材料科学基础(武汉理工大学,张联盟版)课后习题及答案 第七章
材料科学基础（武汉理工大学，张联盟版）课后习题及答案第七
章
第七章答案
7-1略
7-2浓度差会引起扩散，扩散是否总是从高浓度处向低浓度处进行?为什么?
解：扩散是由于梯度差所引起的，而浓度差只是梯度差的一种。当另外一种梯度差，
比如应力差的影响大于浓度差，扩散则会从低浓度向高浓度进行。
7-3欲使Ca在CaO中的扩散直至CaO的熔点（2600℃）时都是非本质扩散，要求三价离子有什么样的浓度？试对你在计算中所做的各种特性值的估计作充分说明。已知CaO肖
特基缺陷形成能为6eV。
解：掺杂M引起V’’Ca的缺陷反应如下：
当CaO在熔点时，肖特基缺陷的浓度为：
3+2＋
所以欲使Ca在CaO中的扩散直至CaO的熔点（2600℃）时都是非本质扩散，M的浓度为
，即
2＋
3+
7-4试根据图7-32查取：（1）CaO在1145℃和1650℃的扩散系数值；（2）Al2O3在1393℃
2＋3＋
和1716℃的扩散系数值；并计算CaO和Al2O3中Ca和Al的扩散活化能和D0值。解：由图可知CaO在1145℃和1650℃的扩散系数值分别为，Al2O3在1393℃和1716℃的扩散
系数值分别为
根据可得到CaO在1145℃和1650℃的扩散系数的比值为：
，将
值代入后可得
，Al2O3的计算类推。
7-5已知氢和镍在面心立方铁中的扩散数据为
2
cm/s和
2
cm/s，试计算1000℃的扩散系数，并对其差别进行解释。
解：将T=1000℃代入上述方程中可得
。
，同理可知
原因：与镍原子相比氢原子小得多，更容易在面心立方的铁中通过空隙扩散。
7-6在制造硅半导体器体中，常使硼扩散到硅单晶中，若在1600K温度下，保持硼在硅单晶
－3
表面的浓度恒定（恒定源半无限扩散），要求距表面10cm深度处硼的浓度是表面浓度的
一半，问需要多长时间（已知D1600℃＝8×10
－12
cm/s；当
2
时，）？
解：此模型可以看作是半无限棒的一维扩散问题，可用高斯误差函数求解。
其中
－12
2
=0，，所以有0.5=
s。
，即=0.5，把=10cm，D1600℃＝8×10
－3
cm/s代入得t=
2＋
7-7 Zn在ZnS中扩散时，563℃时的扩散系数为3×10cm/s；450℃时的扩散系数为
－42
1.0×10cm/s，求：（1）扩散活化能和D0；（2）750℃时的扩散系数；（3）根据你对结构的了解，请从运动的观点和缺陷的产生来推断活化能的含义；（4）根据ZnS和ZnO 相互类似，预测D随硫的分压而变化的关系。
－42
解：（1）参考7-4得=48856J/mol，D0=3×10
－15
cm/s；
2
（2）把T=1023K代入中可得=
－9
2
cm/s；
－9
2
7-8实验测得不同温度下碳在钛中的扩散系数分别为2×10cm/s（736℃）、
5×10cm/s（782℃）、1.3×10cm/s（838℃）。（1）请判断该实验结果是否符合（2）请计算扩散活化能，并求出在500℃时碳的扩散系数。
－8
2
；
解：（1）设=2×10cm/s，
－92
=5×10cm/s，
－92
=1.3×10cm/s，=1009K，=1055K，
－82
=1111K。将，和，，
代入和
，
得
并按照7-4所用方法得
=2342132J/mol。
，可以认为该
=2342787J/mol，同理代入实验符合
；（2）由上步可知=2342787J/mol；（3）将T=773K代入
得=cm/s。
－10
7-9在某种材料中，某种粒子的晶界扩散系数与体积扩散系数分别为Dgb＝
2.00×10exp（－
2－42
19100/RT）cm/s和Dv＝1.00×10exp（－38200/RT）cm/s，试求晶界扩散系数和体积扩散系数分别在什么温度范围内占优势？
解：当晶界扩散系数占优势时有Dgb>Dv，即>
，所以有T<1455.6K；当T>1455.6K时体积扩散系数占优势。
7-10假定碳在α-Fe（体心立方）和；γ-Fe（面心立方）中的扩散系数分别为：
Dα＝0.0079exp[－83600/RT]cm2/s；Dγ＝0.21exp[－141284/RT]cm2/s，计算800℃时各自的扩散系数，并解释其差别。
解：将T=1073K代入题中两式分别得Dα1073=cm/sDγ1073=
2
cm/s。
2
原因：扩散介质结构对扩散有很大影响。α-Fe为体心立方，而γ-Fe为面心立方，体心立方较面心立方疏松。结构疏松，扩散阻力小而扩散系数大。
7-11碳、氮、氢在体心立方铁中的扩散活化能分别为84kJ/mol、75kJ/mol和
13kJ/mol，试对此差异进行分析和解释。
解：碳、氮、氢的原子半径依次减小，原子半径越小就越更容易在体心立方的铁中通过空隙扩散，扩散活化能相应也就越低。
7-12MgO、CaO、FeO均具NaCl结构，在各晶体中它们的阳离子扩散活化能分别为：Na 在
2＋2＋3＋
NaCl中为41kcal/mol，Mg在MgO中为83kcal/mol，Ca在CaO中为77kcal/mol，Fe 在FeO中为23kcal/mol，试解释这种差异的原因。
＋
7-13试分析离子晶体中，阴离子扩散系数－般都小于阳离子扩散系数的原因。
解：离子晶体一般为阴离子作密堆积，阳离子填充在四面体或八面体空隙中。所以阳
离子较易扩散。如果阴离子进行扩散，则要改变晶体堆积方式，拆散离子晶体的结构骨架，阻力就会较大。故离子晶体中，阴离子扩散系数－般都小于阳离子扩散系数。 7-14试从
结构和能量的观点解释为什么D表面>D晶面>D晶内。
解：固体表面质点在表面力作用下，导致表面质点的极化、变形、重排并引起原来的
晶格畸变，表面结构不同于内部，并使表面处于较高的能量状态。晶体的内部质点排列有
周期性，每个质点力场是对称的，质点在表面迁移所需活化能较晶体内部小，则相应的扩
