≤１）．如 图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730 x （x ≥0） 的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012 y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就 是说，函数x ＝log 573012 y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律． ２．教材P １３２思考 利用换底公式，可以得到y ＝log 12 x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x 轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12 x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴 对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12 x 的图象． ３．教材P １３8思考 一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋ 2.2.3对数函数的性质（性质的应用） A (1)进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质，设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。 (2)对于反函数，知道同底的对数函数与指数函数互为反函数 B 通过问题的探究研讨，体会函数与方程的思想、体会类比的方法解题、体会数形结合的思想、体会对数函数的模型功能。 C 进一步增强函数与方程意识，培养运用联系发展、变化的观点认识事物的本质，提高数学思维品质。 一、 函数性质应用 例1、已知函数)10)(1(log )(),1(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a 且， （1）求函数)()(x g x f +的定义域；（2）判断)()(x g x f +的奇偶性，并说明理由； （3）探究)()(x g x f +在其定义域内的单调性。 解： 例2、已知函数)32(log )(24x x x f -+=， （1）求)(x f 的定义域；（2）求)(x f 的单调区间；（3）求)(x f 的最大值，并求取得最大值时的x 的值。 例3已知0.70.7log (2)log (1)m m <-，求m 的取值范围 例4求函数])8,1[(4 log 2log 22 ∈⋅=x x x y 的最大值和最小值。 二、反函数 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且与指数函数)10(≠>=a a a y x 且互为反函数，它 们的图象关于直线y = x对称。试举例说明哪些函数是互为反函数并画出它们的图像 三、函数图像的应用 例5：画出y = lg x的图象，作出y = | lg x | 和y = lg | x | 的图象，并解答以下问题：函数y = lg | x |（） （A）是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增 （B）是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减 （C）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增 （D）是奇函数，在区间上（0，+∞）单调递减 练习：将y = 2 x的图象（） （A）先向左平移1个单位（B）先向右平移1个单位 （C）先向上平移1个单位（D）先向下平移1个单位 再作关于直线y = x的对称图象，可得到y = log 2 (x + 1) 的图象。 四自我小结（总结本节课用到的数学方法和思想） 4.4.1 对数函数的概念 教学目标： 1.理解对数函数的概念，能够解释数学概念和规则的含义，达到数学抽象核心素养水平一的要求. 2.理解对数函数与指数函数的关系，能够在关联的情景中抽象出一般的数学概念和规则，达到数学抽象核心素养水平二的要求. 3.能够通过指数函数底数取值范围的要求，归纳出对数函数的底数的取值范围，达到逻辑推理和数学运算核心素养水平一的要求. 教学重点：对数函数的概念. 教学难点：指数函数与对数函数的关系及互相推导. 教学过程： （一）新课导入 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y 随死亡时间的变化而衰减的规律. 反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢? 进一步地，死亡时间是碳14的含量y 的函数吗? 师：你能据此得到此类函数时一般式吗? 生：log a y x =. 师：这样就得到了我们生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型--对数函数.这就是我们下面将要研究的内容. 探究：对数函数的概念 一般地，函数log (0,1a y x a a =>≠且） 叫作对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0,)∞+. 提问： （1）在对数函数的定义中，为什么要限定0,1?a a >≠且 （2）为什么对数函数log (0,1a y x a a =>≠且）的定义域是(0,)∞+? 引导学生发现概念中的两个核心问题，并让学生给出答案. 学生回答： （1）根据对数式与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =.由指数的概念，要使 y a x =有意义，必须规定a >0，且1 a ≠. （2）因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质0y a >，知 (0,)x ∞∈+. （三）课堂练习 例1.求下列函数的定义域： 23(1)log ;y x = (2)log (4)(0,1)a y x a a =->≠且. 例1分析：求函数定义域时应从哪些方面来考虑? 教师引导学生回答. 学生回答：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0. 解：（1）由2 0x >，得0x ≠.所以函数23log y x =的定义域是{0}x x ≠∣. （2）因为40,4x x -><即. 所以函数log (4)a y x =-的定义域是{4}x x <∣. 教师小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例2 .假设某地初始物价为 1，每年以5%的增长率递增，经过y 年后的物价为x . （1）该地的物价经过几年后会翻一番? （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 解：（1）由题意可知，经过y 年后物价x 为(15%)y x =+，即 1.05([0,))y x y ∞=∈+. 由对数和指数的关系，可得，当2x =时，14y ≈.所以该地区的物价大约经过14年后可以翻一翻. （2）根据函数 1.05log ,[1)y x x ∞=∈+，利用计算工具可得下表： 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 14 23 28 33 37 40 43 45 47 2.5对数函数及其性质 【知识要点】 2.反函数（回忆反函数的定义，如何求反函数） 3. 对数函数的定义域（回忆求定义域的方法，对照对数函数的性质求对数函数定义域） 4. 对数函数的值域（对照函数值域求法求解对数函数的值域） 5. 对数函数的单调性及应用（回忆单调性的定义与证明，如何求解） 6. 对数函数的综合应用 【知识应用】 1.方法：在解题时，要会结合函数图象解题，注意底数a 的取值范围。当a 大于1时，函数是单调增，当a 小于1时，函数是单调减，并且恒过点（1，0），由此画出函数图象。 