2018-2019学年河南省天一大联考高一下学期期末数学试题(解析版)

河南省天一大联考高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A ．41 B ．42

C ．43

D ．44

【答案】A

【解析】由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码． 【详解】

由题知分组间隔为以

60

610

=，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为66541?+=.

故选：A. 【点睛】

本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础．

2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

【答案】D

【解析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】

由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是

61092

y

++=，得到2y =，因此3x y +=. 故选：D. 【点睛】

本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．

3．设向量(1,1),(2,)a b m ==v v

,若()

//2a a b +v v v ,则实数m 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】首先求出2a b +r r

的坐标，再根据平面向量共线定理解答. 【详解】

解：(1,1),(2,)a b m ==r r

Q

()25,21a b m ∴+=+r r

,

因为()

//2a a b +r r r

,所以2150m +-=,解得2m =.

故选：B 【点睛】

本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题. 4．下列函数中是偶函数且最小正周期为4

π

的是 （ ） A ．22cos 4sin 4y x x =- B ．sin 4y x = C ．sin 2cos2y x x =+ D ．cos 2y x =

【答案】A

【解析】本题首先可将四个选项都转化为()sin y A ωx φ=+的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果． 【详解】

A 中，函数22cos 4sin 4cos8y x x x =-=，是偶函数，周期为284

T ππ=

=； B 中，函数是奇函数，周期242

T ππ

=

=；

C 中，函数sin 2224y x cos x x π?

?=++ ??

?

，是非奇非偶函数，周期T π=；

D 中，函数是偶函数，周期22

T π

π=

=. 综上所述，故选A ． 【点睛】

本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足

()()f x f x -=，对于函数()sin y A ωx φ=+，其最小正周期为2T π

ω

=

，考查化归与

转化思想，是中档题．

5．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ）

A ．至少有1个白球；都是红球

B ．至少有1个白球；至少有1个红球

C ．恰好有1个白球；恰好有2个白球

D ．至少有1个白球；都是白球

【答案】A

【解析】根据对立事件的定义判断． 【详解】

从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A 中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B 中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C 中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D 中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件. 故选：A.

6．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ） A ．

5

2

B ．3

C ．

72

D ．4

【答案】C

【解析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【详解】

因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得755

58

x ?+=

=，()2

27455782

s ?+-==.

故选：C. 【点睛】

本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 7．已知cos 4θ=，且,02πθ??∈- ???，则tan 4πθ??

+= ???

（ ） A ．7-

B ．7

C ．1

7

-

D ．

17

【答案】D

【解析】由平方关系求得sin θ，再由商数关系求得tan θ，最后由两角和的正切公式可计算． 【详解】

,02πθ??

∈- ???

Q ，4cos 5θ=，3sin 5θ∴=-，3tan 4θ=-，

tan tan

14tan 471tan tan 4

π

θπθπθ+??∴+=

= ??

?-. 故选：D. 【点睛】

本题考查两角和的正切公式，考查同角间的三角函数关系．属于基础题．

8．已知,a b v v 是不共线的非零向量，2AB a b =+u u u v v v ，3BC a b =-u u u v v v ，23CD a b =-u u u v v

v ，则

四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形 B ．平行四边形

C ．矩形

D ．菱形

【答案】A

【解析】本题首先可以根据向量的运算得出()

23AD a b =-uuu r r r ，然后根据3BC a b =-u u u r r r

以

及向量平行的相关性质即可得出四边形ABCD 的形状． 【详解】

因为AD AB BC CD =++uuu r uu u r uu u r uu u r

，所以()()()()

232323AD a b a b a b a b =++-+-=-uuu r r r r r r r r r ，

因为3BC a b =-u u u r r r ，,a b r r

是不共线的非零向量，所以//AD BC 且AD BC ≠uuu r uu u r ，

所以四边形ABCD 是梯形，故选A ． 【点睛】

本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）

A．3

4

B．

4

5

C．

5

6

D．

6

7

【答案】A

【解析】模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件可得结论．【详解】

运行程序框图，

11 122

s==

?，2

k=；

112

263

s=+=，3

k=；

213

3124

s=+=，4

k=，

此时满足条件，跳出循环，输出的

3

4 s=.