散系数大。同理，晶界上质点排列方式不同于内部，排列混乱，存在着空位、位错等缺陷，使之处于应力畸变状态，具有较高能量，质点在晶界迁移所需的活化能较晶内小，扩散系
数大。但晶界上质点与晶体内部相比，由于晶界上质点受两个晶粒作用达到平衡态，处于
某种过渡的排列方式，其能量较晶体表面质点低，质点迁移阻力较大因而D晶界7-15试
讨论从室温到熔融温度范围内，氯化锌添加剂对NaCl单晶中所有离子（Zn、Na、Cl）的
扩散能力的影响。 7-16试推测在贫铁的Fe3O4中氧分压和铁离子扩散的关系；试推测在
铁过剩的Fe3O4中氧分压和氧扩散的关系。
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材料科学基础(武汉理工大学,张联盟版)课后习题及答案 第十章
第十章答案 10-1名词解释：烧结烧结温度泰曼温度液相烧结固相烧结初次再结晶晶粒长大二次再结晶 （1）烧结：粉末或压坯在低于主要组分熔点的温度下的热处理，目的在于通过颗粒间的冶金结合以提高其强度。 （2）烧结温度：坯体在高温作用下，发生一系列物理化学反应，最后显气孔率接近于零，达到致密程度最大值时，工艺上称此种状态为"烧结"，达到烧结时相应的温度，称为"烧结温度"。 （3）泰曼温度：固体晶格开始明显流动的温度，一般在固体熔点（绝对温度）的2/3处的温度。在煅烧时，固体粒子在塔曼温度之前主要是离子或分子沿晶体表面迁移，在晶格内部空间扩散（容积扩散）和再结晶。而在塔曼温度以上，主要为烧结，结晶黏结长大。 （4）液相烧结：烧结温度高于被烧结体中熔点低的组分从而有液相出现的烧结。 （5）固相烧结：在固态状态下进行的烧结。 （6）初次再结晶：初次再结晶是在已发生塑性变形的基质中出现新生的无应变晶粒的成核和长大过程。 （7）晶粒长大：是指多晶体材料在高温保温过程中系统平均晶粒尺寸逐步上升的现象. （8）二次再结晶：再结晶结束后正常长大被抑制而发生的少数晶粒异常长大的现象。 10-2烧结推动力是什么？它可凭哪些方式推动物质的迁移，各适用于何种烧结机理? 解：推动力有：（1）粉状物料的表面能与多晶烧结体的晶界能的差值， 烧结推动力与相变和化学反应的能量相比很小，因而不能自发进行，必须加热!! （2）颗粒堆积后，有很多细小气孔弯曲表面由于表面张力而产生压力差， （3）表面能与颗粒之间形成的毛细管力。 传质方式：（1）扩散（表面扩散、界面扩散、体积扩散）；（2）蒸发与凝聚；（3）溶解与沉淀；（4）黏滞流动和塑性流动等，一般烧结过程中各不同阶段有不同的传质机理，即烧结过程中往往有几种传质机理在起作用。 10-3下列过程中，哪一个能使烧结体强度增大，而不产生坯体宏观上的收缩?试说明理由。（1）蒸发－冷凝；（2）体积扩散；（3）粘性流动；（4）晶界扩散；（5）表面扩散；（6）溶解－沉淀 解：蒸发－凝聚机理（凝聚速率＝颈部体积增加） 烧结时颈部扩大，气孔形状改变，但双球之间中心距不变，因此坯体不发生收缩，密度不变。10-4什么是烧结过程？烧结过程分为哪三个阶段？各有何特点？ 解：烧结过程：粉末或压坯在低于主要组分熔点的温度下的热处理，目的在于通过颗粒间的粘结结合以提高其强度。 烧结过程大致可以分为三个界线不十分明显的阶段。
《材料科学基础2》课程简介和教学大纲
《材料科学基础2》课程简介 课程编号：02024036 课程名称：材料科学基础2 ［5E］ /Fundamentals of MaterialsScience 2 学分：2. 5 学时：40 适用专业：无机非金属材料 建议修读学期：第5学期 先修课程：物理化学，材料科学基础1 ［无］ 考核方式与成绩评定标准：闭卷考试 教材与主要参考书目： Ll］无机材料学基础，张其土，华东理工大学出版社 ［2］无机材料科学基础，陆佩文，武汉理工大学出版社 ［3］材料科学基础，张联盟，武汉理工大学出版社 内容概述： 本课程是无机非金属材料工程专业本科生的重要专业基础课，是一门理论性很强、涉及面广的课程，是本专业的专业课开设前所必须学的课程。本课程是使学生掌握材料的组成、结构与性能之间的相互关系和变化规律，掌握材料的结构、物性和化学反应的规律及其相互的联系，为今后从事夏杂的技术工作和开发新型材料打下良好的基础。 The course of fUndamentals of materials science, which is highly theoretical, and almost involves all the sides of materials science, is an important fundamental one for the students majoring in inorganic materials science and engineering. Thus it is set to be taught before other specialized courses. It aims at allowing the students to master the relations between materials compositions, structures and properties, and to establish a good theoretical base for the research and development of new materials in the future. 《材料科学基础2》［无］教学大纲 课程编号：02024036 课程名称：材料科学基础2 /Fundamentals of Materials Science 2 学分：2. 5 学时：40 适用专业：无机非金属材料
张联盟材料科学基础(第2版)知识点总结笔记课后答案
