新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章复数 课后练习题及章末测验 精选配套习题 含解析

第七章 复数

1、数系的扩充和复数的概念 ........................................................................................ - 1 -

2、复数的几何意义 ........................................................................................................ - 5 -

3、复数的加、减运算及其几何意义 ............................................................................ - 9 -

4、复数的乘、除运算 .................................................................................................. - 14 -

5、复数的三角表示 ...................................................................................................... - 19 - 章末综合测验................................................................................................................ - 23 -

1、数系的扩充和复数的概念

一、选择题 1．下列命题：

(1)若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0； (2)x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；

(3)若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a ，x 不一定是复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y ∈R ，所以y 2－1，－(y －1)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎨⎧

y 2－1＝0，

－(y －1)＝0，

解得y ＝1.]

2．若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R )是正实数，则实数m 的值为 ( ) A ．－2 B ．3 C ．－3

D ．±3

B [由题知⎩

⎨⎧

m 2－9＝0，

m ＋2>0，解得m ＝3，故选B ．]

3．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i

D ．2＋2i

A [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A ．]

4．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4

D ．0或－4

C [由题意知⎩

⎨⎧

4－3a ＝a 2，

－a 2＝4a ，解得a ＝－4.]

5．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

B [因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．]

二、填空题

6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.

－2 [⎩⎨⎧

m 2＋m －2＝0，

m 2－1≠0，

∴m ＝－2.]

7．(一题两空)已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.

2 ±2 [由复数相等的充要条件有 ⎩⎨⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎨⎧

m ＝2，n ＝±2.]

8．下列命题：

①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；

②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．

③ [当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；

若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧

x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，

即x ＝1，故②错．]

三、解答题

9．若x ，y ∈R ，且(x －1)＋y i ＞2x ，求x ，y 的取值范围． [解] ∵(x －1)＋y i ＞2x ，∴y ＝0且x －1＞2x ， ∴x ＜－1，

∴x ，y 的取值范围分别为x ＜－1，y ＝0.

10．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)

m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；

(3)纯虚数．

[解] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)

m －1

有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.

(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)

m －1

有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1

＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.

11．(多选题)下列命题正确的是( ) A ．1＋i 2＝0

B ．若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i

C ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0

D ．两个虚数不能比较大小

AD [对于A ，因为i 2＝－1，所以1＋i 2＝0，故A 正确．对于B ，两个虚数不能比较大小，故B 错．对于C ，当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，故C 错．D 正确．]

12．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z ＝( )

A ．3＋i

B ．3－i

C ．－3－i

D ．－3＋i

B [由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，

即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0. 所以⎩⎨⎧

n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，

解得⎩⎨⎧

m ＝3，n ＝－1.

所以z ＝3－i.]

13．(一题两空)定义运算⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪3x ＋2y i －y 1，则实数x ＝________，y ＝________.

－1 2 [由定义运算⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

a b c d ＝ad －bc 得⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.

因为x ，y 为实数，所以有⎩⎨⎧

x ＋y ＝3x ＋2y ，

x ＋3＝y ，

解得x ＝－1，y ＝2.]

14．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．

(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值； (2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围． [解] (1)∵z 1为纯虚数， ∴⎩⎨⎧

4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎨⎧

4－m 2＝λ＋2sin θ，

m －2＝cos θ－2，

∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.

∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2， 当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．

2、复数的几何意义

一、选择题

1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ] 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2|

D ．|z 1|＜|z 2|

D [z 1，z 2不能比较大小，排除选项A ，B ，又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，故|z 1|＜|z 2|.]

3．已知平行四边形OABC ，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则AB →的模|AB →

|等于( )

A ． 5

B ．2 5

C ．4

D ．13

D [由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →

|＝|3－2i|＝13.] 4．当2

3＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

D [∵2

30，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．] 5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－3

4＋i B ．34－i C ．－3

4－i

D ．34＋i

D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧

a ＋a 2＋

b 2＝2，

b ＝1，解

得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝34，

b ＝1，

即z ＝3

4＋i.] 二、填空题

6．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 12 [由条件，知⎩⎨⎧

m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，

所以m ＝3，

因此z ＝12i ，故|z |＝12.]

7．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．

(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， ∴⎩⎨⎧

x －2＞0，

3－x ＜0.

解得x ＞3.] 8．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________. ±i [因为z 为纯虚数， 所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)， 则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i.] 三、解答题

9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .

[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，

解得a ＝±1， 故a ＝－1， 所以z ＝－1＋3i.

10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点． (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围．

[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.