故选：A.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构，解题时只要模拟程序运行即可得结论．

10．如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（）

A．

2

3π

B．

2

9

C．

8

π

D．

1

2

【答案】B

【解析】设大圆半径为3r，小圆半径为2r，求出白色部分面积和大圆面积，由几何概

型概率公式可得． 【详解】

设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，则整个图形的面积为29S r π=，白色部分的面积为221422S r r ππ=

?=白，所以所求概率2

9

S P S ==白. 故选：B. 【点睛】

本题考查几何概型，考查面积型的几何概型，属于基础题．

11．已知tan 2α=，则

()

22sin 22cos 2sin 4αα

πα-=-（ ） A

．

2

B ．

12

C ．

14

D ．

112

【答案】D

【解析】由正切二倍角公式求得tan2α，求值式由诱导公式和正弦的二倍角公式化角为

2α，再弦化切后代入tan2α可得结论．

【详解】

tan 2α=Q ，22tan 4

tan 21tan 3

ααα∴=

=--，

∴原式2

2

2

2

2

16

2

sin 22cos 2sin 22cos 2tan 221

94sin 42sin 2cos 22tan 212

23ααααααααα----=

====???- ???

. 故选：D. 【点睛】

本题考查正切的二倍角公式，正弦的二倍角公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系．三角函数化简求值时，遇到关于sin ,cos θθ的齐次式时可能用到弦化切后再求值．

12．已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ??

?，其图像相邻的两个对称中心之间的距

离为

4

π，且有一条对称轴为直线24x π

=，则下列判断正确的是 （ ）

A ．函数()f x 的最小正周期为4π

B ．函数()f x 的图象关于直线724

x π

=-

对称

C ．函数()f x 在区间713,2424ππ??

????

上单调递增 D ．函数()f x 的图像关于点7,024π??

???

对称 【答案】C

【解析】本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为

4

π

来确定ω的值，然后根据直线24

x π

=

是对称轴以及2

π

?<

即可确定?的值，解出函数()f x 的解析式之后，

通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果． 【详解】

图像相邻的两个对称中心之间的距离为4

π，即函数的周期为242ππ?=，由22T ππ

ω=

=得4ω=，所以()()sin 4f x x ?=+，又24

x π

=是一条对称轴，所以

6

2

k π

π

?π+=+

，k Z ∈，

得,3

k k Z π

?π=+

∈，又2

π

?<

，得3

π

?=

，所以()sin 43f x x π?

?=+ ???.

最小正周期242

T ππ

==，A 项错误； 令432x k π

π

π+

=+

，k Z ∈，得对称轴方程为424k x ππ

=

+，k Z ∈，B 选项错误；

由242232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得单调递增区间为5,224224k k ππππ??

-+???

?，k Z ∈，C 项中的区间对应1k =，故C 正确；

由43x k π

π+

=，k Z ∈，得对称中心的坐标为,0412k ππ??

-

???

，k Z ∈，D 选项错误， 综上所述，故选C ． 【点睛】

本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数()()

sin ωφf x A x B =++的相关性质的理解，考查推理能力，是中档题．

二、填空题

13．已知变量x ，y 线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y 关于x 的

线性回归方程为$$1.9y x a

=+，则$a =______.

【答案】4.3

【解析】由所给数据求出,x y ，根据回归直线过中心点(,)x y 可求解． 【详解】 由表格得到()1124534x =

+++=，()1

5.49.610.614.4104

y =+++=，将样本中心()3,10代入线性回归方程得$10 1.93 4.3a

=-?=. 故答案为：4.3 【点睛】

本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键，即回归直线必过中心点

(,)x y ．

14．已知向量()cos5,sin5a =??r ，()cos65,sin 65b =??r

，则2a b +=r r ______.

【解析】求出,,a b a b ?r r r r

，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．

【详解】

由题意得222cos 5sin 51a =?+?=r ，1a =r .2

22cos 65sin 651b =?+?=r ，1b =r . 1

cos5cos65sin 5sin 65cos602

a b ∴?=??+??=?=r r ，

()

221

24444172

a b a a b b ∴+=+?+=+?+=r r r r r r ，

2a b ∴+=r r

． 【点睛】

本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．

15．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是______.

【答案】4

【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，寻找到规律周期性，确定输出结果． 【详解】

第1次循环：1S =-，2i =；第2次循环：23S =

，3i =；第3次循环：3

2

S =，4i =；第4次循环：4S =，5i =；…；S 关于i 以4为周期，最后跳出循环时

202114505i ==+?，此时4S =.

故答案为：4. 【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构．解题关键是由程序确定变量变化的规律：周期性．

16．函数2

3cos cos y x x x =+在区间0,2π??

???

上的值域为______.

【答案】30,2

?? ??

?

【解析】由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域． 【详解】

231cos 231113sin cos cos 22cos 2sin 222262x y x x x x x x x π+??=+=

+=++=++ ??

