时域插值的几种图像放大方法

基于时域插值的几种图像放大方法

摘要：图像插值是图像比例缩放的常用方法。针对时域图像的放大问题，介绍了最邻近、双线性和双立方三种插值方法，并使用matlab 对其进行实现、分析。结果表明双立方插值得到的图像质量最高，最邻近和双线性速度较快。

1 引言

在数字图像处理中，图像的几何变换作为图像处理的基础操作之一，为图像分析提供了灵活多变的预处理模式，简化了后级处理过程，图像的几何变换还为生成特殊样式的图形提供了可能。在图像的几何变换中，图像的比例缩放是最常用的模式。图像的比例缩放是指对数字图像大小按某确定比例进行调整的过程。

对于数字图像

),(P y x f =

则其缩放21k k ?倍的图像

),(I 21y k x k f =

若21k k =，则I 为x 轴方向和y 轴方向等比例缩放的图像；否则，图像内的像素位置会发生相对变化，产生图像几何畸变。在本文中，讨论等比例放大图像时的情况，即

121≥=k k

由图像变换的思想，图像几何变换应当是源图像到目的图像矩阵的映射（前向映射）。前向映射时，由于系数k 为有理数，矩阵坐标为自然数的情况，此目的矩阵映射为空；同时目的矩阵存在无灰度值相对应的情况。

因此，可引入逆映射法，首先生成一个对应大小的空目的矩阵，分别计算目的矩阵每个像素点对应于原矩阵的位置，对于落在源图像两像素之间的点，可用插值法为其映射一个灰度值，这个过程称为重采样。

重采样得出的灰度值由周围像素点的灰度和其权值特性决定，在此讨论三种常见的插值算法：最邻近（Nearest Neighbor ）、双线性（Bilinear ）和双立方

（Bicubic ）。

2 最邻近插值

最邻近插值是最简单的插值方式，它是将目的矩阵映射到源矩阵上，将其距离最近的像素点的值作为插值的值。

将目的矩阵的点),(I y x f =映射到源矩阵上，

)/,/(21k y k x f

定义函数

??????????

?>-≤-=5

.05.0)(t t t t t t t h

图1

则目的矩阵的元素灰度值

))/(),/((21k y h k x h f P =

在程序设计只需将转换到源矩阵的坐标四舍五入至整数

))/(),/((21k y round k x round f P =

以4*4的像素矩阵RGB 色域为例

???

???????????(0,0,143) 5)(239,255,1 (0,79,255) (0,0,143)(0,79,255) (255,63,0) )(31,25,233 (127,0,0)

)(31,25,233 (0,0,143) (0,79,255) 5)(239,255,1)(31,25,233 (0,79,255) 5)(239,255,1 (255,63,0)

将其放大30倍，并与Matlab 库函数imresize()放大结果比较

??

t ??t t -(a) 源图像（示意）

最邻近插值方法简单，运算速度快，但其图像灰度变化处会出现明显的阶梯变化，出现“马赛克”的失真现象，整体还原情况不佳。

3 双线性插值

双线性插值算法中，新插入的像素值由其距离最近的2*2个像素及与它们的距离决定。距离和权值大小成线性关系，在x 轴和y 轴方向同时存在现象关系，

因此称为双线性插值。

定义函数

??

???∈+∈-==其他 0[-1,0] t if 1[0,1] t if 1)(*)(1

11112t t t h h t h

为线性插值的权值函数

图3

在此，为加快计算速度，采用x 和y 轴方向长度的乘积作为衡量两像素点之间距离的参数。因此，令d 为原像素点间距

2040

60（b ）放大50倍

（c ）放大50倍（imresize 函数） 图2

2040

60

))((1212y y x x d --=

则目的矩阵的灰度值为

d

y y x x f d y y x x f d y y x x f d y y x x f y x I )

)(())(())(())((),(22

4213122111

--+--+--+--= 同样以上述4*4颜色矩阵为例

图4

双线性插值本质上是对周围像素点求加权平均的过程，在频域上可看作低通滤波器，对图像有模糊的作用。在图像颜色梯度较大或图像边缘可观察到模糊的现象。

4 双立方插值法

双立方插值改进了双线性中图像模糊的问题，它参考了目的像素点映射到源图像矩阵周围4*4共16个像素的灰度值，运用的权值函数h(t)逼近来最佳插值函数t

t t Sa )sin()(=

。 定义函数

??

?

??

??<≤+-<+-=其他 02 1 if -5841 if 21)(32321

3t t t t t t t t h

20

4060

20

4060（a ）放大50倍

（b ）放大50倍(imresize 函数)

图5

对插值的对应源矩阵像素点p(x,y)，取其附近的4x4邻域点p(x i ,y j ), i,j = 1,2,3,4。按如下公式进行插值计算：

)()(),(),(4

14

1j i i i j i y y h x x h y x p y x i --=∑∑==

以上述4*4颜色矩阵为例

图6

双立方插值算法不仅考虑到插值临近像素的取值，还引入了周围的灰度值来锐化图像。得到的放大图像失真较小，而且还原了图像本身的细节。

5 实验结果

为了比较以上三种插值方法对于图像的处理性能，分别对同一灰度图放大相同的倍数（3倍）：

20

4060

204060（b ）放大50倍(imresize 函数) （a ）放大50倍

(a)原图(b)最邻近插值放大

(c)双线性插值放大(d)双立方插值放大

图7

直观比较得到，最近邻放大的图像（b）具有很明显的“马赛克”锯齿现象，图像细节几乎无法体现，物体边缘明显存在畸变和失真。图（c）由双线性插值放大而来，整体还原较好，但细节高频部分被滤波器衰减，出现了模糊的现象。双立方插值得到的图像失真少，局部有较好的体现，效果较好。

