基于小波分析的故障诊断算法
基于小波分析的故障诊断算法
前言：
小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间 -频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引起人们的重视，其应用领域来越来越广泛。
在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如在故障诊断中，故障点（机械故障、控制系统故障、电力系统故障等）一般都对应于测试信号的突变点。对于这些时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频率信息或某一频率段所对应的时间信息。
因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形状固定不变的缺点。它不但可以同时从时域和频域观测信号的局部特征，而且时间分辨率和频率分辨率都是可以变化的，是一种比较理想的信号处理方法。
小波分析被广泛应用于信号处理、图像处理、语音识别、模式识别、数据压缩、故障诊断、量子物理等应用领域中。
小波分析在故障诊断中应用进展
1）基于小波信号分析的故障诊断方法
基于小波分析直接进行故障诊断是属于故障诊断方法中的信号处理法。这一方法的优点是可以回避被诊断对象的数学模型 , 这对于那些难以建立解析数学模型的诊断对象是非常有用的。
具体可分为以下 4种方法 :
①利用小波变换检测信号突变的故障方法连续小波变换能够通过多尺度分析提取信号的奇异点。基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz指数a >0时，其连续小波变换的模极大值随尺度的增大而增大；当a <0时，则随尺度的增大而减小。噪声对应的Lipschitz指数远小于0, 而信号边沿对应的 Lipschitz 指数大于或等于 0。因此 , 利用小波变换可以区分噪声和信号边沿 , 有效地检测出强噪声背景下的信号边沿（奇变）。动态系统的故障通常会导致系统的观测信号发生奇异变化 , 可以直接利用小波变换检测观测信号的奇异点 , 从而实现对系统故障的检测。比如根据输油管泄漏造成的压力信号突变的特点 , 用小波变换检测这些突变点 , 实现输油管道的泄漏点诊断。
②观测信号频率结构变化的故障诊断方法小波多分辨率分析能够描述信号的频谱随
时间变化情况或信号在某时刻附近的频率分布。系统故障由于产生原因不同 , 通常具有不同的频率特征。利用小波变换尺度与频率的对应关系 , 分析观测信号的
频率结构特点 ,可以有效地检测系统的故障。有人利用多分辨率分析获得系统状
态信号奇异值特征矩阵 , 并根据相应的故障检测算法 ,实现对系统故障检测 ,
该方法成功实现对某一武器平台上的精密弹簧阻尼器的故障检测。有研究者提出了利用 Mallet 塔式算法实现对系统的多故障检测 ,将观测信号进行多尺度分
解 , 获得故障在不同尺度下的特征 ,进而实现故障区分 , 利用该方法实现对某
一电网上不同故障的区分。
③基于系统脉冲响应函数小波变换的故障方法
, 其脉冲响应函数也必然发生变化, 这一变化可以由少数几个小波变换系数反映出来。通常这些小波变换系统中只有少数几个元素具有较大的模 , 其余元素的模都非常小 , 以系统的状态为参照, 根据系统待检状态下辨识得到的这几个元素或其平均值随时间的变化情况, 就可以判断有无故障。
④利用小波变换去噪提取系统波形特征的诊断方法小波变换可以看作一个带通滤波器 , 从而可以对信号进行滤波。近年来 , 已经出现了很多基于小波变换的去噪方法。Mallat 提出了通过寻找小波变换系数中的局部极大值点 , 并据此重构信号 , 可以很好地逼近未被噪声污染前的信号。 Don oho也提出了一种新的基于阈值处理思想的小波去噪技术。利用去噪后的信号可以直接对系统进行故障诊断 , 也可利用此信号进行残差分析。通过去噪获得系统输出信号来进行故障诊断 , 方法上比较简单 , 但对故障的判断受限于观测人员自身的经验。某期刊文献中提出了基于小波变换的含噪系统辨识方法 ,利用噪声
和信号在小波变换下的不同特性达到消噪目的 , 直接对含噪声的数据进行小波变换来实现系统辨识。
2)
在故障诊断过程中 ,对于那些使系统输出发生明显变化的故障 , 利用小波变换能够有效检测出。但是, 当故障的程度很小时 ,使用小波变换所得的可视信息是有限的, 这些信息用于故障检测是困难的。某些研究员提出了利用模式识别中的统计相似性分析的方法进行故障特征提取与诊断 , 信号检测值与样板之间的相似性是通过二者之间的距离来实现的。直接使用小波变换的小波系数的所有值作为特征矢量是不现实的 , 因此必须进行特征压缩。这一方法特别适用于缓变故障或具有故障趋势的系统故障诊断。
3)
模糊逻辑理论是描述与处理广泛存在的不精确、模糊的事件和概念的有效理
论工具。近年来人们已将这一理论成果应用于故障诊断中。但在故障诊断中, 通常是将这一理论和其他方法相结合来实现的。某研究人员将小波变换和模糊逻辑理论相结合 , 实现对影响电网稳定性的干扰源故障诊断。还有研究者用小波变换分析模糊数据的局部时频特性来进行故障的检测与分离 , 利用了在线和离线的学习算法进行规则库的设计和更新。
4)
将小波分析理论与神经网络理论相结合的小波神经网络(WaveletNeuralNetwork,WNN)最早是由ZhangQinghua等提出的。小波网络的基本思想是基于任何函数或信号可以由小波函数表示。小波网络用于故障诊断 ,主要用于信号逼近和故障分类。目前 , 用于故障诊断的小波神经网络 , 主要有两种方式：
它的基本思想是将信号经小波变换后 , 提取相应的故障特征 , 再将所得的故障特征输入给常规神经网络 , 利用神经网络的非线性映射能力 , 对故障进行识别和诊断。某人提出了利用辅助式小波神经网络实现对动态系统的辨识方法。有研究者利用小波包的多维多分辨率特性 , 对电机振动信号进行分解重构 , 提取电机故障特征信号，将其作为特征向量输入ART2(自适应谐振)神经网络，可对电机工作状态进行在线监测和故障诊断。某研究团队针对非线性系统中的多重并发故障, 提出了在输入层对残差信号进行二进制离散小波变换, 由故障信号多尺度
下的细节分量进行故障特征的提取 ,并将其输入到神经网络进行故障分类与识别。该方法成功实现了对某歼击机同时发生的平尾卡死故障和副翼损伤故障的诊断。
