高二数学导数、定积分测试题
高二数学导数、定积分测试题
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f (x )=ax 2+c ,且(1)f '=2,则a 的值为 A .1
B .2
C .-1
D . 0
2.若函数()y f x =的导函数...
在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
3.已知函数()f x 在1x =处的导数为1,则
(1)(1)3lim
x f x f x x →--+= A .3 B .23- C . 13 D .3
2
-
4.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为4
3214164
s t t t =
-+,则速度为零的时刻是 A .4s 末 B .8s 末 C .0s 与8s 末 D .0s 、4s 、8s 末 5.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 A .4 B .5
2
C .3
D .2 6.曲线21
x
y x =-在点()1,1处的切线方程为
A .20x y --=
B .20x y +-=
C .450x y +-=
D .450x y --=
7.已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图,那么(),()y f x y g x ==图象可能是
8.若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94y ax x =+
-都相切,则a 等于( ) A .1-或25-64 B .1-或214 C .74-或25
-64
D .74-或7
9.已知自由下落物体的速度为V=gt ,则物体从t=0到t 0所走过的路程为 A . 2012gt B .2
0gt C . 2013gt D .2014
gt
10.设函数1
()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =
A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B .在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点。
C .在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点。
D .在区间1
(,1)e
内无零点,在区间(1,)e 内有零点。
二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在相应位置)
11.若曲线2
()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 ; 12.函数3
2()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ;
a
b a
b a
x
x
y x
y
x
y
y
A .
B .
C .
D .
13.设函数2
()(0)f x ax c a =+≠,若1
00
()()f x dx f x =?, 001x ≤≤,则0x 的值为 .
14.设函数3
()31()f x ax x x R =-+∈,若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为 ;
15.下列命题:①若()f x 可导且0'()0f x =,则0x 是()f x 的极值点; ②函数(),[2,4]x
f x xe x -=∈的最大值为2
2e -;
③
4
8π-=?
④一质点在直线上以速度2
43(/)v t t m s =-+运动,从时刻0()t s =到4()t s =时质点运动的路程为4
()3
m 。 其中正确的命题是 。(填上所有正确命题的序号)
三、解答题:(本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分12分)计算下列定积分: (1)
3
4
|2|x dx -+?
(2)1
2
1
1e dx x +-?
(3)dx x ?-22
2cos π
π
17.(本题满分12分)已知函数3
2
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (I )若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...
,求a 的取值范围. 18.(本题满分12分)物体A 以速度2
31v t =+在一直线上运动,在此直线上与物体A 出发的同时,物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A 的走过的路程是多少?(时间单位为:s ,速度单位为:m/s )
19.(本题满分12分)已知函数2
()1ln ,0f x x a x a x
=-+-> (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)设3a =,求()f x 在区间2
[1,]e 上值域。其中e =2.71828…是自然对数的底数。
20.(本题满分12分)设函数0),(,)1(3
1)(223
>∈-++-
=m R x x m x x x f 其中 (Ⅰ)求函数的单调区间与极值;
(Ⅱ)已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0,21,x x ,且21x x <。若对任意的],[21x x x ∈,)1()(f x f >恒成立,求m 的取值范围。
21.(本题满分14分)如果0()f x 是函数()f x 的一个极值,称点00(,())x f x 是函数()f x 的一个极值点。已知函数
()(),(00)a
x
f x ax b e x a =-≠≠且
(1)若函数()f x 总存在有两个极值点,A B ,求,a b 所满足的关系;
(2)若函数()f x 有两个极值点,A B ,且存在a R ∈,求,A B 在不等式1x <表示的区域内时实数b 的范围.
(3)若函数()f x 恰有一个极值点A ,且存在a R ∈,使A 在不等式1
x y e ???
表示的区域内,证明:01b ≤<。.