?0,2x π??∈ ???Q ，

72,666x π

ππ

??

∴+

∈ ???，则1sin 2,162x π????+∈- ? ?????

，

13sin 20,622x π?

???∴++∈ ? ??

???.

故答案为：3

(0,]2

． 【点睛】

本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论．

三、解答题

17．已知扇形的面积为6π，弧长为6

π

，设其圆心角为α （1）求α的弧度；

（2）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα??

+-- ???

????-+ ? ?????

的值.

【答案】（1）12

π

α=

（2

）2

【解析】（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；

（2）先由诱导公式化简待求式为tan α，利用两角差的正切公式可求

tan

tan()1234

πππ

=-．

【详解】

（1）设扇形的半径为r ，则6

ar π

=，所以6r π

α

=

. 由12S rl =

可得12666

πππα??=， 解得12

π

α=

.

（2）

()

cos sin sin sin 2tan 119sin cos cos sin 22παπααααππαααα??

+-- ?-???==-?????-+ ? ?

????

. tan

tan

34tan

tan 212341tan tan 34

π

π

π

ππππ-??=-=

== ???+. 【点睛】

本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差

的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．. 18．已知,,a b c v v v

是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =v

. （Ⅰ）若()2,c λ=v ，且//c a v v ，求c v

；

（Ⅱ）若()1,1b =v ，且ma b -v v 与2a b -v v 垂直，求实数m 的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4

7

=

m . 【解析】(1)根据向量平行的相关性质以及()1,2a =r 、()2,c λ=r

即可得出向量()2,4c =r ，

然后根据向量的模长公式即可得出结果；

(2)首先可根据()1,2a =r 、()1,1b =r 写出ma b -r r 与2a b -r r 的坐标表示，然后根据向量垂直

可得()()

20ma b a b --=r r r r

g ，最后通过计算即可得出结果．

【详解】

(1)因为//c a r r

，()1,2a =r ，()2,c λ=r

所以2210??l

，4λ

=，()2,4c =r ，

所以c r

(2)因为()1,2a =r ，()1,1b =r ，所以()1.21ma b m m -=--r r ，()21,3a b -=r r

.

因为ma b -r r

与2a b -r r 垂直，所以

()()

20ma b a b --=r r r r g ， 即()()11213

0m m -?-?，47

=

m ． 【点睛】

本题考查向量平行以及向量垂直的相关性质，考查向量的坐标表示以及向量的模长公式，若()11,a x y =r 、()22,b x y =r 且a b ⊥r r

，则12120x x y y +=，考查计算能力，是中档题．

19．为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:kW h g ),并将样本数据分组为

[)160,180,[)180,200,[)20,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300] ,其

频率分布直方图如图所示.

(1)若样本中月均用电量在[)240,260的居民有30户,求样本容量; (2)求月均用电量的中位数;

(3)在月均用电量为[

)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300]的四组居民中,用分层随机抽样法抽取22户居民,则月均用电量在[)260,280的居民应抽取多少户? 【答案】(1)200 (2)224 (3)4户

【解析】(1)因为(0.00200.00950.01100.01250.00500.0025)201x ++++++?=,所以月均用电量在[)240,260的频率为0.0075200.15?=,即可求得答案; (2)因为(0.00200.00950.0110)200.450.5++?=<,设中位数为

a ,0.450.0125(220)0.5a +?-=,即可求得答案;

(3)月均用电量为[

)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300]的频率分别为,

0.25,0.15,0.1,0.05.即可求得答案.

【详解】

(1)Q (0.00200.00950.01100.01250.00500.0025)201x ++++++?=, 得0.0075x =.

∴ 月均用电量在[)240,260的频率为0.0075200.15?=.

设样本容量为N ,则0.1530N =,

∴ 200N =.

(2)Q (0.00200.00950.0110)200.450.5++?=<,

∴ 月均用电量的中位数在[)220,240内.

设中位数为a ,

0.450.0125(220)0.5a +?-=, ∴ 解得224a =,即中位数为224.

(3)月均用电量为[

)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300]的频率分别为

0.25,0.15,0.1,0.05.

∴ 应从月均用电量在[)260,280的用户中抽取0.1

2240.250.150.10.05

?

=+++(户)

【点睛】

本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量, 中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

20．已知函数(

)21

4sin 2x f x x ππ?

?-+ ??

?=

??+ ???

（1）求()f x 的定义域；

（2）设α是第三象限角，且1

tan 2

α=，求()f α的值. 【答案】（1）,2x x k k π

π??

≠-

∈???

?