它的基本思想是将常规单隐层神经网络的隐节点函数用小波函数代替。利用小波网络的非线性映射能力对非线性动力系统实现故障诊断。某研究员提出了一种可对任意非线性时变系统进行辨识的小波神经网络 , 它采用了自校正移动窗的递推最小二乘算法 , 可自动地调节移动窗的长度来跟踪非线性时变系统的动态特性，比常规神经网络具有更好的跟踪精度和辨识性能。某人提出了在BF网络的基础上引入小波函数的方法对电力系统的接地短路故障进行诊断。
数据融合 (DataFusion) 指的是将不同性质的多个传感器在不同层次上获得的关于同一事物的信息、或同一传感器在不同时刻获得的同一事物的信息综合成一个信息表征形式的处理过程。数据融合技术现已广泛应用于工业过程监控、机器人制造、医疗诊断和模式识别等众多领域中。现代高性能、多层次、复杂系统往往要求多个传感器在不同的层次上对其状态或过程进行监测、分析和综合 ,所以数据融合系统可以获得关于目标更精确的信息。某篇期刊论文中提出了利用多传感器数据融合技术进行非线性系统的状态参数估计方法。同时小波分析具有尺度可变的特点 , 能将信号的特征在不同的尺度下刻画出来。将小波分析的多分辨特点与数据融合技术相结合进行故障诊断 , 是一个很有前途的诊断方法。
6) 小波分析与混沌理论相结合的故障诊断方法
混沌(Chaos)的分形维数、关联维数等特征量可以描述非线性系统的特征。在实际的故障诊断中 , 有一些变量是难于直接测量到的 , 而在有些极端情况下 , 甚至不知道系统独立变量有几个，也不知道哪些是系统变量。根据动力学系统方法，系统变量之间存在关联作用，某个变量的时间序列蕴藏着参与动态的全部变量的痕迹。因而，当监测参量有
限时，可以通过混沌特征量进行系统故障监测与诊断。某研究人员提出利用小波多分辨模型来辨识混沌系统，混沌系统对初始条件极端敏感，两个（或多个）相近的初始条件将导致完全不同的混沌轨迹，这就使得混沌系统建模变得相当困难。作者根据小波多分辨率分析特点，利用小波对非线性强有力的逼近能力，采用张量积构造多维小波框架，利用降维分解建模方法解决高维空间中的“维数灾”问题。这一方法给非线性系统的故障诊断提出了一个新的方法和思路。
7 ）其他方法
除了上面介绍的一些方法外，小波分析在故障诊断中的应用还有其他一些方法。如小波分析与数据挖掘相结合的故障诊断方法、小波分析与时间序列统计与估计分析相结合的故障诊断方法，甚至还有上述多种方法的组合,如小波分析、神经网络和专家系统的组合,小波分析、神经网络和粗糙集的组合等。利用专家系统、神经网络和小波分析技术组成的混合故障诊断系统，实现对某钢厂的冷轧自动化生产线系统进行实时状态监测和故障诊断。某医疗科研机构提出了利用小波分析与粗糙集理论、神经网络相结合的信号处理方法，实现对癫痫病的诊断分析。
MATLA仿真
本次仿真中将采用小波包变换分析两个信号的特征向量和各频率成分的功率谱。
产生两个信号；s1为正常信号，s2为故障信号
3St=0. 001:0. 001:1：
t=l:1000;
sl=siti(2*pi*50*t*0. t)01)+^in(2*pi*120*t*0i.'OOlHrandtU lenath(t)) :Slrand 随机产生函數
□ for t=l:500：
s2(t)=sinf2*pi*50itftiFO.00I)+sin(2*pi*l20*t*0. 001)+rand(UenEthh));
-md
F f or t=501：1000；
s2 (t)=sin(2*pi*200*'t *0. 001 )-Hsin(2*pi*12O*t#0? 001)+rand(Ij letifth/t));
-end
仿真运行程序，两个信号如下图:
两个信号的功率谱:
File Edit View Insert Tools Desktop Window Help
J a a s fe
? 凰 K -层 □ Id ■ □
原始信号的功率谱 故障信号的功率谱
°0
300 250' 200
gj 丘ISO
100 50 200 400 COO 300
250
200
150
100
SO
200 400 eoo
小波变换的基本原理
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
小波分析及其在通信中的应用 张天雷
小波分析及其在通信中的应用 专业：电子信息工程 姓名：张天雷 学号：123408148 河南城建学院 2011年05月29日
小波分析及其在通信中的应用 摘要：小波分析是傅里叶分析的重大突破，是当今许多领域研究的热点。从小波分析的发展历程出发，介绍了小波在现代通信中的一些应用，并指出了未来的一些研究方向。 关键词：小波变换；傅里叶变换；小波应用；通信 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波分波是自1986年以来由于Meyer、Mallat和Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是傅立叶分析划时代的发展结果。与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题， 小波分析的目的是“既要看到森林(信号的概貌) ，又要看到树木(信号的细节) |”。因此，它被誉为“学显微镜”。 小波分析已经在图像处理、语音识别，声学，信号处理，神经生理学，磁性谐振成像，地震测量，机械故障诊断，生物医学，医疗卫生，以及一些纯数学应用如解决一些微分方程式等领域取得一系列重要应用。小波变换理论在通信中的应用研究在国际上日益受到重视。小波函数提供的一系列正交基非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。 小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。 一、小波分析在通信系统中的研究动态 如何在各种信道环境下实现有效可靠的信息传输一直是通信领域关注的课
小波变换的几个典型应用
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
小波分解与重构原理