(1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧

m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，

∴⎩⎨⎧

－12或m <1， ∴－1＜m ＜1.

(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.

11．(多选题)设复数z 满足z ＝－1－2i ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是( )

A ．|z |＝ 5

B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限

C ．z 的共轭复数为－1＋2i

D ．复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－2x 上

AC [|z |＝(－1)2＋(－2)2＝5，A 正确；复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B 不正确；z 的共轭复数为－1＋2i ，C 正确；复数z 在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y ＝－2x 上，D 不正确．故选AC ．]

12．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．5

D ．3

D [∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，

∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．] 13．(一题两空)已知复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i(i 为虚数单位)，若复数z 是实数，则实数m ＝______；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数m 的取值范围为________．

3 (－5，－1－15) [若复数z 是实数， 则⎩

⎨⎧

m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3. 若复数z 对应的点位于复平面的第二象限， 则⎩⎨⎧

lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，

即⎩⎨⎧

0＜m 2＋2m －14＜1，

m 2－m －6＞0，

即⎩⎨⎧

m 2＋2m －14＞0，

m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，

解得－5＜m ＜－1－15.]

14．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求y

x 的最大值． [解] ∵|x －2＋y i|＝3，

∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，y

x 表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．

如图，由平面几何知识，易知y

x 的最大值为 3. 15．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋3

2i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；

(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ [解] (1)|z 1|＝(3)2＋12＝2， |z 2|＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫322

＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.

因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所

以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．

3、复数的加、减运算及其几何意义

一、选择题

1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A ．75

B ．－11

5 C ．－18

5

D ．5

B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎨⎧

－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，

解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.] 2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3

D ．－4

B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B ．]

3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．－1

D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.]

4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →

对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →

对应的复数是( )

A ．2＋4i

B ．－2＋4i

C ．－4＋2i

D ．4－2i

D [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →

对应的复数为4－2i.故选D ．]

5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图

所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]

二、填空题

6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.

3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎨⎧

a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，

解得a ＝3.]

7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →

对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →

对应的复数为________．

4－4i [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →

)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.]

8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. －1＋10i [∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎨⎧

x ＝2，y ＝8，

∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.] 三、解答题 9．计算：

(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；

(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .

[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i. (2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.

(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，

即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎨⎧

x ＋3＝－2，y －5＝6，

解得⎩⎨⎧

x ＝－5，y ＝11，于是z ＝－5＋11i.

法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)， 所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.

10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．

[解] 如图所示. AC →

对应复数z 3－z 1， AB →

对应复数z 2－z 1， AD →

对应复数z 4－z 1.

由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →

， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，

∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.

∴AD 的长为|AD →

|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210. 11．(多选题)已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是( )

A ．若复数z 满足|z －i|＝5，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上

B ．若复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝15＋8i

C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

D ．复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→

，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→

CD [满足|z －i|＝5的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；在B 中，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.由z ＋|z |＝2＋8i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，

∴⎩⎨⎧

a ＋a 2＋

b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎨⎧

a ＝－15，

b ＝8.∴z ＝－15＋8i ，B 错误；由复数的模

的定义知C 正确；由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|的几何意义知，以OZ 1→，OZ 2→

为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确．故选CD ．]

12．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．22

D ．12

C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.]

13．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________. 7

6－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

则⎩⎨⎧

a ＝a 2＋

b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝76，

b ＝－4，

所以z ＝7

6－4i.]

14．在复平面内，A ，B ，C 三点所对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i ，其中i 为虚数单位．

(1)求AB →，BC →，AC →

对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．

[解] (1)AB →

对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →

对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →

对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i. (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →

|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →

|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝1

2×2×22＝2.

15．设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ， 又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2＝1，

(a ＋1)2＋b 2

＝1，

即⎩⎨⎧

a 2＋

b 2＝1，

a 2

＋b 2＋2a ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－12，

b 2

＝34，

故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝(a －1)2＋b 2

＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋3

4

＝ 3.

4、复数的乘、除运算

一、选择题 1.(1＋i )3(1－i )2

＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i

D ．－1－i

D [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i ，选D ．]

2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i

D ．2＋i

C [z －1＝1＋i

i ＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C ．] 3．在复平面内，复数i

1＋i

＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

B [

i 1＋i

＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫23＋12i ，对应点

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－3

2，23＋12在第二象限．] 4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－4

5 C ．4

D ．45

D [∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝

53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )

＝35＋4

5i. 故z 的虚部为4

5，选D ．]

5．设复数z 的共轭复数是 z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －

2是实数，

则实数t 等于( )

A ．34

B ．43

C ．－43

D ．－34

A [∵z 2＝t ＋i ，∴z －

2＝t －i.

z 1·z －

2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z －

2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝3

4.]

