【高三数学】南师附中高三数学冲刺试卷

7 8 99

4 4 467

3

南师大附属中学2011届高三冲刺卷

数学试卷Ⅰ

2011.5

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1. 已知集合},3

sin

|{Z n n x x A ∈==π

，则集合A 的子集的个数为_____▲______. 2. 若复数i

i

a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实

数

a 的值为______▲______.

的3. 已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ?是q ?充分不必要条件，则a 的取值范围可以是____▲_____.

4. 右图程序运行结果是_______▲________.

5. 右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个

最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ． 6. 在120°的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于A 、B 两点，这两个点的距离AB=5, 则小球的半径为_______▲________．

7. 函数)2ln()(2

x x x f -=的单调递增区间是________▲_______.

8. 将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆2

2

240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为_____▲______．

9. O 是锐角?ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+u u u r u u u r

2AB AB Sin ABC

λ? +

∠?

u u u r u u u r

a ←1

b ←1 i ←4

WHILE i ≤6 a ←a +b b ←a +b i ←i +1 END WHILE PRINT b

程序运行结果是

2AC

AC Sin ACB ?

???

∠?

u u u r

u u u r ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过?ABC 的___▲___心．

10. 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +

∈+=且，则12

2a b

-

-的上确界为_______▲_______． 11. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且

方与

AM=3

1AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy 中，动点P 的轨

迹方程是_______▲_______．

12. 设函数21

123()n n f x a a x a x a x -=++++L ，1

(0)2

f =

，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a = ▲ ．

13. 函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1, 则满足f(x)≤t 2

+2at+1

对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的范围是 ▲ .

14. 已知O 为坐标原点，(),OP x y =u u u r ，(),0OA a =u u u r ，()0,OB a =u u u r ，()3,4OC =u u u r

，记PA u u u r 、PB u u u r 、PC u u u r

中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15. （本小题14分）已知函数f(x)＝2log (x ＋3

x

－a)的定义域为A ，值域为B ．

（1）当a ＝4时，求集合A ；

（2）当B ＝R 时，求实数a 的取值范围．

16. （本小题14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， ∠BAC=90°，AB=BB 1=a ，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （1）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1； （2）求C 1到平面B 1AC 的距离； （3）求三棱锥A 1—A B 1C 的体积.

17. （本小题15分）某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如左图， B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右图 (注：利润与投资单位：万元)．

(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?

18. （本小题15分）已知△ABC 的周长为6， ,,BC CA AB u u u r u u u r u u u r

依次为a ，b ，c ，成等比数列.

（1）求证：03

B π

<≤

（2）求△ABC 的面积S 的最大值； （3）求BC BA ?的取值范围.

19．（本小题16分）已知点A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹 为曲线W.

(1)直接写出W 的方程（不写过程）；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，是否存在

x

y

O

A

D

B

C

常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r

与向量(2,1)-共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明

理由.

（3）设W 的左右焦点分别为F 1、 F 2，点R 在直线l ：x －y ＋8＝0上．当∠F 1RF 2取最

大值时，求

12

RF RF 的值.

20. （本小题16分）函数2*()(2,)x a f x b n n N bx c

+==∈-的定义域为{x| x ≠1}，图象过原点，且1(2)2

f -<-．

（1）试求函数()f x 的单调减区间；

（2）已知各项均为负数的数列{}n a 前n 项和为n S ，满足14()1n

n

S f a =，求证：

1111ln n n

n a n a ++-

<<-； （3）设111

(,)1g m n m m n

=

++++L ，是否存在1,122,,,*m n m n N ∈，使得ln 2011∈ ()1122(,),(,)g m n g m n ？若存在，求出1,122,,,m n m n ，证明结论；若不存在，说明理由．

命题、校对：张福俭、刘晓静、侯绪兵

数学Ⅱ〔附加题〕

1． 四边形ABCD 和四边形A B C D ''''分别是矩形和平行四边 形，其中点的坐标分别为A （－1，2），B （3，2），C （3，－2），

D （－1，－2），A '（－1，0），B '（3，8），C '（3，4）,

D '（－1，－4）．求将四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''的变换矩阵M ．

2．直线3

3,2()12

x s s y s ?=-+????=??为参数和曲线1,()1x t t t y t t ?=+???