统计三者相同放大倍率时的处理时间

图8

最邻近和双线性插值具有较小的时间复杂度，从而运行时间较短，而双立方由于需要计算更多的像素点以及更多浮点运算，消耗最多的时间，但可以得到最好的图像质量。

6 结论

最邻近插值本质上只用了一个最接近像素点的灰度信息，运算方法简单，速度快，但其图像灰度变化处会出现明显的阶梯变化，出现“马赛克”的失真现象，整体还原情况不佳；双线性插值上是对周围4个像素点求加权平均，整体失真较小，在频域上可看作低通滤波器，在图像颜色梯度较大或图像边缘可观察到模糊的现象；双立方插值算法不仅考虑到插值临近像素的取值，还引入了周围的16个像素灰度值来锐化图像。得到的放大图像失真较小，而且还原了图像本身的细节，但其运算复杂，时间成本高。在实际应用中，应根据系统的资源、运行的环境和要求灵活运用，以达到最佳的尺度变换效果。

本文只讨论了三种在时域范围内变换的插值方法，其处理手段还有相当的局限性。若引入FFT（快速傅里叶变换），将图像变换为频域进行更灵活的处理，还可以进一步提高图像尺度变换的效率和质量，为后续图像处理提供更好的原始样本。

参考文献

[1] 何东健.数字图像处理(第二版).西安电子科技大学出版社.2008

[2] 王森,杨克俭.基于双线性插值的图像缩放算法的研究与实现.自动化技术与应用.2008

[3] 王林,杨克俭.基于双线性插值的图像缩放算法.电脑编程技巧与维护.2008

[4] 李秀英,袁红.几种图像缩放算法的研究.现代电子技术.2012

[5] 邓林华,柳光乾等.基于插值算法的图像缩放的应用研究.微计算机信息.2010

[6] Rafael C. Gonzalez,Richard E. Woods.Digital Image Processing.电子工业出版社. 2013

[7] 卢君,张起贵.插值算法在图像缩放中的评估研究.同煤科技.2013

[8] 李红梅.基于插值算法的图像缩放技术.新乡学院学报.2017

附录1

Matlab主要源程序

1 最邻近插值

function [i]=NN(p,k)

%p the origianl graph

%k the magnification

[row,col,rgb]=size(p);%get the size of graph

i=zeros(k*row,k*col,3);

for x=1:row*k

for y=1:col*k;

a=round(x/k);

b=round(y/k);%Nearst Neibor Interpolation %deal with if a,b==0

if a==0 a=1;end;

if b==0 b=1;end;

i(x,y,:)=p(a,b,:);

end

end

2 双线性插值

function [i]=bilinear(p,k)

%p the origianl graph

%k the magnification

[row,col,rgb]=size(p);%get the size of graph

nrow=row*k;

ncol=col*k;

i=zeros(nrow,ncol,3);

for z=1:3

for x=1:nrow

for y=1:ncol

a=floor(x/k);

b=a+1;

c=floor(y/k);

d=c+1;

%fix the edge

if a==0 a=1;end;

if c==0 c=1;end;

if b>row b=row;a=a-1;end;

if d>col d=col;c=c-1;end;

i(x,y,z)=(p(b,d,z)*(x/k-a)+p(a,d,z)*(b-x/k))*(y/k-c)+(p(b,c,z)*(x/k-a)+p(a,c,z)* (b-x/k))*(d-y/k);

end

end

end

3 双立方插值

function [i]=bicubic(p,k)

%p the origianl graph

%k the magnification

[row,col,rgb]=size(p);%get the size of graph

nrow=row*k;

ncol=col*k;

m=row;

n=col;

p1=zeros(m+4,n+4,3);

for z=1:3

%expand 2 head and 2 teil

a=p(1,:,z);%get row 1

c=p(m,:,z);%get row m

b=[a;a;p(:,:,z);c;c];

a=b(:,1);%col 1

c=b(:,n);%col n

d=[a,a,b(:,:),c,c];

p1(:,:,z)=double(d);

end

i=zeros(nrow,ncol,3);

for z=1:3

for x=1:nrow

u=rem(x,k)/k;

i1=floor(x/k)+2;

A=[h(1+u) h(u) h(1-u) h(2-u)];

for y=1:ncol

v=rem(y,k)/k;j1=floor(y/k)+2;

C=[h(1+v);h(v);h(1-v);h(2-v)];

B=[p1(i1-1,j1-1,z) p1(i1-1,j1,z) p1(i1-1,j1+1,z) p1(i1-1,j1+2,z);

p1(i1,j1-1,z) p1(i1,j1,z) p1(i1,j1+1,z) p1(i1,j1+2,z);

p1(i1+1,j1-1,z) p1(i1+1,j1,z) p1(i1+1,j1+1,z) p1(i1+1,j1+2,z);

p1(i1+2,j1-1,z) p1(i1+2,j1,z) p1(i1+2,j1+1,z) p1(i1+2,j1+2,z)];

i(x,y,z)=(A*B*C);

end

end

end

function A=h(t)

t=abs(t);

if t<1&&t>=0

A=1-2*t^2+t^3;

elseif t>=1&&t<2

A=4-8*t+5*t^2-t^3;

else

A=0;

end

附录2

Matlab运行三种算法时间原数据