J-O 理论计算过程总结

J-O 理论计算过程总结

单位采用g 、cm 、s By.周大华

电子电荷 e=4.8*10-10 esu （electrostatic unit ） 电子电荷 m=9.11*10-28 g 光速 c=3*1010 cm/s 1.计算稀土掺杂离子数浓度

0A

N N M

ρ?=

??摩尔浓度格位数，1s 0=C (1)m k m C k g -=-摩尔浓度，

ρ---晶体密度，A N ---阿伏伽德罗常数236.0210?，M ---基质分子量 格位数---被掺杂离子在单个分子中被取代离子数目，

0C ---配料摩尔浓度，

g ---晶体结晶率=已结晶质量

原始配料质量

，因为原料未完全结晶

m k ---分凝系数 简单近似时可由晶体头部的掺杂离子含量ICP 分析数据计算出，也就是把晶体头部生长时溶液中溶质含量近似为初始配料浓度，例如(Nd 0.01Y 0.99)3A15O 12晶体头部ICP 分析结果是Nd 、Y 的质量百分含量分别A 和B ，

则1%

Nd

Nd Y

m A M A M B M k +=

注：(1)如果不乘以格位数算出来的只是分子或者单胞浓度，而非掺杂离子的个

数浓度；

(2)离子浓度单位为 个/cm 3

2. 比尔－朗伯定律 Beer –Lambert law

当强度0I 单色光入射厚度为L 的介质（气体，液体，固体，离子，原子等），介质吸光点浓度0N ，在无限小的薄层dl ，横截面积S ，强度减弱dI ,则dI 与该薄层光强I 和吸光点数目相关：

00dI k I N Sdl -=??? （1）

000

L

I L I dI

k N Sdl I -=???

? （2） 0

00ln

L

I k N SL I =?? （3） 关系式（3）称为光吸收定律或者比尔-朗伯定律。 定义吸光度Absorbance (也称光密度Optical Density)

0000lg()0.43L A I I k N L K N L ===?? （4）

定义透光度(透射比) Transmittance

0010k N L L T I I -??== （5）

注：(1)当介质厚度L 以cm 为单位，吸光物质浓度0N 以g L 为单位时，K 用α表

示，称为吸收系数，其单位为L g cm ? 。这时比尔-朗伯定律表示为0A N L α=??

(2)当介质厚度L 以cm 为单位，吸光物质浓度0N 以mol L 为单位时，K 用k 表示，称为摩尔吸收系数，其单位为L mol cm ?,定律表示为0A k N L =??

(3)在激光领域，常常取自然对数时的吸收系数: 0

2.303*()ln

L OD I L I L

λα==

3.吸收光谱能级标定、平均波长（各种离子能级标定参见附录）

()()OD d OD d λλλλλλ

=

?? （6） ()OD λ为光密度，吸收光谱直接测出

4.实验振子强度

2

2

exp 2

2

220

1

()()0.43e e m c m c f d OD d L e N e N αλλλλπλπλ=

=

?

??

20

2820

2

9.11109101

()3.14 4.8 4.8100.43OD d N L

λλ--???=

?

????? 12

2

02.6410()OD d N L

λλλ?=

?, （7）

注：()OD d λλ?为各吸收能级的积分面积（积分强度），再乘以10-7代入公式（7）。 5.稀土离子4N f 电子组态的SLJ 能级到S L J '''跃迁的谱线强度（各离子跃迁矩阵元参见附录）

理论 2

()

2,4,6

()4[,]4[,]n t n

cal t t S J J f S L J U

f S L J =''''

→=

Ω∑

实验 exp 3222

03(21)91

()()8(2)0.43hc J n S J J OD d e n N l

λλπλ+'→=

?+? 2710

322022

03 6.63103109(21)

()0.438 3.14 4.810(2)n J OD d n N L

λλλ--??????+=?????+???? 322

0(21)

0.2210()(2)n J OD d n N L

λλλ?+=??