【J 】例1 集合A={y ∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是（ ） A. A ⋂B={-2，-1} B. （R C A ）⋃B=（-∞，0） C. A ⋃B=（0，+∞） D. （R C A ）⋂B={-2，-1} 【L 】例2 以下四个数中的最大者是（ ） A 2 ln 2（） B ln （ln2） C D ln2 【C 】例3 已知1 对数函数的图象和性质的应用（第二课时） 授课时间： 授课地点：高一（1）班 授课老师： 教学目标： 1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质； 3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 教学重点：进一步理解对数函数的图象和性质。 教学难点：能运用对数函数的图象和性质解决相关问题。 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练 教学用具：多媒体，几何画板。 素养要求：通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题，发展数学抽象及数学运算素养。教学过程 一、复习对数函数的图象与性质。 二、教材探究 观察图形，回答下列问题： 图(1)图(2) 问题1观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？ 师生互动：对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0 师生互动在同一直角坐标系中，作出y＝log2x，y＝log3x，y＝log0.2x，y＝log0.3x 的大致图象如图所示. 作出x＝4，可得log0.34 第四章指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图像和性质 【目标与核心素养】 【重点难点】 教学重点：掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图象之间的联系。 教学难点：对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的 联系。 【教学过程】 （一）、问题探究 思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？ 问题1. 利用“描点法”作函数2log y x =和12 log y x =的图像． 函数的定义域为(0,)+∞，取x 的一些值,列表如下： x … 1 2 4 … … 2 -1 0 1 2 … … 2 1 -1 -2 … 问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如2log y x =和 12 log y x =的图像， 它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ 1 4 12 2log y x =12 log y x = 发现：函数2log y x =和 12 log y x =的图像都在y 轴的右边,关于x 轴对称 问题3：底数a （0>a ，且1≠a ）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数log a y x =（0>a ，且1≠a ）的值域和性质吗？ 结论1．函数2log y x =和12 log y x =的图像都在y 轴的右边； 2．图像都经过点()1,0； 3．函数2log y x =的图像自左至右呈上升趋势；函数12 log y x =的图像自 左至右呈下降趋势． 观察两幅图象，得到1>a 和10<a , 1≠a ) 通过画出特 殊的对数函数的图形，观察归纳出对数函数的性质，发展学生逻 辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养； 通过典例问题的分析，让学生 【新教材】4.4.2 对数函数的图像和性质（人教A版） 1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质； 3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 1.数学抽象：对数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式； 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 重点：对数函数的图象和性质； 难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质． 一、预习导入 阅读课本132-133页，填写。 1．对数函数的图象及性质 a的范围0＜a＜1a＞1 图象 a的范围0＜a＜1a＞1 性质定义域__________ 值域R 定点__________，即x＝_______时，y＝_________ 单调性在(0，＋∞)上是__________在(0，＋∞)上是__________ 的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．2．反函数 指数函数__________和对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数． 1.若函数y=log a x的图象如图所示,则a的值可能是() A.0.5 B.2 C.e D.π 2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是() A.y=5x B.y=lg x+2 C.y=x 2+1 D.y= 3.函数的f (x )=log a (x-2)-2x 的图象必经过定点.. 4.(1)函数f (x )= 的反函数是. (2)函数g (x )=log 8x 的反函数是. 题型一对数函数的图象 例1函数y=log 2x ,y=log 5x ,y=lg x 的图象如图所示. (1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由; (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lo g 12 x ,y=lo g 15 x ,y=lo g 110 x 的图象; (3)从(2)的图中你发现了什么? 跟踪训练一 1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间. 题型二比较对数值的大小 例2比较下列各组数中两个值的大小： (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7； (3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0，且a ≠1)． 跟踪训练二 1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 13 2与log 15 2; (4)log 23与log 54. 题型三比较对数值的大小 例3(1)已知log a 1 2 ＞1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 跟踪训练三 1．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 题型四有关对数型函数的值域与最值问题 例4求下列函数的值域． lo g 12 x 23 x 第2课时 对数函数及其性质的应用 知识点 反函数 1．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为________，它们的定义域与值域正好交换． 答案：反函数 2．对数函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x 的图象 y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象在________的右侧，图象过定点(1,0)；y ＝log a x 与y ＝log 1a x 的图象关于______对称． 这一性质我们可以类比指数函数y ＝a x 的图象在x 轴的上方，图 象过定点(0,1)；y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称． 答案：y 轴 x 轴 [自我排查] 1．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，且f (x )＝2x ，则f (4)＋f －1 (4)的值为( ) A ．