第1章材料引言 1.1复习笔记 一、材料类型 材料按其化学作用（或基本组成）分为金属材料、无机非金属材料、高分子材料（聚合物）和复合材料四大类。 1.金属材料 （1）金属材料的定义 金属材料是指由元素周期表中的金属元素组成的材料。 （2）金属材料的分类 ① 单质 单质是指由一种金属元素构成的纯金属。 ② 合金 合金是指由两种或两种以上的金属元素，或金属元素与非金属元素形成的具有金属特性的新物质。 a.一次固溶体 一次固溶体，又称端际固溶体，是指当合金的晶体结构保持溶剂组元，同时将外来组元引入晶体结构，占据主晶相质点位置一部分或间隙位置一部分后仍保持一个晶相的合金。 b.金属间化合物 金属间化合物是指金属元素与其他金属元素或非金属元素之间形成的合金。 2.无机非金属材料 （1）无机非金属材料的定义 无机非金属材料是指由硅酸盐、铝酸盐、硼酸盐、磷酸盐、锗酸盐等原料和（或）氧化物、氮化物、碳化物、硼化物、硫化物、硅化物、卤化物等原料经一定的工艺制备而成的材料，是除金属材料、高分子材料以外所有材料的总称。 （2）无机非金属材料的分类 ① 传统无机非金属材料 传统无机非金属材料是指由SiO2及硅酸盐化合物为主要成分制成的材料，包括陶瓷、玻璃、水泥和耐火材料等。 ② 新型无机非金属材料 新型无机非金属材料是指用氧化物、氮化物、碳化物、硼化物、硫化物、硅化物以及各种无机非金属化合物经特殊的先进工艺制成的材料，主要包括先进陶瓷、非晶态材料、人工晶体、无机涂层、无机纤维等。 3.有机高分子材料（聚合物） （1）高聚物的定义
高聚物是指由一种或几种简单低分子化合物经聚合而组成的分子量很大的化合物。 （2）高聚物的分类 ① 按材料的来源分为天然高分子材料和合成高分子材料。 ② 按性能和用途分为橡胶、纤维、塑料和胶粘剂等。 4.复合材料 复合材料的分类 （1）按基体材料分为金属基复合材料、陶瓷基复合材料、水泥、混凝土基复合材料、塑料基复合材料、橡胶基复合材料等。 （2）按增强剂形状分为粒子、纤维及层状复合材料。 二、材料组成、结构、性质、工艺及其与环境的关系 1．材料的结构层次 （1）原子及电子结构； （2）原子的空间排列； （3）组织结构或相结构。 2.工程材料常见性质与性能 材料性质（性能）包括热学、力学、光学、电学、磁学性质（性能）以及化学性质（性能）。 3.材料的加工工艺 为了满足使用要求，材料必须进行适当的加工。加工制备过程对性能的影响，是通过对结构的改变实现的，典型的工程材料加工工艺如表1-1-1所示。 表1-1-1 常见的材料加工工艺 加工方式加工工艺 铸造：砂型、压铸、永久铸型、熔模 铸造、连续铸造 将液态金属浇入或注入固体模具中得到所要求的形状成型：锻造、拉丝、深冲、弯曲一般在热状态下用高压力将尉体金属变形成为所需的形状 金属材 料连接：气焊、接触焊、钎焊、氩弧 焊、锡焊、扩散焊 采用液态金属、变形或高压、高温将几块金属连接在一起机械加工：车、钻、磨、切割用切削加工去掉多余金属，获得成品件粉末冶金 先施加压力将金属粉末压制成需要的形状，然后进行高温 加热，使微粒连接成整体 陶瓷材料 浇注：包括上釉将液体+固体的陶瓷泥浆浇注成所需的形状 将固体陶瓷粉料或液体+固体牯性陶瓷泥料压制成有用的压制：挤压、压制、等静压成形 形状 烧结将压制可成的固体进行高温加热，使之粘连成块模制：注模法，转移模塑法将热的甚至液态的聚合物压入模具中，使其具有所需形状
材料科学基础(武汉理工大学,张联盟版)课后习题及答案 第七章
材料科学基础（武汉理工大学，张联盟版）课后习题及答案第七 章 第七章答案 7-1略 7-2浓度差会引起扩散，扩散是否总是从高浓度处向低浓度处进行?为什么? 解：扩散是由于梯度差所引起的，而浓度差只是梯度差的一种。当另外一种梯度差， 比如应力差的影响大于浓度差，扩散则会从低浓度向高浓度进行。 7-3欲使Ca在CaO中的扩散直至CaO的熔点（2600℃）时都是非本质扩散，要求三价离子有什么样的浓度？试对你在计算中所做的各种特性值的估计作充分说明。已知CaO肖 特基缺陷形成能为6eV。 解：掺杂M引起V’’Ca的缺陷反应如下： 当CaO在熔点时，肖特基缺陷的浓度为： 3+2＋ 所以欲使Ca在CaO中的扩散直至CaO的熔点（2600℃）时都是非本质扩散，M的浓度为 ，即 2＋ 3+ 7-4试根据图7-32查取：（1）CaO在1145℃和1650℃的扩散系数值；（2）Al2O3在1393℃ 2＋3＋ 和1716℃的扩散系数值；并计算CaO和Al2O3中Ca和Al的扩散活化能和D0值。解：由图可知CaO在1145℃和1650℃的扩散系数值分别为，Al2O3在1393℃和1716℃的扩散 系数值分别为
根据可得到CaO在1145℃和1650℃的扩散系数的比值为： ，将 值代入后可得 ，Al2O3的计算类推。 7-5已知氢和镍在面心立方铁中的扩散数据为 2 cm/s和 2 cm/s，试计算1000℃的扩散系数，并对其差别进行解释。 解：将T=1000℃代入上述方程中可得 。 ，同理可知 原因：与镍原子相比氢原子小得多，更容易在面心立方的铁中通过空隙扩散。 7-6在制造硅半导体器体中，常使硼扩散到硅单晶中，若在1600K温度下，保持硼在硅单晶 －3 表面的浓度恒定（恒定源半无限扩散），要求距表面10cm深度处硼的浓度是表面浓度的 一半，问需要多长时间（已知D1600℃＝8×10 －12 cm/s；当 2 时，）？ 解：此模型可以看作是半无限棒的一维扩散问题，可用高斯误差函数求解。
武汉理工大学 材料科学基础考研五套题
试题一 一. 图1是Na 2 O的理想晶胞结构示意图，试回答： 1．晶胞分子数是多少； 2．结构中何种离子做何种密堆积；何种离子填充何种空隙，所占比例是多少； 3．结构中各离子的配位数为多少，写出其配位多面体； 4．计算说明O2-的电价是否饱和； 5．画出Na 2 O结构在（001）面上的投影图。 二. 图2是高岭石(Al 2O 3 ·2SiO 2 ·2H 2 O)结构示意图，试回答： 1．请以结构式写法写出高岭石的化学式； 2．高岭石属于哪种硅酸盐结构类型； 3．分析层的构成和层的堆积方向； 4．分析结构中的作用力； 5．根据其结构特点推测高岭石具有什么性质。