+???? 以上式子，J --角动量量子数，n --折射率，c --真空光速，e --电子电量。

注：(1)如果用吸收系数求实验谱线强度的话则采用下面的公式

exp 32223(21)9()()8(2)hc J n

S J J d e n αλλπλ

+'→=

?+?

由于计算过吸收系数，这时()αλ的量级一般为10-20。

(2)实验测得谱线跃迁强度为电偶极跃迁和磁偶极跃迁之和，而在理论计算中只涉及电偶极跃迁，所以如果存在磁偶极跃迁的话要减掉这一部分强度

exp ed md S S S =+

222

1

(,)2(,)4md S S L J L S S L J m c '''=

+

2

323.3510(,)2(,)S L J L S S L J '''

=??+

由公式可知，存在磁偶极跃迁的话，磁偶极跃迁强度与稀土离子基质性质

无关，所以常见的磁偶极跃迁强度可由文献查询。如Er 3+磁偶极能级跃迁见附录。

(3)在计算实验谱线强度时不需要特别考虑波长单位，因为分子分母同时含有波长的单位可以约掉。

6.误差计算

理论强度与试验测定强度方均差RMS deviation between measured and

calculated line strengths

RMS S ?=

计算过程的相对误差

Relative error

RMS error =

总结：第一步：依次标定吸收谱能级，求出平均波长；

第二步：求出实验谱线强度，实验谱线强度包括电偶极跃迁和磁偶极跃

迁之和, 注意公式的选择与用光密度还是吸收系数来积分有关；

第三步：如果含有磁偶极跃迁，需减去磁偶极跃迁强度方为实验电偶极跃迁强度；

第四步：利用exp 224466S U U U =Ω?+Ω?+Ω?，解线性方程组，求出2,4,6Ω； 第五步：利用224466cal S U U U =Ω?+Ω?+Ω?，算出理论跃迁谱线强度ed S ；

第六步：误差计算。

7.计算自发辐射跃迁几率、荧光分支比、辐射寿命

第一步：标定自发辐射能级，各离子能级参见附录

第二步：根据吸收谱计算出各能级间自发辐射波长，例如

第三步：自发辐射谱线强度，自发辐射几率

22446ed S U U U =Ω?+Ω?+Ω?，这里2,4,6Ω由前面计算出，而跃迁矩阵元根据能级确定；

md S 与基质无关，根据磁偶极跃迁的选择定则，强度可以直接文献查得，见附录。

4222

364(2)()3(21)9ed ed e n n A J J S h J πλ+'→=+

423

364()3(21)md md

e n A J J S h J πλ

'→=+ 4222

33

64(2)[(,);(,)][]3(21)9

ed md ed md e n n A S L J S L J A A S n S h J πλ+'''=+=++ 2210

3

3

1(2)=7.2110[](21)9

ed md n n S n S J λ+??++ 注：在A 的计算中，由于一般论文中ed S 和md S 采用-20210cm ?单位，这里要注意

分母有波长（710cm -）的三次方，所以波长用nm ，ed S 和md S 用-20210cm ?的话结果要再乘以10。

第四步：荧光分支比

()

()()

J A J J J J A J J β''→'→=

'→∑ 上能级寿命

1

(,)rad J A J J τ'

=

'∑ 8.吸收截面、发射截面

吸收截面 02.303()()a OD N L

σλλ=

? 通过荧光分支比计算发射截面计算

52()

()8()e I cn I d β

λλσλπτλλλ='''

?，β为荧光分支比，注意单位。

参考文献B. Aull and H. Jenssen, IEEE J. Quantum Electron. 18, 925 (1982).

通过吸收系数计算受激发射截面 0()()(/)exp[()/]se abs

eff eff g e Z Z E h kT συσυυ=-

参考文献S. A. Payne, L. L. Chase, L. K. Smith, W. L. Kway, W. F. Krupke, IEEE J. Quantum Electron. 28 (1992) 2619

受激发射截面 52()

()8()e rad I cn I d λλσλπτλλλ

=?（待确认）