二、填空题

6．i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i

2－i ，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.

1 [∵z ＝1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i

5＝i ，

∴z ＝－i ，∴z ·z ＝1.]

7．已知a ＋2i

i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 1 [∵a ＋2i

i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]

8．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i)＝3－i ，则|z 2|＝________.

5 [∵z 1(1－i)＝3－i ， ∴z 1＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )

＝2＋i ，

∵A 与B 关于x 轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数， ∴z 2＝z 1＝2－i ，∴|z 2|＝ 5.] 三、解答题 9．已知复数z ＝

52－i

. (1)求z 的实部与虚部；

(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值．

[解] (1)z ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )

5＝2＋i ，

所以z 的实部为2，虚部为1.

(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ， 即2m ＋n ＋3＋(4－m )i ＝1－i ， 所以⎩⎨⎧

2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.

解得m ＝5，n ＝－12.

10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z .

[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，

由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎨⎧

a ＋2

b ＝4，

2a －b ＝3.

得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i. ∴z

z ＝2＋i

2－i ＝2＋i 22－i 2＋i

＝3＋4i 5＝35＋4

5i.

11．(多选题)下面是关于复数z ＝2

－1＋i

(i 为虚数单位)的命题，其中真命题为( )

A ．|z |＝2

B ．z 2＝2i

C ．z 的共轭复数为1＋i

D ．z 的虚部为－1

BD [∵z ＝2

－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，

∴|z |＝2，A 错误；z 2＝2i ，B 正确； z 的共轭复数为－1＋i ，C 错误； z 的虚部为－1，D 正确．故选BD ．]

12．(多选题)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2

B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2

C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2

D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2

2

ABC [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|

＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．]

13．(一题两空)若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1

z 2为纯虚数，则实数a 的值为

________，z 1z 2＝________.

83 16－143i [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )

9＋16

＝3a ＋4a i ＋6i －825

＝

(3a －8)＋(4a ＋6)i

25

，

∵z 1

z 2为纯虚数， ∴⎩⎨⎧

3a －8＝0，4a ＋6≠0， ∴a ＝83.

∴z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

83＋2i (3－4i)

＝8－32

3i ＋6i ＋8 ＝16－143i.]

14．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值． [解] 因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根， 所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0， 即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0， 整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0，

所以⎩⎨⎧ 10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎨⎧

p ＝－12，q ＝26.]

15．设z 是虚数，ω＝z ＋1

z 是实数，且－1＜ω＜2， (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝

1－z

1＋z

，证明u 为纯虚数． [解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1

x ＋y i

＝x ＋y i ＋

x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋

⎝ ⎛⎭

⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0，

所以y －y

x 2＋y 2＝0，所以x 2＋y 2＝1，

即|z |＝1. 此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x ＜2， 从而有－1

2＜x ＜1，

即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12，1.

(2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )

1＋(x ＋y i )

＝

(1－x －y i )(1＋x －y i )

(1＋x )2＋y 2

＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋x i.

因为x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12，1，y ≠0，

所以

y

1＋x

≠0， 所以u 为纯虚数.

5、复数的三角表示

一、选择题

1．复数12－3

2i 的三角形式是( ) A ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π3

B ．cos π3＋isin π

3 C ．cos π3－isin π3 D ．cos π3＋isin 5π

6

A [12－32i ＝cos 53π＋isin 5

3π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2π－π3

＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π3.] 2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( ) A ．150° B ．40° C ．－40°

D ．320°

D [sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°.]

3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( ) A ．4

B ．3π

2－4

C ．2π－4

D ．5π2－4

D [sin 4＋icos 4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－4＋isin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫52π－4.] 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A ．π

4

B ．π4或5π4

C ．2k π＋π

4(k ∈Z )

D ．k π＋π

4(k ∈Z )

D [因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1， 所以θ＝π

4＋k π，(k ∈Z )．]

5．如果θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，π，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( )

A ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ

B ．2[]cos ()2π－θ＋isin ()2π－θ

C ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ

D ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ

A [因为1＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π

4＋isin π4，

cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ)

＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ

＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ.]

二、填空题

6．已知z ＝cos 2π3＋isin 2π

3，则arg z 2＝________. 43π [因为arg z ＝2π3，所以arg z 2＝2arg z ＝2×2π3＝4π3.]