三. 简答题： 1.晶体中的结构缺陷按几何尺寸可分为哪几类？ 2.什么是负扩散？ 3．烧结初期的特征是什么？ 4.硅酸盐晶体的分类原则是什么？ 5.烧结推动力是什么？它可凭哪些方式推动物质的迁移？ 6.相变的含义是什么？从热力学角度来划分，相变可以分为哪几类？ 四. 出下列缺陷反应式： 1.NaCl形成肖特基缺陷； 2.AgI形成弗仑克尔缺陷（Ag+进入间隙）； 3.TiO 2掺入到Nb 2 O 3 中，请写出二个合理的方程，并判断可能成立的方程是 哪一种？再写出每个方程的固溶体的化学式。 4.NaCl溶入CaCl 2 中形成空位型固溶体 五. 表面力的存在使固体表面处于高能量状态，然而，能量愈高系统愈不稳定，那么固体是通过何种方式降低其过剩的表面能以达到热力学稳定状态的。 六.粒径为1μ的球状Al 2O 3 由过量的MgO微粒包围，观察尖晶石的形成， 在恒定温度下，第一个小时有20%的Al 2O 3 起了反应，计算完全反应的时间：⑴ 用杨德方程计算；⑵用金斯特林格方程计算。 七.请分析熔体结构中负离子团的堆积方式、聚合度及对称性等与玻璃形成之关系。 八.试从结构和能量的观点解释为什么D晶界>D晶内？ 九.试分析二次再结晶过程对材料性能有何影响？工艺上如何防止或延缓二次再结晶的发生？ 十.图3是A-B-C三元系统相图，根据相图回答下列问题： 1．写出点P，R，S的成分； 2．设有2kgP，问需要多少何种成分的合金Z才可混熔成6kg成分为R的合金。
武汉理工大学材料科学基础课后习题和答案
第一章绪论 1、仔细观察一下白炽灯泡，会发现有多少种不同的材料每种材料需要何种热学、电学性质 2、为什么金属具有良好的导电性和导热性 3、为什么陶瓷、聚合物通常是绝缘体 4、铝原子的质量是多少若铝的密度为2.7g/cm3，计算1mm3中有多少原子 5、为了防止碰撞造成纽折，汽车的挡板可有装甲制造，但实际应用中为何不如此设计说出至少三种理由。 6、描述不同材料常用的加工方法。 7、叙述金属材料的类型及其分类依据。 8、试将下列材料按金属、陶瓷、聚合物或复合材料进行分类： 黄铜钢筋混凝土橡胶氯化钠铅-锡焊料沥青环氧树脂镁合金碳化硅混凝土石墨玻璃钢 9、 Al2O3陶瓷既牢固又坚硬且耐磨，为什么不用Al2O3制造铁锤 第二章晶体结构 1、解释下列概念 晶系、晶胞、晶胞参数、空间点阵、米勒指数（晶面指数）、离子晶体的晶格能、原子半径与离子半径、配位数、离子极化、同质多晶与类质同晶、正尖晶石与反正尖晶石、反萤石结构、铁电效应、压电效应. 2、（1）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为2a、3b、6c，求出该晶面的米勒指数；（2）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为a/ 3、b/2、c，求出该晶面的米勒指数。 3、在立方晶系的晶胞中画出下列米勒指数的晶面和晶向：（001）与[210]，（111）与[112]，（110）与[111]，（322）与[236]，（257）与[111]，（123）与[121]，（102），（112），（213）， [110]，[111]，[120]，[321] 4、写出面心立方格子的单位平行六面体上所有结点的坐标。 5、已知Mg2+半径为，O2-半径为，计算MgO晶体结构的堆积系数与密度。 6、计算体心立方、面心立方、密排六方晶胞中的原子数、配位数、堆积系数。 7、从理论计算公式计算NaC1与MgO的晶格能。MgO的熔点为2800℃，NaC1为80l℃, 请说明这种差别的原因。 8、根据最密堆积原理，空间利用率越高，结构越稳定，金钢石结构的空间利用率很低(只有％)，为
材料科学基础 第二版
材料科学基础第二版(张联盟) 武汉理工大学出版社 内容简介 “材料科学基础”是高等学校材料科学与工程一级学科专业课程体系中一门重要的学科基础课程。《材料科学基础》是教育都高等教育百门精品课程教材建设计划立项研究项目教材，是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，是“材料科学基础”国家级精品课程教材。 本书主要从一级学科层次上阐述材料的组成与结构、制备与加工、性质、使用性能等材料科学与工程主要要素之间的相互关系及其制约规律。全书主要包括12章内容：材料引言、晶体结构、晶体结构缺陷、非晶态结构与性质、表面结构与性质、相平衡与相图、基本动力学过程——扩散、材料中的相变、材料制备中的固态反应、烧结、腐蚀与氧化、疲劳与断裂等。 本书可供高等学校材料科学与工程一级学科（本科）专业的学科基础课程教学使用，也可作为二级学科专业的学科基础课程教材使用，同时还可作为材料类相关专业工程技术人员的阅读参考书。 1 材料引言 本章提要 1.1 材料类型 1.1.1 金属材料 1.1.2 无机非金属材料 1.1.3 有机高分子材料（聚合物） 1.1.4 复合材料 1.2 材料组成、结构、性质、工艺及其与环境的关系 1.2.1 材料结构层次 1.2.2 工程材料常见性质与性能 1.2.3 材料的加工工艺 1.2.4 材料性能的环境效应 1.3 材料的选择 本章小结 思考题与习题 2 晶体结构 本章提要 2.1 结晶学基础 2.1.1 空间点阵 2.1.2 结晶学指数 2.1.3 晶向与晶面的关系、晶带轴定理 2.2 晶体中质点的结合力与结合能 2.2.1 晶体中质点间的结合力 2.2.2 晶体的结合力与结合能 2.3 晶体中质点的堆积 2.3.1 最紧密堆积原理与最紧密堆积方式 2.3.2 內在因素对晶体结构的影响——化学组成与晶体结构的关系 2.3.3 外在因素对晶体结构的影响——同质多晶与类质同晶及晶型转变 2.4 单质晶体结构 2.4.1 金属晶体的结构 2.4.2 非金属元素单质的晶体结构 2.5 无机化合物结构 2.5.1 AX型结构