?=-??为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长． 3．设有3个投球手，其中一人命中率为q ，剩下的两人水平相当且命中率均为p ()()

,0,1p q ∈，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ. （1）当1

2

p q ==

时，求数学期望()E ξ及方差()V ξ； （2）当1p q +=时，将ξ的数学期望()E ξ用p 表示.

4．已知正项数列{}n a 中，对于一切的*

n N ∈均有21n n n a a a +≤-成立。

（1）证明：数列{}n a 中的任意一项都小于1； （2）探究n a 与1

n

的大小，并证明你的结论.

南师大附属中学2011届高三模拟考试

数学参考答案 2011.5

1. 8

2. -6

3.[)1,+∞

4. 21

5. 85，1.6

6. 5

7.()+∞,2

8. －3或7

9. 内心 10. 92-

11. 91

322-=x y 12.

1(1)n n + 13. (]{}[).202,-∞-??+∞

14. )

726,?-+∞?

15. 解：（1）当a ＝4时，由x ＋3x －4＝x 2

－4x ＋3x ＝(x －1)(x －3)

x ＞0，

解得0＜x ＜1或x ＞3， 故A ＝{x|0＜x ＜1或x ＞3}

（2）若B ＝R ，只要u ＝x ＋3

x －a 可取到一切正实数，则x ＞0及u min ≤0，∴u min ＝23－a

≤0，

解得a ≥2 3

实数a 的取值范围为)

23,?+∞?

.

16. 解：（1）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，

∴B 1B ⊥AC ，

又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1， 又AC ?平面B 1AC ，

∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1.

（2）解：∵A 1C 1∥AC, 11A C ?平面B 1AC

∴A 1C 1∥平面B 1AC

∴C 1到平面B 1AC 的距离就是求A 1到平面B 1AC 的距离 过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，

∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ， ∴A 1M ⊥平面B 1AC.

.

6

6

sin ,2

2,311111==

==C A M A CM A a M A a C A 又从而

∴C 1到平面B 1AC 的距离为22

（3）解：∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=

，

∴111326

A A

B

C B ABC V V a --==

17. 解(1)设投资为x 万元,A 产品的利润为f(x)万元,B 产品的利润为g(x)万元 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==

由图知f(1)=

41,故k 1=41

又45

,25)4(2=∴=k g

从而)0(4

5

)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f

(2)设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元

)100(104

5

41)10()(≤≤-+=

-+=x x x x g x f y 令x t -=10则)100(16

65

)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y 当75.3,16

65

,25m ax ===

x y t 此时时 答:当A 产品投入3.75万元,则B 产品投入6.25万元,企业最大利润为16

65

万元 18．解：（1）a+b+c=6，b 2=ac ，不妨设a ≤b ≤c ，

由余弦定理得22222

21cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=

故有03

B π<≤，

（2）又6,22

a c

b b a

c +-=

≤

=从而02b <≤ 。 又a+b ＞c =6－a －b ，所以3

22

b <≤. 所以22111sin sin 2sin 32223

S ac B b B π

=

=≤??=，即max 3S （3）所以2

2)(2cos 2

2222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==?

22

2(6)3(3)272

b b b --==-++

3

272,224

b BA BC <≤∴≤?<

u u u r u u u r Q

.

19．解：(1) W: 2

212

x y += (0)y ≠.

(2) 设直线l 的方程为2y kx =2

2(2)12

x kx +=.

整理，得221()22102k x kx +++=. ① 网Z 。X 。X 。K]

因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 2221

84()4202

k k k ?=-+=->，解得22k <-或22k >. 设P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2),则OP OQ +u u u r u u u r

＝（x 1+x 2，y 1+y 2),

由①得1242k x x +=-. ②

又1212()22y y k x x +=++ ③

所以OP OQ +u u u r u u u r

与向量(2,1)-共线等价于1212()x x y y ++=-2将②③代入上式，解得2k = 所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与MN u u u u r

共线

（3）当∠F 1RF 2取最大值时，过R 、F 1、F 2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l 相切.

