反证法逻辑原理孙贤忠

反证法逻辑原理

即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”

作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学邮编：410003 ）

【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义，定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B 为真。

【关键词】：反证法证明矛盾逆否命题一反证法出现

反证法（Proofs by Contradiction ,又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。

反证法常称作RedUCtiO ad absurdum ,是拉丁语中的转化为不可能”，源自希

腊语中的“ ει? To αδυνατο阿基米德丫经常使］用它。

二反证法所依据的逻辑思维规律

反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律”和排中律”。在同一思维过程中，

两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中

的排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据矛盾律”，这些矛盾的判

断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以否定的结论”必为假。再根据排中律”，结论与否定的结论” 这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法是间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法”。

反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用

反证法，此即所谓"正难则反"。

三反证法所依据的逻辑基础

牛顿曾经说过：反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。

反证法的证题可以简要的概括为否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的否定之否定”。应

用反证法的是：

欲证若P则Q'为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

反证法的证明主要用到一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

某命题：若A则B ,则此命题有4种情况：

1. 当A为真，B为真，则A→B为真，「B→「A为真；

2. 当A为真，B为假，贝U A→B为假，「B→「A为假；

3. 当A为假，B为真，则A→B为真，「B→「A为真；

4. 当A为假，B为假，贝U A→B为真，「B→「A为真；

二一个命题与其逆否命题同真假

与若A则B先等价的是它的逆否命题若「B则「A

假设「B,推出「代就说明逆否命题是真的，那么原命题也是真的.

但实际推证的过程中，推出「A是相当困难的，所以就转化为了推出与「A相同效果的内容即可，这个相同效果就是与A（已知条件）矛盾,或是与已知定义，定理,大家都知道的事实等矛盾.

这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A

则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。

这样就有命题：若A则B为真，应该完备成命题：若A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及且……则B。于是逆否命题就是：若「B,则「A或「C （定义）或「D （定理）或「E （正确的逻辑推理）或「F（客观事实）以及或「……，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。

在数学的证明中，经常运用反证法。在命题逻辑推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。

设A1，A2，…，Am是命题公式，

如果A1 A2…Am是可满足的，

称A1，A2，…，Am是相容的。

如果A1 A2…Am是矛盾式，

称A1 , A2 ,…，Am是不相容的。

如果要证A1 A2…Am = C

只需证明A1 A2…Am > C是重言式。

而A1 A2 …Am —. C

—（A1 A2 …Am） C

—（A1 A2 …Am - C）

由此可知A1 A2…Am - C为重言式，

当且仅当A1 A2…Am - C是矛盾式。

从而得到如A1 , A2 ,…，Am , -C不相容（即-C （A1 A2…Am）这就是

A1 A2…Am > C的逆否命题得证），则C是A1 , A2,…，Am的有效结论。

因此我们可以把-C作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1 , A2 ,…, Am的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础。

例如：「B→「A为真，就是「B且A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……→「A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若A则B 为真（即原命题为真），

当然也可以是另外的情形口：「B且A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……则A且C （定义）且「D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若A则B 为真（即原命题为真）等等。

四反证法步骤：

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。（若「B为真）

（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。（即推出「A或「C （定义）「D （定理）或「E （正确的逻辑推理）或「F（客观事实）以及或「……为真）（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。（即A→B为真）

五反证法在简易逻辑中适用题型:

（1）唯一性命题

（2）否定性题

（3）至多”至少”型命题

1?基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反

证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理

化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，

起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。

例1求证两条直线如果有公共点，最多只有一个。

证明：假设它们有两个公共点A，B ,这两点直分别是a，b

那么A，B都属于a，A，B也都属于b，

因为两点决定一条直线，

所以a，b重合（这否定了两条直线这个条件）所以命题不成立，原命题正确，公共点最多只有一个。

2?否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。

例2 AB、CD为圆两条相交弦，且不全为直径，

求证：AB、CD不能互相平分。

证明：假设弦AB、CD被P点平分，

由于P点一定不是圆心，连接°P，

则有OP — AB,OP—CD，

即过一点P有两条直线与O P垂直，

这与垂线性质矛盾（这否定了垂线性质定理），所以弦AB、CD不能被P 平分。

例3 证明函数y = CoS ■ X不是周期函数。

证明：假设函数y=cos X是周期函数，即存在T=O，使CoS X T =

cos ' X

2 2 _

令x=0 ,得T=4k ∏（k = 0，k 乙不妨设k>0）。

2 ---------------------------------------------------

令x=4 ∏ ,得4二2 4k2二2= 2m （m N）

1 k

2 =m N

但是当k>0时， k< 1 k 2

定了相邻两个整数之间没整数的事实)