“小波工程应用”实验报告 一维信号离散小波分解与重构（去噪）的VC实现 一、目的 在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上，通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。 二、基本原理 1、信号的小波分解与重构原理 在离散小波变换(DWT)中，我们在空间上表示信号，也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。 Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct the by and . 我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数 和。同样的，我们也能从两个系数和通过重构得到系数。
如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现（也就是小波变换算法）。当小波和尺度在空间内是正交的，我们就可以用内积公式计算得到系数和: 下面是内积计算方法的具体公式： 具体的系数计算过程如下: 对于上面的小波分解过程，通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现，特别是对于离散小波变换，程序算法相对简单。而重构也只是分解的逆过程，重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。 2、小波去噪原理
浙江大学小波变换及工程应用复习题
小波分析复习题 1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。 答：三者之间的异同见表 2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点： 1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号； 2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波； 如果)(t ?的傅里叶变换是)(ωψ，则)(a t ?的傅里叶变换为)(||a a ω ψ，因此这组滤波 器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。a 越大相当于频率越低。 3）适当的选择基本小波，使)(t ?在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λt x 的CWT 是),( λ τ λλa WT x ；0>λ 此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的 伸缩，但是不发生失真变形。 基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。 3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。 答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件
当?∞ +∞-∞<=ωω ωψ?d c 2 ) (时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，?c 便是对 )(t ?提出的容许条件，若∞→?c ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小 波)(t ?的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波 )(t ?必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。 2）能量的比例性 小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。 3）正规性条件 为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。这就要求)(t ?的 前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。也就是要求? =0)(dt t t p ?，n p ~1:，且n 值越大越好， 此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01 ωψω ωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。 4）重建核和重建核方程 重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。 重建核方程：τττττ?? ?∞ +∞ ∞-=0 00200),,,(),(),(a a K a WT a da a WT x x ； 重建核：><== ?)(),(1)()(1),,,(0000* 00t t c dt t t c a a K a a a a ττ? ττ??????ττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用 框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。 答： 1）基于调频Z 变换 ),(2a j a n j e A e W ππ--== 运算说明： a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ?（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括 a j e A π-=和a n j e W π2-=。 --- 1)(2N k r )2(am N π 12~2--N N 对应于：1~0-=N r
基于连续小波变换的信号检测技术与故障诊断