直线l 与x 轴于S(-8,0),1F SR ?Q ∽2RSF ?

11112

2

2

2

7RF SF SR SF SR SF RF SR

SF SR SF SF ∴

=

=

=

=

=

. 20. 解：（1）由己知0,a b c ==.

41

(2)32

f b -=-

<-Q 且*2,b n n N =∈ 2b ∴=

∴2

()(1)2(1)

x f x x x =

≠- 于是2222

22(1)22()4(1)2(1)

x x x x x

f x x x ---'==--

g g 由()0f x '<得01x <<或12x <<

故函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1,2)

（2）由已知可得2

2n n n S a a =-，

当2n ≥时，2

1112n n n S a a ---=-

两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+=

∴11n n a a --=-（各项均为负数）

当1n =时，2

111121a a a a =-?=-， ∴n a n =-

于是，待证不等式即为

111ln 1n n n n

+<<+． 为此，我们考虑证明不等式111

ln ,01x x x x x

+<<>+

令11,0,t x x

+=>则1t >，11x t =-

再令()1ln g t t t =--，1

()1g t t

'=- 由(1,)t ∈+∞知()0g t '>

∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增 ∴()(1)0g t g >= 于是1ln t t ->

即

11ln ,0x x x x

+>> ① 令1()ln 1h t t t =-+，22111

()t h t t t t

-'=-= 由(1,)t ∈+∞知()0h t '>

∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增 ∴()(1)0h t h >= 于是1

ln 1t t

>-

即11

ln ,01

x x x x +>>+ ② 由①、②可知111

ln ,01x x x x x

+<<>+

所以，

111

ln 1n n n n

+<<+，即1111ln

n n n a n a +-<<- （3）1,1222,2011,1,2010m n m n ====.

在

111

ln 1n n n n +<<+中令1,2,3,,20

n =L 2010，并将各式相加得 11123201111ln ln ln 123201112201022010

+++<+++<+++

L L L 即()ln 2011(2,2011),(1,2010)g g ∈.

[附加题]

1.解：该变换为切变变换，设矩阵M 为1 0 1k ??

????， 则1 011 120k --??????=????????????

． ∴20k -+=，解得2k =．

所以，M 为1 02 1??

????

． 2．解：曲线1,()1x t t

t y t t ?

=+???

?=-??

为参数可以化为224x y -=．

将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．

设A 、B 对应的参数分别为12s s ，

，∴121210s s s s +==．

AB 12s s =-=

＝． 3．解：（1）当12p q ==

时，ξ～13,2B ??

???

. 故13

322

E np ξ==?

=，()113131224D np p ξ??=-=??-= ???.

（2）ξ的可取值为0，1，2，3.

()()()2

2011P q p pq ξ==--=；

()()()()2

1

32211112P q q q C p p q p q ξ==-+--=+； ()()()122322112P qqC p p q p pq p ξ==-+-=+；

()23P qp ξ==. ξ的分布列为

E ξ=0×2pq +1×()322q p q ++2×()

232pq p ++3×2qp =1+p .．

4．解：（1）由21n n n a a a +≤-得21n n n a a a +≤-

∵在数列{}n a 中0n a >，∴10n a +>，∴2

0,01n n n a a a ->∴<<

故数列{}n a 中的任意一项都小于1.

（2）由（1）知1011

n a <<=，那么2

2

21111111()2

442

a a a a ≤-=--+≤<， 由此猜想：1

n a n

<

（n ≥2）.下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，显然成立；

②当n=k 时（k ≥2,k ∈N ）时，假设猜想正确，即112

k a k <≤， 那么2

2212221111111111()()242411

k k k k k k a a a a k k k k k k +--≤-=--+<--+=-=<=

-+， ∴当n=k+1时，猜想也正确

综上所述，对于一切*

n N ∈，都有1n a n

<。