2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若(3)(2)()z i a i a R =-+∈为纯虚数，则(z = )

A ．163i

B ．6i

C ．203i

D ．20

2．（5分）已知集合2{|8}A x N x x =∈<，{2B =，3，6}，{2C =，3，7}，则()(A B C =?e )

A ．.{2，3，4，5}

B ．.{2，3，4，5，6}

C ．.{1，2，3，4，5，6}

D ．，{1，3，

4，5，6，7} 3．（5分）已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，且a r 与b r 的夹角为120?，则

|3|(a b -=r r )

A ．11

B ．37

C ．210

D ．43

4．（5分）若双曲线2

2:1x C y m

-=的一条渐近线方程为320x y +=，则(m = ) A ．49 B ．94 C ．23 D ．32

5．（5分）已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P ABC -的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则( )

A ．PA ，P

B ，P

C 两两垂直

B ．三棱锥P AB

C -的体积为83 C ．||||||6PA PB PC ===

D ．三棱锥P ABC -的侧面积为356．（5分）山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：)mm 服从正态分布(80N ，25)，

则直径在(75，90]内的概率为( )

附：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=?，(22)0.9544P X μσμσ-<+=?．

A ．0.6826

B ．0.8413

C ．0.8185

D ．0.9544

7．（5分）已知函数()2sin()(0)y x x b ω?ω=++>，()()88f x f x ππ+=-，且()58f π

=，则(b = )

A ．3

B ．3或7

C ．5

D ．5或8

8．（5分）函数2

||()||ln x f x x x =-的图象大致为( ) A ． B ．

C ．

D ．

9．（5分）设不等式组030

x y x +???-??…?表示的平面区域为Ω，若从圆22:4C x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为( )

A ．524

B ．724

C ．1124

D ．1724

10．（5分）已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ?+?=?+->??

?，则函数(())y f f x =的零点所在区间为( )

A ．7(3,)2

B ．(1,0)-

C ．7(,4)2

D ．(4,5)

11．（5分）已知直线(1)y k x =-与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，直线2(2)y k x =-与抛物线2:8D y x =交于M ，N 两点，设||2||AB MN λ=-，则( )

A ．16λ<-

B ．16λ=-

C ．120λ-<<

D ．12λ=- 12．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙

子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为( )

A ．56383

B ．57171

C ．59189

D ．61242

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（5

分）8(2x 展开式的第5项的系数为 ．

14．（5

分）函数()4)1f x x +-的值域为 ．

15．（5分）在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点3(,)n n

a a 处的切线经过点1(n a +，0)，下列四个结论： ①223a =；②313a =；③41

6527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列． 其中所有正确结论的编号是 ．

16．（5分）在矩形ABCD 中，4BC =，M 为BC 的中点，将ABM ?和DCM ?分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P ．若150APD ∠=?，则三棱锥M PAD -的外接球的表面积为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．（12分）a ，b ，c 分别为ABC ?内角A ，B ，

C 的对边．已知3a =，sin sin sin c C a A b B =+，且60B =?．

（1）求ABC ?的面积；

（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠．

18．（12分）如图，四棱锥E ABCD -的侧棱DE 与四棱锥F ABCD -的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，//AB CD ，3AB =，4AD CD ==，5AE =

，AF =

（1）证明：//DF 平面BCE ．

（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ．

19．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数()

AQI的检测数据，结果统计如表：

AQI[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染

天数61418272510

（1）从空气质量指数属于[0，50]，(50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系

式为

0,9100

220,100250

1480,250300

x

y x

x

?

?

=<

?

?<

?

剟

?

?

，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污

染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为111111

,,,,,

63612126

．9月每天的空气质量对

应的概率以表中100天的空气质量的频率代替．

()i记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

()ii试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由．

20．（12分）已知椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>过点

3

(1,)

2

，过坐标原点O作两条互相垂直的

射线与椭圆C分别交于M，N两点．（1）证明：当22

9

a b

+取得最小值时，椭圆C的离心

2

．

（2）若椭圆C的焦距为2，是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数()2(1)sin1

f x ln x x

=+++，函数()1(

g x ax blnx a

=--，b R

∈，0)

ab≠（1）讨论()

g x的单调性；