武汉理工大学材料科学基础各章节例题及答案
第二章晶体结构 【例2-1】计算MgO和GaAs晶体中离子键成分的多少。 【解】查元素电负性数据得，则 ，，， MgO离子键％＝ GaAs离子键％＝ 由此可见，MgO晶体的化学键以离子键为主，而GaAs则是典型的共价键晶体。 【提示】除了以离子键、共价键结合为主的混合键晶体外，还有以共价键、分子间键结合为主的混合键晶体。且两种类型的键独立地存在。如，大多数气体分子以共价键结合，在低温下形成的晶体则依靠分子间键结合在一起。石墨的层状单元内共价结合，层间则类似于分子间键。正是由于结合键的性质不同，才形成了材料结构和性质等方面的差异。从而也满足了工程方面的不同需要。 【例2-2】 NaCl和MgO晶体同属于NaCl型结构，但MgO的熔点为2800℃, NaC1仅为80l℃， 请通过晶格能计算说明这种差别的原因。 【解】根据：晶格能 （1）NaCl晶体：N0＝6.023×1023 个/mol，A＝1.7476，z1＝z2＝1，e＝1.6×10 －19 库仑， ，r0＝＝＝0.110＋0.172＝0.282nm＝2.82×10－ 10 m，
m/F，计算，得：EL＝752.48 kJ/mol （2）MgO晶体：N0＝ 6.023×1023 个/mol，A＝1.7476，z1＝z2＝2，e＝1.6×10 －19库仑 ，r0＝＝0.080＋0.132＝0.212 nm＝2.12×10 －10 m， m/F，计算，得：EL＝3922.06 kJ/mol 则：MgO晶体的晶格能远大于NaC1晶体的晶格能，即相应MgO的熔点也远高于NaC1 的熔点。 【例2-3】根据最紧密堆积原理，空间利用率越高，结构越稳定，但是金刚石的空间利用率 很低，只有34.01%，为什么它也很稳定？ 【解】最紧密堆积的原理只适用于离子晶体，而金刚石为原子晶体，由于C-C共价键很强， 且晶体是在高温和极大的静压力下结晶形成，因而熔点高，硬度达，很稳定。（金刚石结构 属于立方晶系，碳原子的配位数为4，在三维空间形成架状结构，刚性非常大） 【例2-4】证明：对于一个密排面中的每个原子，在两个密排面之间有两个四面体空隙和一 个八面体空隙。 【解】根据密堆积中四面体和八面体空隙出现的规律，在两层密排面之间，每个原子周围有四个四面体空隙和三个八面体空隙。同时，该原子也与上层原子形成密排堆积。故每个原子周围相邻的四面体空隙数为＝2×4＝8；八面体空隙数＝2×3＝6个。 因四面体空隙由4个原子（或球）构成，八面体空隙由六个原子构成，故平均属每一个原子
材料科学基础试题(张联盟版)
材科基试题 试题一 一. 图1是Na2O的理想晶胞结构示意图，试回答： 1．晶胞分子数是多少； 2．结构中何种离子做何种密堆积；何种离子填充何种空隙，所占比例是多少； 3．结构中各离子的配位数为多少，写出其配位多面体； 4．计算说明O2-的电价是否饱和； 5．画出Na2O结构在（001）面上的投影图。 二. 图2是高岭石(Al2O3·2SiO2·2H2O)结构示意图，试回答： 1．请以结构式写法写出高岭石的化学式； 2．高岭石属于哪种硅酸盐结构类型； 3．分析层的构成和层的堆积方向； 4．分析结构中的作用力； 5．根据其结构特点推测高岭石具有什么性质。
三. 简答题： 1.晶体中的结构缺陷按几何尺寸可分为哪几类？ 2.什么是负扩散？ 3．烧结初期的特征是什么？ 4.硅酸盐晶体的分类原则是什么？ 5.烧结推动力是什么？它可凭哪些方式推动物质的迁移？ 6.相变的含义是什么？从热力学角度来划分，相变可以分为哪几类？ 四. 出下列缺陷反应式： 1.NaCl形成肖特基缺陷； 2.AgI形成弗仑克尔缺陷（Ag+进入间隙）； 3.TiO2掺入到Nb2O3中，请写出二个合理的方程，并判断可能成立的方程是哪一种？再写出每个方程的固溶体的化学式。 4.NaCl溶入CaCl2中形成空位型固溶体 五. 表面力的存在使固体表面处于高能量状态，然而，能量愈高系统愈不稳定，那么固体是通过何种方式降低其过剩的表面能以达到热力学稳定状态的。
六.粒径为1μ的球状Al2O3由过量的MgO微粒包围，观察尖晶石的形成，在恒定温度下，第一个小时有20%的Al2O3起了反应，计算完全反应的时间：⑴用杨德方程计算；⑵用金斯特林格方程计算。 七.请分析熔体结构中负离子团的堆积方式、聚合度及对称性等与玻璃形成之关系。 八.试从结构和能量的观点解释为什么D晶界>D晶内？ 九.试分析二次再结晶过程对材料性能有何影响？工艺上如何防止或延缓二次再结晶的发生？ 十.图3是A-B-C三元系统相图，根据相图回答下列问题： 1．写出点P，R，S的成分； 2．设有2kgP，问需要多少何种成分的合金Z才可混熔成6kg成分为R的合金。 十一.图4是A-B-C三元系统相图，根据相图回答下列问题： 1．在图上划分副三角形、用箭头表示各条线上温度下降方向及界线的性质； 2．判断化合物D、F的性质； 3．写出各三元无变量点的性质及其对应的平衡关系式； 4．写出组成点G在完全平衡条件下的冷却结晶过程； 5．写出组成点H在完全平衡条件下的冷却结晶过程，写出当液相组成点刚刚到达
2019华南理工大学材料工程硕士考研827材料科学基础、845材料物理化学与860普通物理考试真题试卷