参考答案
1.'()2f x ax =,∵'(1)2f =,∴22a =,解得1a =,故选A 。
2.(2009湖南卷文)解: 因为函数()y f x =的导函数...()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数,即在区间[,]a b 上各点处的斜率k 是递增的,由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢。 3.0
00(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)22
lim
lim lim '(1)33333
x x x f x f x f x f f x f f x x x →→→--+--+-=--=-=--,故选B 。
4.瞬时速度3
2
'1232v s t t t ==-+,令0v =得3
2
12320t t t -+=,解得0t =或4t =或8t =,故选D 。
5.322
22
00
2
2
cos cos sin |sin |3s
xdx xdx x x π
π
ππ
ππ=-=-=??,故选C 。
6.解:11122
2121
|
|[]|1(21)(21)
x x x x x y x x ===--'=
=-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B 。 7.解:从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同,可以排除B 答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出()y f x =的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢,排除A 、C ,最后就只有答案D 了,可以验证y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快。
8.(2009江西卷文)解:设过(1,0)的直线与3
y x =相切于点300(,)x x ,所以切线方程为320003()y x x x x -=-
即23
0032y x x x =-,又(1,0)在切线上,则00x =或03
2
x =-
, 当00x =时,由0y =与2
1594y ax x =+-相切可得2564
a =-,
当032x =-时,由272744y x =-与215
94y ax x =+-相切可得1a =-,所以选A .
9.0022
00011|22
t t s gtdt gt gt ===?,故选A 。
10.解:由题得x x x x f 33131)`(-=-=,令0)`(>x f 得3>x ;令0)`( 知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数,在区间),3(+∞为增函数,在点3=x 处有极小值03ln 1<-;又 ()0131 )1(,013,31)1(>+=<-== e e f e e f f ,故选择D 。 11.解析:由题意该函数的定义域0x >,由()1 2f x ax x ' =+ 。因为存在垂直于y 轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为0x >范围内导函数()1 2f x ax x ' =+ 存在零点。 解法1 (图像法)再将之转化为()2g x ax =-与()1 h x x =存在交点。当0a =不符合题意,当0a >时,如图1,数形结合可得显然没有 交点,当0a <如图2,此时正好有一个交 点,故有0a <应填(),0-∞或填{}|0a a <。 解法2 (分离变量法)上述也可等价于 方程120ax x +=在()0,+∞内有解,显然可 得()21 ,02a x =-∈-∞ 12.考查利用导数判断函数的单调性。解:2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+,由(11)(1)0x x -+<得单调 减区间为(1,11)-。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.解: 1 1231 01 ()()3 f x dx ax c dx ax cx =+=+? ?203 a c ax c = += +03x =∴ 14.解:若0x =,则不论a 取何值,()0f x ≥显然成立; 当0x > 即(0,1]x ∈时,3 ()310f x ax x =-+≥可化为,2331 a x x ≥- 设()2331g x x x = -,则()()' 4312x g x x -=, 所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增,在区间1,12?????? 上单调递减,因此()max 142g x g ?? == ??? ,从而4a ≥; 当0x < 即[)1,0x ∈-时,3 ()310f x ax x =-+≥可化为23 31a x x ≤ -,()()' 4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增,因此()()ma 14n g x g =-=,从而4a ≤,综上4a =。 15.0'()0f x =,则0x 是()f x 的临界点,不一定是点,例如3 ()f x x =有'(0)0f =,但()f x 在R 上单调递增,故① 错误;函数(),[2,4]x f x xe x -=∈,'()(1)x f x x e -=-,所以()f x 在区间[2,4]上单调递增,所以()f x 得最大值为 2 (2)2f e -= ,故②正确;由定积分的几何意义知4 -? 表示圆心在原点半径为4的圆的上半圆的面积,故③ 正确;令0v =得2 430t t -+=,解得1t =或3t =,所以质点在直线上以速度2 43(/)v t t m s =-+运动,从时刻 0()t s =到4()t s =时质点运动的路程为: 1 3 4 2 2 20 1 3 (43)(43)(43)4s t t dt t t dt t t dt = -+--++-+=??? 故④错误。 16.