Z （2

）5- 【解析】（1）由分母不为0可求得排烟阀；

（2）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos αα，由两角差的余弦公式展开，再由二倍角公式化为单角的函数，最后代入sin ,cos αα的值可得． 【详解】

（1）由sin 02x π??

+≠ ???

得2x k ππ+≠，k ∈Z ，

所以2

x k π

π≠-

，k ∈Z ，

故()f x 的定义域为,2x x k k π

π??

≠-

∈???

?

Z （答案写成“,2x x k k π

π??

≠+

∈???

?

Z ”也正确） （2）因为1

tan 2

α=

，且α是第三象限角，

所以由

22

sin cos1

sin1

cos2

αα

α

α

?+=

?

?

=

??

可解得sin

5

α=-

，cos

5

α=-.

故(

)

21

4

cos

f

π

α

α

α

??

-+

?

??=

221

cos

αα

α

?

++

??

??

=

cos2sin21

cos

αα

α

++

=

2

2cos2sin cos

cos

ααα

α

+

=

(

)

2cos sin

5

αα

=+=-

【点睛】

本题考查三角函数的性质，考查同角间的三角函数关系，考查应用两角差的余弦公式和二倍角公式求值．三角函数求值时一般要先化简再求值，这样计算可以更加简便，保证正确．

21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181

Q表示2018年第一季度，以此类推）：

（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；

（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司20193

Q的销售额.

附：线性回归方程：y bx a

=+

$$$其中

()()

()

11

22

2

11

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

x x y y x y nx y

b

x x x nx

==

==

---?

==

--

∑∑

∑∑

$

，

$$

a y bx

=-$

参考数据：

5

1

1183i i

i x y

==∑.

【答案】（1）

3

10

；（2）y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+，预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元.

【解析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这2个季度的销售额都超过6千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；

（2）计算出x 和y 的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出b

$和$a 的值，可得出y 关于x 的线性回归方程，然后将7x =代入回归直线方程即可得出该公司

20193Q 的销售额的估计值.

【详解】

（1）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：()4656,、()4667,、()4686,、()4696,、()5667,、()5686,、()5696,、()6786,、()6796,、()8696, 设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A ，事件A 包含()6786,、()6796,、()8696,

，3种情况，所以()3

10

P A =； （2）12345

35x ++++=

=，()1465667869670.25

y =++++=，

2222221462563674865965370.213013123455312

b

?+?+?+?+?-??===++++-?$，$$31.2a y bx

∴=-=$. 所以y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+， 令7x =，得$137312122.2．y =?+=（百万元） 所以预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元． 【点睛】

本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 22．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，()2,0B

-，点P ，Q 在单位圆上，

以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，以射线OQ 为终边的角为?，满足

2

π

?θ-=

.

（1）若3

πθ=

，求OA QA ?u u u r u u u r

（2）当点P 在单位圆上运动时，求函数()f AP BQ θ=?u u u r u u u r

的解析式，并求()f θ的最

大值.

【答案】（1）43（2）()2244f πθθ?

?

=+

- ??

?

，最大值224-. 【解析】（1）由角的定义求出QOA ∠，再由数量积定义计算；

（2）由三角函数定义写出,P Q 坐标，求出AP BQ u u u r u u u r ，的坐标，计算出()f AP BQ θ=?u u u r u u u r ，

利用两角和的正弦公式可化函数为一个三角函数形式，由正弦函数性质可求得最大值． 【详解】

（1）由图可知，3POA π

θ∠==

，5326

QOA π

π

π∠=

+

=

. ()

225221cos 436

OA QA OA OA OQ OA OA OQ π?=?-=-?=-??=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .

（2）由题意可知()cos ,sin P θθ，()cos ,sin Q ??. 因为cos cos sin 2π?θθ??

=+

=- ??

?，sin sin cos 2π?θθ?

?=+= ??

?， 所以()sin ,cos Q θθ-.

所以()cos 2,sin AP θθ=-u u u r ，()sin 2,cos BQ θθ=-+u u u r

. 所以()f AP BQ θ=?u u u r u u u r

()()cos 22sin sin cos θθθθ=--+

2cos sin cos 2sin 4sin cos θθθθθθ=-+-+

244πθ?

?=+- ??

?.

当24

k π

θπ=+（k ∈Z ）时，()f

θ取得最大值4.

【点睛】

本题考查任意角的定义，平面向量的数量积的坐标运算，考查两角和的正弦公式、诱导公式及正弦函数的性质．本题解题关键是掌握三角函数的定义，表示出,P Q 坐标．