2019华南理工大学材料工程硕士考研827材料科学基础、845材料物理化学与860普通物理考试真题试卷 《2019华南理工大学考研827材料科学基础复习全析（含真题）》由致远华工考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，组织官方教学研发团队与华南理工大学材料学院的优秀研究生共同合作编写而成。全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加2019华南理工大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。 《2019华南理工大学考研827材料科学基础复习全析（含真题）》全书编排根据华工827材料科学基础考研参考书目： 胡赓祥《材料科学基础》上海交通大学出版社 结合提供的往年华工考研真题内容，帮助报考华南理工大学考研的同学通过华工教材章节框架分解、配套的课后习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。 通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。 适用院系： 材料科学与工程学院：材料科学与工程、材料工程（专业学位）
适用科目： 827材料科学基础 内容详情 本书包括以下几个部分内容： Part 1 - 考试重难点： 通过总结和梳理胡赓祥《材料科学基础》各章节复习和考试的重难点，建构教材宏观思维及核心知识框架，浓缩精华内容，令考生对各章节内容考察情况一目了然，从而明确复习方向，提高复习效率。 Part 2 - 名校考研真题详解汇编： 根据教材内容和考试重难点，精选本专业课考试科目相关的名校考研真题，通过研读参考配套详细答案检测自身水平，加深知识点的理解深度，并更好地掌握考试基本规律，全面了解考试题型及难度。 Part 3 - 华南理工历年考研真题： 汇编华工考研专业课考试科目的2013-2017年考研真题试卷，方便考生检查自身的掌握情况及不足之处，并借此巩固记忆加深理解，培养应试技巧与解题能力。 2013年华南理工大学827材料科学基础考研真题试卷 2014年华南理工大学827材料科学基础考研真题试卷
武汉工程大学2023年硕士研究生招生考试自命题科目考试大纲 804《材料科学基础》 -
武汉工程大学2023年硕士研究生招生考试 《材料科学基础》考试大纲 参考教材：《材料科学基础》张联盟主编.武汉理工大学出版社 《材料科学基础》石德柯主编.机械工业出版社 参考书：《材料科学基础》余永宁编.高等教育出版社 《材料科学基础》张代东主编.北京大学出版社 《材料科学基础》潘金生主编.清华大学出版社 一考试要求 1、概述（定义、分类、发展方向） ✧掌握材料科学的定义与分类； ✧了解材料科学的发展现状与趋势； 2、晶体学基础（结合键、空间点阵、晶体学） ✧了解原子结构和原子结合键； ✧掌握晶体材料的组织； ✧了解材料的稳定结构和亚稳结构； ✧掌握空间点阵的相关知识； ✧掌握晶向指数、晶面指数及晶带轴定律； ✧掌握金属晶体、离子晶体和共价晶体的结构； 3、晶体缺陷（晶体缺陷、界面） ✧掌握点缺陷的种类及形成机理； ✧了解位错的种类、位错能量及交互作用； ✧掌握晶体的界面特性； 4、材料的相结构及相图（相结构、相图分析） ✧了解材料的相结构；
✧掌握相图类型及其分析方法； ✧了解相图的热力学基础知识； 5、材料的凝固（液/固相变） ✧掌握材料凝固时晶核的形成过程； ✧掌握材料凝固时晶体的生长过程； ✧了解固溶体合金的凝固过程； 6、扩散 ✧掌握扩散定律及其应用 ✧掌握扩散机制及其影响因素和驱动力 二、《材料科学基础》考试大纲说明 1．基本要求 （1）掌握多相反应平衡常数、等温方程式计算及其在材料科学中的应用计算。（2）了解单质晶体、离子晶体、二元化合物、三元化合物的晶体化学、结构与性能的关系。 （3）掌握各种晶体结构及其性质。 （4）掌握点、线、面缺陷等特征。 （5）掌握应用所学理论解释材料的凝固过程。 （6）掌握扩散定律、扩散机制及其影响因素和驱动力。 2．相关知识的要求 （1）基础化学 （2）大学物理
武汉理工大学考研习题及答案 材料科学基础科目
武汉理工大学考研习题及答案材料科学基础科目武汉理工大学考研习题及答案--材料科学基础科目 第1页共27页第1页共27页 材料科学基础习题 1．固体硫有两种晶型(单斜硫、斜方硫)，因此硫系统可能有四个相，如果某人实验得到这四个相平衡共存，试判断这个实验有无问题。 2．图（1）就是具备多晶转型的某物质的波谱，其中def线就是熔体的冷却曲线。ke 就是晶型i的升华曲线；gf就是晶型ii的升华曲线；jg就是晶型ⅲ的升华曲线，提问以下问题： (1)在图中标明各相的相区，并把图中各无变点的平衡特征用式子表示出来。(2)系统中哪种晶型为稳定相?那种晶型为介稳相?(3)各晶型之间的转变是单向转变还是双向转变? 3．在sio2系统波谱中，找到两个对称多晶转型和两个不可逆多晶转型的例子。4．根据al2o3―sio2系统波谱表明： (1)铝硅质耐火材料，硅砖(含sio2>98％)、粘土砖(含al2o335～50％)、高铝砖(含al2o360～90％)、刚玉砖(含al2o3>90％)内，各有哪些主要的晶相。(2)为了保持较高的耐火度，在生产硅砖时应注意什么?(3)若耐火材料出现40％液相便软化不能使用，试计算含40(mol)al2o3的粘土砖的最高使用温度。 5．在cao-sio2系统与al2o3-sio2系统中sio2的液相线都很陡峭，为什么在硅砖中可以拌人约2％的cao作矿化剂而不能减少硅砖的耐火度，但在硅砖中却必须严苛避免原料中混进al2o3否则可以并使硅砖耐火度大大上升。6．冷却粘土矿物高岭石 (al2o32sio22h2o)至600℃时，高岭石水解为水蒸气和al2o32sio2，稳步冷却至1595℃时会出现什么变化？在这温度下长时间保温达至均衡，系统的二者共同组成如何？当系统生成40％液相时，应当达至什么温度？在什么温度下用粘土全然熔融?7．图（２）就是最简单的三元系统投影图，图中等温线从高温至低温的次序就是t6>t5>t4>t3>t2>t1根据此投影图提问： (1)三个组分a、b、c熔点的高低次序是怎样排列的。(2)各液相面下降的陡势如何?那一个最陡?那一个最平坦? (3)表示共同组成为65％a，15％b，20％c的系统的二者共同组成点，此系统在什么温度下已经开始结晶?结晶过程怎样?（说明液、固相共同组成点的变化及结晶过程各阶段中出现的变化过程）。