解:(1) 原式=2 3 4 2 22x dx x dx ----+++? ? ()()=2241 (2)|2x x ---++23 21(2)|2x x -+= 292 (2)原式=1 2ln(1)|e x +-=ln ln1e -=1 (3)原式=2222 1cos 211(sin 2)|2242x dx x x π π πππ --+==+=?。 17.解析:(Ⅰ)由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又? ?? -=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ,解得0=b ,3-=a 或1=a (Ⅱ)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点,根据零点存在定理,有 0)1()1(<'-'f f , 即:0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得:0)1)(1)(5(2 <-++a a a ,解得15-<<-a 。 18.解:设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+ 即 20 (31)105t t t dx tdx +=+? ?, 3200055t t t +=+,22000(1)5(1)t t t +=+,0t =5 (s) 所以 A S =2 055t +=130 (m) 19.解:(1)由于2 2()1a f x x x =+ -, 令21 21(0)t y t at t x ==-+≠得 ①当2 80a ?=-≤,即022a <≤时, ()0f x ≥恒成立.()f x ∴在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数. ②当2 80a ?=->,即22a >时由2 210t at -+>得284a a t --<或28 4 a a t +-> 2804a a x --∴<<或0x <或28 4 a a x +-> 又由2 20t at -+<得22228888 a a a a a a a a t x --+---+-<<∴<< 综上①当022a <<时, ()f x 在(,0)(0,)-∞+∞及上都是增函数. ②当22a <时, ()f x 在2288 ( ,)22a a a a --+-上是减函数, 在2288())a a a a --+--∞+∞及上都是增函数. (2)当3a =时,由(1)知()f x 在[]1,2上是减函数,在2 2,e ????上是增函数。 又(1)0,(2)2320f f ln ==-<22 22()50f e e e =- ->∴函数()f x 在2 1,e ????上的值域为22223n 2,5l e e ??---???? 20.(Ⅰ)解:12)(2 2 ' -++-=m x x x f ,令0)(' =x f ,得到m x m x +=-=1,1 因为m m m ->+>11,0所以, 当x 变化时,)(),(' x f x f 的变化情况如下表: x )1,(m --∞ m -1 )1,1(m m +- m +1 ),1(+∞+m )('x f + 0 - 0 + )(x f 极小值 极大值 )(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数,在)1,1(m m +-内增函数。 函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +,且)1(m f += 31 3223-+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -,且)1(m f -=3 1322 3-+-m m (Ⅱ)解:由题设, ))((3 1 )131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-= 所以方程13122-++- m x x =0由两个相异的实根21,x x ,故321=+x x ,且0)1(34 12>-+=?m ,解得21)(21>- 3,32,221221>>=+> 若0)1)(1(3 1 )1(,12121≥---=<≤x x f x x 则,而0)(1=x f ,不合题意 若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x 则0))((3 1 )(21≥--- ==x x x x x x f 又0)(1=x f ,所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0,于是对任意的],[21x x x ∈,)1()(f x f >恒成立的充要条件是03 1 )1(2<-=m f ,解得3333<<-m 综上,m 的取值范围是)3 3 ,21( 21.解:(1)x a x a e x a b ax e a x f ?--+?=))(()('2 令()0f x '=得20x ax b -+= 2 40a b ∴-> 又 00a x ≠≠Q 且 2 04 a b b ∴<≠且 (2)2 0x ax b -+=在(1,1)-有两个不相等的实根. 即2401121010 a b a a b a b ??=->? ?-<? ?++>?-+>?? 得 2 2 441b a a b ?>??<-? 110b b ∴-<<≠且 (3)由①2 ()00f x x ax b '=?-+=(0)x ≠①当()22 0a x x ax b b f x a e x -+'==??在x a =左右两边异号 (,())a f a ∴是()y f x =的唯一的一个极值点 由题意知2 110()a a e a b e e <<≠??-<- 且- 即 22 0111 a a ?<-< 即 2 01a <<存在这样的a 的满足题意 0b ∴=符合题意 ②当0b ≠时,2 40a b ?=-=即2 4b a = 这里函数()y f x =唯一的一个极值点为(,())22 a a f 由题意1 2102()2 a a a e b e e ?<≠????-<-?且即 21 12 2204 2 a a e b e ?<?-<-? 即 1 122044b e b e <? ??-< 01b ∴<< 综上知:满足题意 b 的范围为[0,1)b ∈.定积分测试题及答案