8 B ．18 C ．20 D ．32 答案：B 解析：因为函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，且f (x )＝2x ，所以 f －1(x )＝lo g 2x ，所以 f (4)＝24＝16，f －1(4)＝log 24＝2，f (4)＋f －1(4)＝18. 故选B ． 2．设m ∈()0，1，若a ＝lg m ，b ＝lg m 2，c ＝(lg m )2，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a 答案：C 解析：∵m ∈(0,1)，∴a ＝lg m <0，b ＝lg m 2＝2lg m 4．4 对数函数 最新课程标准：(1)通过具体实例,了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数(a ＞0,且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料,撰写小论文,论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用. 知识点一 对数函数的概念 函数y ＝log a x(a ＞0,且a≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,＋∞)． 状元随笔 形如y ＝2log 2x,y ＝log 2x 3都不是对数函数,可称其为对数型函数． 知识点二 对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图 象 性 质 定义域(0,＋∞) 值域R 过点(1,0),即当x ＝1时,y ＝0 在(0,＋∞)上是增函数 在(0,＋∞)上是减函数 状元随笔 底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时,对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时,对数函数的图象“下降”． 知识点三 反函数 一般地,指数函数y ＝a x (a ＞0,且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换． [教材解难] 1．教材P 130思考 根据指数与对数的关系,由y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫125730 x (x≥0)得到x ＝log 573012 y(0＜y≤1)．如图,过y 轴正半轴上 任意一点(0,y 0)(0＜y 0≤1)作x 轴的平行线,与y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫125730 x (x≥0)的图象有且只有一个交点(x 0,y 0)．这就 第四章 指数函数与对数函数 4.4对数函数 第1课时对数函数的概念 【课程标准】 1. 理解对数函数的概念、图像及性质。 2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题 【知识要点归纳】 1. 对数函数的概念 一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞) 2.对数函数的图像和性质 定义 形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数 定义域 ()0,+∞ 值域 (),-∞+∞ 图像 【经典例题】 ()()()()242213log 2log 3log 4log (1).(5)log 1 x y x y x y y x y x =+＝；＝； ＝5；＝＋ [跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为 。 （2）若对数函数y ＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2log 4x C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x D ．不确定 注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 例2求下列函数的定义域. (1)y＝log a(3－x)＋log a(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x). [跟踪训练]2 求下列函数的定义域． (1)y＝3 log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)； (3)y＝log0.5(4x－3)－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)． 注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1. 例3画出函数y＝lg|x－1|的图象. 对数函数 【第1课时】 【教学过程】 一、新知初探 1．对数函数的概念 函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）． 思考1：函数y＝2log3x，y＝log3（2x）是对数函数吗？ 提示：不是，其不符合对数函数的形式． 2 0 指数函数y ＝a x （a >0，且a ≠1）与对数函数y ＝log a x （a >0且a ≠1）互为反函数． 二、初试身手 1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值为（ ） A ．5 B ．15 C ．1e D ．12 答案：A 解析：由图可知，a >1，故选A ． 2．若对数函数过点（4，2），则其解析式为________． 答案：f （x ）＝log 2x 解析：设对数函数的解析式为f （x ）＝log a x （a >0且a ≠1）．由f （4）＝2得log a 4＝2，∴a ＝2，即f （x ）＝log 2x ． 3．函数f （x ）＝log 2（x ＋1）的定义域为________． 答案：（－1，＋∞） 解析：由x ＋1>0得x >－1，故f （x ）的定义域为（－1，＋∞）． 三、合作探究 对数函数的概念及应用 类型1 例1：（1）下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2（a >0，且a ≠1）；③y ＝log （ 3－1）x ； ④y ＝1 3log 3x ；⑤y ＝log x 3（x >0，且x ≠1）； ⑥y ＝log 2 πx ．其中是对数函数的为（ ） A ．③④⑤ B ．②④⑥ 4.4 对数函数性质（第一课时） 运用一 对数函数的辨析 【例1-1】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x >0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x . 【答案】（5) 【解析】 (1)中真数不是自变量x ，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． [例 1-2]函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(1 8)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38 【答案】B 【解析】因为函数f(x) 为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3， 因为对数函数底数大于0，所以a =2，f(x)=log 2x ，所以f (1 8)=−3。 【触类旁通】 1.若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. [答案]1 [解析]由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1. 2.指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1. 【答案】（2） 【思路总结】 判断一个函数是对数函数的方法人教版高中数学必修一《对数函数》课时教学案
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