803《材料科学基础》
课程名称材料科学基础 科目代码： 适用专业：材料科学与工程 参考书目：.材料成型与控制工程专业：材料科学基础教程赵品哈尔滨工业大学.金属材料工程专业：材料科学基础（第版）石德珂机械工业出 版社 .无机非金属材料工程专业：材料科学基础张联盟等武汉理工大学出版社考试时间：小时 考试方式：笔试 总分：分 考试对象：硕士研究生入学考试 题目类型及所占比例：名词解释，填空题，分析题； 公共部分占；专业部分占 考试范围： 一、公共部分（材料成型、金属材料、无机非金属） .材料的结构：材料的结合方式，晶体结构的基本概念，金属晶体结构及其特点。 .纯金属的结晶：结晶现象，晶核的形成，晶核的长大，金属铸锭的组织及缺陷。 .二元合金的相结构与结晶：合金中的相，合金的相结构，二元合金相图的建立，二元合金相图。 .铁碳合金：铁碳合金的组元及基本相，3C相图分析，铁碳合金的平衡结晶过程及组织，含碳量对组织性能的影响，钢中杂质元素及钢锭组织。 .三元合金相图：三元相图表示方法，定量法则，三元匀晶相图，三元共晶相图。 .扩散：扩散的本质及机理，菲克定律，影响扩散的因素。 二、专业部分 材料成型与控制工程专业： .钢的热处理原理：热处理基本概念，钢在加热时的转变，钢在冷却时的转变，钢在回火时的转变。 .钢的热处理工艺：钢的退火与正火，钢的淬火与回火，其它类型热处理。 .工业用钢：钢的分类及编号，合金元素的作用，构件用钢，机器零件用钢，工具钢，特殊性能钢。 .铸铁：铸铁的概述，常用普通铸铁，特殊性能铸铁。 .有色金属及合金：铝及铝合金，钛及钛合金，铜及铜合金，轴承合金。 金属材料工程专业： .合金相的晶体结构：固溶体，中间相。
无机材料科学基础课程教学大纲
《无机材料科学基础》课程教学大纲 课程英文名称：Fun dame ntals of Inorganic Materials Science 课程编号：1313014002 课程计划学时：72 学分：4.5 课程简介： 《无机材料科学基础》课程是一门专业基础理论课程，适用于硅酸盐工程与无机材料科学与工程专 业。主要讲授本专业范围内各种物理化学过程的变化和共性规律，为学生学习专业课打下理论基础，是一门必修的重点课程。本课程是在修完无机化学、物理学、物理化学、结晶矿物岩石学等课程之后，方能开设的课程。通过本课程的学习，可以使学生了解无机材料的组成-结构-性能之间的相互关系和变化 规律，为学生学习专业课程和将来从事无机材料的研究与开发奠定理论基础。 一、课程教学内容及教学基本要求 绪论（1学时） 要求了解无机材料的分类，特点，组成、结构、性能、工艺以及其与环境的关系。 第一章晶体结构（12学时） 本章重点为晶体化学基本原理、典型晶体结构和硅酸盐晶体结构，难点为硅酸盐晶体结构。 第一节结晶学基础 本节要求了解各晶系晶体定向法则与结晶符号的表示方法（考核概率0%），理解晶体的基本性质、 晶胞与空间点阵的概念与区别（考核概率50%），掌握七大晶系与十四种布拉维格子的划分与特征（考核概率40%）。 1晶体的基本概念与性质； 2晶胞与空间点阵； 3晶体的对称分类——7个晶系和14种布拉维格子； 4晶体定向与结晶学指数晶面指数与晶向指数。 第二节晶体化学基本原理 本节要求了解晶体中质点间的结合力与结合能（考核概率0%），理解球体最紧密堆积原理和影响离 子晶体结构的因素（考核概率40%），掌握同质多晶和类质同晶的概念以及鲍林规则的应用（考核概率100%） 1晶体中质点间的结合力与结合能； 2晶体中质点的堆积——球体最紧密堆积原理； 3影响离子晶体结构的因素——原子半径和离子半径，配位数与配位多面体，离子极化，电负性，结晶化学定律； 4同质多晶与类质同晶； 5鲍林规则。
材料科学基础(武汉理工大学,张联盟版)课后习题及答案
第二章答案 令狐采学 2-1略。 2-2（1）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为2a、3b、6c，求该晶面的晶面指数；（2）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为a/3、b/2、c，求出该晶面的晶面指数。 答：（1）h:k:l==3:2:1,∴该晶面的晶面指数为（321）；（2）h:k:l=3:2:1，∴该晶面的晶面指数为（321）。 2-3在立方晶系晶胞中画出下列晶面指数和晶向指数：（001）与[]，（111）与[]，（）与[111]，（）与[236]，（257）与[]，（123）与[]，（102），（），（），[110]，[]，[] 答： 2-4定性描述晶体结构的参量有哪些？定量描述晶体结构的参量又有哪些？ 答：定性：对称轴、对称中心、晶系、点阵。定量：晶胞参数。
2-5依据结合力的本质不同，晶体中的键合作用分为哪几类？其特点是什么？ 答：晶体中的键合作用可分为离子键、共价键、金属键、范德华键和氢键。离子键的特点是没有方向性和饱和性，结合力很大。共价键的特点是具有方向性和饱和性，结合力也很大。金属键是没有方向性和饱和性的的共价键，结合力是离子间的静电库仑力。范德华键是通过分子力而产生的键合，分子力很弱。氢键是两个电负性较大的原子相结合形成的键，具有饱和性。 2-6等径球最紧密堆积的空隙有哪两种？一个球的周围有多少个四面体空隙、多少个八面体空隙？ 答：等径球最紧密堆积有六方和面心立方紧密堆积两种，一个球的周围有8个四面体空隙、6个八面体空隙。 2-7n个等径球作最紧密堆积时可形成多少个四面体空隙、多少个八面体空隙？不等径球是如何进行堆积的？ 答：n个等径球作最紧密堆积时可形成n个八面体空隙、2n个四面体空隙。不等径球体进行紧密堆积时，可以看成由大球按等径球体紧密堆积后，小球按其大小分别填充到其空隙中，稍大的小球填充八面体空隙，稍小的小球填充四面体空隙，形成不等径球体紧密堆积。