机械工程学报 CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING 2000 Vol.36 No.12 P.95-100 基于连续小波变换的信号检测技术与故障诊断 林京 屈梁生 摘 要：通过分析指出，连续小波变换具有很强的弱信号检测能力，非常适合故障诊断领域。从参数离散到参数优化系统研究了连续小波变换的工程应用方法，建立 了“小波熵”的概念，并以此作为基小波参数的择优标准。论文最后把连续小波技术应用在滚动轴承滚道缺陷和齿轮裂纹的识别中，诊断效果十分理想。 关键词：小波故障诊断滚动轴承齿轮 分类号：TH133．33 TH132．41 FEATURE DETECTION AND FAULT DIAGNOSIS BASED ON CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM Lin Jing（State Key Laboratory of Acoustics, Institute ofAcou stics, Chinese Academy of Science） Qu Liangsheng（Xi’an Jiaotong University） Abstract：It is pointed out that continuous wavelet transform(CWT) has powerful ability for weak signal detection which help itself to be used for fault diagnosis. The method for parameter discretization and optimi zation of CWT is estabished. The concept of wavelet entropy is introduced and it is used as a rule for parameter optimization. In the end, CWT is used fo r fault diagnosis of rolling bearing and gear-box. Very good results are obtain ed using this method. Keywords：Wavelet Fault diagnosis Rolling bearing Gear
【免费下载】小波分析及其应用
科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
基于小波分析的机械故障诊断
绪 论 机械故障诊断技术作为一门新兴的科学，自从二十世纪六七十年代以来已经取得了突飞猛进的发展，尤其是计算机技术的应用，使其达到了智能化阶段。现在，机械故障诊断技术在工业生产中起着越来越重要的作用，生产实践已经证明开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。 我国的故障诊断技术在理论研究方面，紧跟国外发展的脚步，在实践应用上还是基本落后于国外的发展。在我国，故障诊断的研究与生产实际联系不是很紧密，研究人员往往缺乏现场故障诊断的经验，研制的系统与实际情况相差甚远，往往是从高等院校和科研部门开始，再进行到个别行业，而国外的发展则是从现场发现问题进而反映到高等院校或科研部门，使得研究有的放矢[1]。 要求机械设备不出故障是不现实的，因为不存在绝对安全可靠的机械设备。因此，为了预防故障和减少损失，必须对设备的运行状态进行监测，及时发现设备的异常状况，并对其发展趋势进行跟踪：对己经形成的或正在形成的故障进行分析诊断，判断故障的部位和产生的原因，并及早采取有效的措施，这样才能做到防患于未然。因此，设各状态监测与故障诊断先进技术的研究对于保证复杂机械设备的安全运行具有重要意义。 关键词：小波分析，故障诊断，小波基选取，奇异性 基于小波分析的机械故障检测 小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理 信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系： 设)(x g 为一光滑函数，且满足条件0g(x) lim ,1x)dx ( g x ==∞→+∞ ∞-?，不妨设)(x g 为高斯函数，即σσπ2221)(x e x g -= ，令 d x,/x)( dg x)(=ψ由于?+∞ ∞-=0x)dx (ψ，因此，可取函数x)(ψ
小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
研究生《小波理论及应用》复习题
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
基于小波分析的故障诊断算法
基于小波分析的故障诊断算法 前言： 小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间- 频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引起人们的重视，其应用领域来越来越广泛。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如在故障诊断中，故障点（机械故障、控制系统故障、电力系统故障等）一般都对应于测试信号的突变点。对于这些时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频率信息或某一频率段所对应的时间信息。 因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形状固定不变的缺点。它不但可以同时从时域和频域观测信号的局部特征，而且时间分辨率和频率分辨率都是可以变化的，是一种比较理想的信号处理方法。 小波分析被广泛应用于信号处理、图像处理、语音识别、模式识别、数据压缩、故障诊断、量子物理等应用领域中。 小波分析在故障诊断中应用进展 1）基于小波信号分析的故障诊断方法 基于小波分析直接进行故障诊断是属于故障诊断方法中的信号处理法。这一方法的优点是可以回避被诊断对象的数学模型, 这对于那些难以建立解析数学模型的诊断对象是非常有用的。 具体可分为以下4种方法: ①利用小波变换检测信号突变的故障方法连续小波变换能够通过多尺度分析提取信号的奇异点。基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz指数a >0时，其连续小波变换的模极大值随尺度的增大而增大；当a <0时，则随尺度的增大而减小。噪声对应的Lipschitz指数远小于0, 而信号边沿对应的Lipschitz 指数大于或等于0。因此, 利用小波变换可以区分噪声和信号边沿, 有效地检测出强噪声背景下的信号边沿（奇变）。动态系统的故障通常会导致系统的观测信号发生奇异变化, 可以直接利用小波变换检测观测信号的奇异点, 从而实现对系统故障的检测。比如根据输油管泄漏造成的压力信号突变的特点, 用小波变换检测这些突变点, 实现输油管道的泄漏点诊断。 ②观测信号频率结构变化的故障诊断方法小波多分辨率分析能够描述信号的频谱随 时间变化情况或信号在某时刻