，矛盾 故函数y = CoS X 不是周期函数。

例4求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和

则由P 是奇数得a 、b 必为一奇一偶。

不妨设a=2s+1，b=2t ，其中S 、t 为整数，

p=a 2+b 2=(2s+1) 2+(2t)2=4(s 2+s+t 2)+1 ,这与 P 是 4n+3 型的整数矛盾

(这否定了条件P 是4n+3型的整数)。

例5证明：△ ABC 内不存在这样的点P ,使得过P 点的任意一条直线把△

ABC

证明：假设在△ ABC 内存在一点P ,使得过P 点的任一

条直线把△ ABC 的面积分成 相等的两部分。连接

AP 、BP 、CP 并分 别延长交对边于 D 、E 、F O

由假设，S △ABD=S △ADC ,于是D 为 BC

的中点，同理E 、F 分别是AC 、AB 的

中点，从而P 是厶ABC 的重心。

过P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于M 、N ,贝U ,

这与假设过P 点的任一条直线把△ ABC 的面积分成相等的两部分矛 盾。(这否定了

题设过P 点的任一条直线把△ ABC 的面积分成相等的两部 分)

3?限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。 例6已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0最多只有一个实数根

证：假设方程至少有两个根 X 1, X 2且χi?z x 2 ,

则有 f(x 1 )=f(x 2) (X^J X 2 )

这与函数单调的定义显然矛盾(这否定了函数单调的定义)，故命题成 立。

例7平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同 时在这六个圆上。

证：题意即这六个圆没有共同的交点。

如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的 线段

中，总有两条线段所成的角不超过 60°。

这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等， 那么两圆圆心在对方圆内；

证明：假设P 是4n+3型的整数，且

P 能化成两个整数的平方和，即 2 p=a +b 2

的面积分成相等的两部分。

H

否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。(这否定了已知条件)

例8 若p>0，q> 0，p3 + q3 = 2。试用反证法证明：P + q≤2。证明：此题直接由条件推证p+ q≤2是较困难的，由此用反证法证之。

假设p+ q>2,τP>0，q>0，

.??(p + q) 3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3 > 8

又T p3 + q3 = 2。代入上式得：3pq (P + q)>6。即Pq (P + q)>2 ①

又由p3 + q3 = 2 得(P + q) (p2 —Pq + q2) = 2

②

由①②得Pq (P + q)>( p + q)( p2 —Pq + q2)

■/ P + q > 0。

二Pq > p2 —Pq + q2= p2 —2pq + q2 V O= (P —q) 2v 0 与(P —q) 2 ≥0相矛盾。(这否定了实数的平方非负的运算律))

假设P + q > 2不成立。故P + q ≤2。

4?唯一性命题，即结果指定唯一的命题。

例9 已知a = 0,证明X的方程ax = b有且只有一个根。

证明：由于a =0,因此方程至少有一个根X = b

a

如果方程不只一个根，不妨设X1,X2是它的两个不同的根

即ax1 =b ax2 =b两式相减，得：a(x1-x2)=0

因为X I= X2，所以X^X^Z O，所以应有a = 0，这与已知矛盾(这

否定了已知条件)，

故假设错误。所以，当a = 0时，方程ax = b有且只有一个根。

例10 求证：方程X = SinX的解是唯一的。

证明：显然，X = 0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。

假设方程至少有两个解α、β( α≠ β)，则有Sin〉=〉，Sin ：=：

α +β . α -β β

2cos -------- Sin -------- 二-- 2 2 α - β α - β ISin -------- 1V | ------- I 2 2 Icos ——| ? | ——| > ---------------- 2 2 2 α + B Icos 一 |> 1 （这否定了余弦函数值域

2 故 方程 X = SinX 的解是唯一的。

例11 求证方程2x +χ=6仅有唯一实根2。

证明：假设方程 2X +X =6有一个非2的实根a 。

则有 2a + a =6 ,与 22+2=6 相减，得 2a -22=2- a

??? a ≠ 2 ,故 a > 2 或 a v 2。

当 a > 2 时，2a -22 > 0

,而 2- a V 0 ,相矛盾。 当a V 2时，2a -22 V 0

,而2- a > 0 ,也矛盾。（这否定了逻 辑推理的正确性）

???假设方程有一个非 2的实根是错误的。

???不存在非2的实根α,即方程仅有唯一实根

2。 六结束语

反证法证明问题均是两面性的问题， 即一个问题只有正反两个方面的结论， 若否 定了其中一个方面，就能肯定另一个方面。证明的方法不是直接地证明，而是首先假 设问题的反面，然后根据假设进行推理、论证，从而得到与事实或条件不相符合的结 论，实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”，从而证明原命题的正确 性！

参考文献:

[1] 全日制普通高级中学教科书（试验修订本?必修）《数学》.

[2] 蔡上鹤：《高中数学新教材第一章教学问答（二）》，

《中学数学教学参考》

2000年第8期. ⑶ 严镇军 陈吉范：《从反面考虑问题》，中国科学技术大学出版社.

[4] 张炳轩：《离散数学》之第九章数理逻辑。

2013年10月28日星期一

两式相减得: sin ： — Sin 一二：—

【-1，1】的性质），

得 显然矛盾。