武汉理工大学材料科学基础考研五套题
试题一 一. 图1是Na2O的理想晶胞构造示意图，试答复： 1．晶胞分子数是多少； 2．构造中何种离子做何种密堆积；何种离子填充何种空隙，所占比例是多少； 3．构造中各离子的配位数为多少，写出其配位多面体； 4．计算说明O2-的电价是否饱和； 5．画出Na2O构造在〔001〕面上的投影图。 二. 图2是高岭石(Al2O3·2SiO2·2H2O)构造示意图，试答复： 1．请以构造式写法写出高岭石的化学式； 2．高岭石属于哪种硅酸盐构造类型； 3．分析层的构成和层的堆积方向； 4．分析构造中的作用力； 5．根据其构造特点推测高岭石具有什么性质。
三. 简答题： 1.晶体中的构造缺陷按几何尺寸可分为哪几类？ 2.什么是负扩散？ 3．烧结初期的特征是什么？ 4.硅酸盐晶体的分类原那么是什么？ 5.烧结推动力是什么？它可凭哪些方式推动物质的迁移？ 6.相变的含义是什么？从热力学角度来划分，相变可以分为哪几类？ 四. 出以下缺陷反响式： 1.NaCl形成肖特基缺陷； 2.AgI形成弗仑克尔缺陷〔Ag+进入间隙〕； 3.TiO2掺入到Nb2O3中，请写出二个合理的方程，并判断可能成立的方程是哪一种？再写出每个方程的固溶体的化学式。 4.NaCl溶入CaCl2中形成空位型固溶体 五. 外表力的存在使固体外表处于高能量状态，然而，能量愈高系统愈不
稳定，那么固体是通过何种方式降低其过剩的外表能以到达热力学稳定状态的。 六.粒径为1μ的球状Al2O3由过量的MgO微粒包围，观察尖晶石的形成，在恒定温度下，第一个小时有20%的Al2O3起了反响，计算完全反响的时间：⑴用杨德方程计算；⑵用金斯特林格方程计算。 七.请分析熔体构造中负离子团的堆积方式、聚合度及对称性等与玻璃形成之关系。 八.试从构造和能量的观点解释为什么D晶界>D晶内？ 九.试分析二次再结晶过程对材料性能有何影响？工艺上如何防止或延缓二次再结晶的发生？ 十.图3是A-B-C三元系统相图，根据相图答复以下问题： 1．写出点P，R，S的成分； 2．设有2kgP，问需要多少何种成分的合金Z才可混熔成6kg成分为R的合金。 十一.图4是A-B-C三元系统相图，根据相图答复以下问题： 1．在图上划分副三角形、用箭头表示各条线上温度下降方向及界限的性质；
材料科学基础_武汉理工出版(部分习题答案)[1]
第一章 结晶学基础 第二章 晶体结构与晶体中的缺陷 1 名词解释：配位数与配位体，同质多晶、类质同晶与多晶转变，位移性转变与重建性转变，晶体场理论与配位场理论。晶系、晶胞、晶胞参数、空间点阵、米勒指数（晶面指数）、离子晶体的晶格能、原子半径与离子半径、离子极化、正尖晶石与反正尖晶石、反萤石结构、铁电效应、压电效应. 答：配位数：晶体结构中与一个离子直接相邻的异号离子数。 配位体：晶体结构中与某一个阳离子直接相邻、形成配位关系的各个阴离子中心连线所构成的多面体。 同质多晶：同一化学组成在不同外界条件下（温度、压力、pH 值等），结晶成为两种以上不同结构晶体的现象。 多晶转变：当外界条件改变到一定程度时，各种变体之间发生结构转变，从一种变体转变成为另一种变体的现象。 位移性转变：不打开任何键，也不改变原子最邻近的配位数，仅仅使结构发生畸变，原子从原来位置发生少许位移，使次级配位有所改变的一种多晶转变形式。 重建性转变：破坏原有原子间化学键，改变原子最邻近配位数，使晶体结构完全改变原样的一种多晶转变形式。 晶体场理论：认为在晶体结构中，中心阳离子与配位体之间是离子键，不存在电子轨道的重迭，并将配位体作为点电荷来处理的理论。 配位场理论：除了考虑到由配位体所引起的纯静电效应以外，还考虑了共价成键的效应的理论 图2-1 MgO 晶体中不同晶面的氧离子排布示意图 2 面排列密度的定义为：在平面上球体所占的面积分数。 （a ）画出MgO （NaCl 型）晶体（111）、（110）和（100）晶面上的原子排布图； （b ）计算这三个晶面的面排列密度。 解：MgO 晶体中O2-做紧密堆积，Mg2+填充在八面体空隙中。 （a ）（111）、（110）和（100）晶面上的氧离子排布情况如图2-1所示。 （b ）在面心立方紧密堆积的单位晶胞中，r a 220= （111）面：面排列密度= ()[]907.032/2/2/34/222==∙ππr r （110）面：面排列密度=()[] 555.024/224/22==∙ππr r r （100）面：面排列密度=() 785.04/22/22 2 ==⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡ππr r 3、已知Mg 2+ 半径为0.072nm ，O 2- 半径为0.140nm ，计算MgO 晶体结构的堆积系数与密度。 解：MgO 为NaCl 型，O 2-做密堆积，Mg 2+ 填充空隙。r O2- =0.140nm ，r Mg2+=0.072nm ，z=4，晶胞中质点体积：(4/3×πr O2-3+4/3×πr Mg2+ 3)×4，a=2(r ++r -)，晶胞体积=a 3 ，堆积系数=晶胞中MgO 体积/晶胞体积=68.5%，密度=晶胞中MgO 质 量/晶胞体积=3.49g/cm 3 。 4、（1）一晶面在x 、y 、z 轴上的截距分别为2a 、3b 、6c ，求出该晶面的米勒指数；（2）一晶面在x 、y 、z 轴上的截距分别为a/3、b/2、c ，求出该晶面的米勒指数。 解：（1）h:k:l=1/2:1/3:1/6=3:2:1,∴该晶面的米勒指数为（321）；（2）（321） 5 试证明等径球体六方紧密堆积的六方晶胞的轴比c/a≈1.633。 证明：六方紧密堆积的晶胞中，a 轴上两个球直接相邻，a0=2r ；c 轴方向上，中间的一个球分别与上、下 各三个球紧密接触，形成四面体，如图2-2所示： ()() r r r c o 3/223/222/2 2 =-