小波变换基本原理
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
《小波分析及其应用》word版
现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与
小波变换及应用
小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3）
小波分析算法资料整理总结
一、小波分析基本原理： 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。相关原理详见附件资料和系统设计书。 注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf 二、搜索到的小波分析源码简介 （仅谈大体印象，还待继续研读）： １、83421119WaveletVCppRes.rar 源码类型：VC++程序 功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。 说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序） 源码类型：fortran程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。 ３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份 功能是：气象应用。用小波分析方法对太平洋温度的南方涛动指数进行分析。 说明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序编写规范，思路清晰，但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ４、Morlet小波变换源程序.rar 源码类型：matlab程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。
小波分析在故障诊断中的实际应用
测 控 系统 课 程 设 计 题目:基于小波分析的故障诊断 院 （系） 机电及自动化学院 专 业 测控技术与仪器1班 学 号 0911211014 姓 名 李志文 级 别 2 0 0 9 指导老师 王启志 2012年6月 Huaqiao university
摘要 基于小波变换的故障诊断是当前比较热门的一项研究之一，如何快速、准确地提取故障信号，如何准确定位故障的发生点及进行故障的预测是故障分析与检测的关键性问题。本文就此问题展开如下研究。 本文详细分析了小波变换的基本理论、小波变换用于故障检测的基本原理。介绍了几种常用的小波及其应用特点。通过实例分析比较不同小波类型的应用特点，通过对他们的优缺点的了解，能够在不同的环境下选取合适的小波类型进行故障检测，同时针对不同的着重点选取恰当的小波。 关键词：小波分析，故障检测，小波基选取，奇异性 ABSTRACT Fault diagnosis based on wavelet transform is one of the popular a study, how quickly and accurately extract the fault signal, and how to accurately locate the fault occurred and the failure of the forecasts are the key issues of fault analysis and detection. On this issue, the following research. In this paper a detailed analysis of the basic theory of wavelet transform, the basic principles of wavelet transform for fault detection. Several commonly used wavelet and its application characteristics. By case analysis comparing different wavelet characteristics, by understanding their strengths and weaknesses in different environments to select the appropriate wavelet for fault detection, and select the appropriate wavelet for a different focus. KEY WORDS:wavelet analysis，defect detection，wavelet basis selection, singularity
小波变换理论及应用
2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分）
（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247
小波变换及其应用_李世雄
现代数学讲座 小波变换及其应用 李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039) 科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。 (一)从傅里叶变换谈起 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