2019年高考数学一轮复习：正态分布

2019年高考数学一轮复习：正态分布

正态分布

1．正态曲线的性质

(1)正态曲线的定义

函数φμ，σ(x)＝

1

2πσ

2

2

2

)

(

eσ

μ

-

-

x

，x∈(－∞，＋∞)，

其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线．简称__________．

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴____________，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线____________对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值__________；

④曲线与x轴之间的面积为____________；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图甲所示．

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越__________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

2．正态分布的定义与简单计算

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

①P(μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

可以看到，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．

自查自纠

1．(1)正态曲线

(2)①上方②x＝μ③1

σ2π

④1⑤μ⑥小大

2．(1)∫b aφμ，σ(x)dx X～N(μ，σ2) (2015·湖北)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

解：由正态密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合所给图象可得μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，B错误；对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误，故选C.

(2017·惠州二调)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，1)，若P(ξ<3)＝0.977，则P(－1<ξ<3)＝()

A．0.683 B．0.853 C．0.954 D．0.977

解：因为已知随机变量ξ服从正态分布N(1，1)，所以正态曲线关于直线x＝1对称，又P(ξ<3)＝0.977，所以P(ξ>3)＝1－0.977＝0.023，所以P(－1<ξ<3)＝1－P(ξ<－1)－P(ξ>3)＝1－2P(ξ>3)＝1－0.046＝0.954.故选C.

(2015·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()

A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

解：P(0

1

2P(－1

1

2×0.682 6＝0.341 3，落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.341 3＝3 413.故选C.

(2017·黄石九月调考)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，δ2)，且P(－2≤ξ≤2)＝0.4，则P(ξ>2)＝________．

解：P(ξ>2)＝

1－P（－2≤ξ≤2）

2＝0.3.故填0.3.

(2016·青岛模拟)某班有50名同学，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(110，102)，已知P(100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．

解：数学成绩ξ的正态曲线关于直线x＝110对称，因为P(100≤ξ≤110)＝0.34.所以P(ξ≥120)＝

P(ξ≤100)＝1

2×(1－0.34×2)＝0.16. 数学成绩在120

分以上的人数为0.16×50＝8.故填8.

类型一正态分布的概念与性质

已知三个正态分布密度函数φi(x)＝

1

2πσi

2

2

2

)

(

e i

i

x

σ

μ

-

-

(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则()

A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3

B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3

D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

解：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，则

1

2πσ1

＝

1

2πσ2

＞

1

2πσ3

，即σ1＝σ2＜σ3.故选D.

【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大都可由φμ，σ(x )的解析式推知．如σ一定，当x <μ且x 增大时，(x －μ)2减小?－（x －μ）

2

2σ2

增大?2

22)(e

σμ--x 增

大?φμ，σ(x )在x ＝μ左侧单调递增．其他类似可得．

某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )

A ．甲学科总体的方差最小

B ．丙学科总体的均值最小

C ．乙学科总体的方差最小

D ．甲、乙、丙的总体的均值不相同

解：由图象可知三个图象的对称轴相同，即三学科的均值相同，甲学科成绩的正态分布图象最瘦高，说明甲学科成绩最集中，方差最小．故选A.

类型二 正态分布的计算问题

(2017·石家庄模拟)设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4. A ．12 076 B ．13 174 C ．14 056 D ．7 539 解：由题意得，P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8， 所以P (－1

所以P (0

2P (0

故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，故选B.

【点拨】正态分布计算的关键是在充分利用正态曲线的对称性；随机模拟的关键是计算面积(长度、体积)．

设X ～N (1，22)，试求

(1)P (－1

解：因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1

(2)因为P (3

所以P (3

2[P (－3

＝1

2[P (1－4

2[P (μ－2σ

2×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，

所以P (X ≥5)＝1

2[1－P (－3

＝1

2[1－P (1－4

2[1－P (μ－2σ

2

(1－0.954 4)＝0.022 8. 类型三 正态分布的实际应用

(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．

(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，

μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生

产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺

经计算得x —

＝116∑i ＝116

x

i

＝9.97，s ＝

116∑i ＝1

16

（x i －x ）2＝116（∑i ＝1

16x 2

i －16 x 2）≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2，…，

16.

用样本平均数x 作为μ的估计值μ^

，用样本标准

差s 作为σ的估计值σ^

，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ

解：(1)抽取一个零件的尺寸在(μ～3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6)，因此

P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8， X 的数学期望为E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，

μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个

零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

②由x —

＝9.97，s ＝0.212，得μ的估计值为μ^

＝9.97，

σ的估计值为σ^

＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1

15

(16×9.97－9.22)＝10.02，

因此μ的估计值为10.02.

i ＝116

x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972

≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为1

15

(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，

因此σ的估计值为0.008≈0.09.

【点拨】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴X ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可

求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x —

和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x —，

σ2近似为样本方差s 2.

①利用该正态分布，求P (187.8

表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x—和样本方差s2分别为

x—＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋

200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而

P(187.8

＝0.682 6.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，

所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.

1．正态曲线的性质特点可用来求其数学期望μ和标准差σ：正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，据此结合图象可求μ；正态曲线在x＝μ处达到峰

值

1

σ2π

，据此结合图象可求σ.

2．能熟练应用正态曲线的对称性解题，并注意以

下几点：

(1)正态曲线与x轴之间的面积为1；

(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等；

(3)几个常用公式：

①P(X

②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)(即第(2)条)；

③若b>0，则P(X<μ－b)＝1－P（μ－b

2.

3．无论是正态分布的正向或逆向的应用问题，关键都是先确定μ，σ，然后利用对称性，将所求概率转化到三个特殊区间．

1．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2

2

)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x)，其图象如图所示，则有()

A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2

解：f (x )＝1

2πσ

e

－（x －μ）2

2σ2

中x ＝μ是对称轴，故

μ1<μ2；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小曲线越“高瘦”，故σ1<σ2.故选A.

2．(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<4)＝( )

A ．0.6

B ．0.4

C ．0.3

D ．0.2 解：由P (ξ<4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.

又正态曲线关于x ＝2对称． 则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，

所以P (0<ξ<4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6. 故选A.

3．(2016·云南师大附中月考)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξ＜a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解：根据对称性有a －5＋a ＋1

2＝4，得a ＝6.故选

C.

4．(2016·新余二模)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－2，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ

A ．430

B ．215

C ．2 718

D ．1 359

解：因为μ＝－2，σ＝1，所以P (－4

2＝0.021 5，故落入阴影部分的点的个

数约为10 000×0.021 5＝215，故选B.

5．(2016·南昌模拟)在正态分布N ????0，1

9中，正态总体在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内取值的概率为( )

A ．0.097

B ．0.046

C ．0.03

D ．0.002 6

解：因为μ＝0，σ＝1

3，所以P (X <－1或X >1)＝

1－P (－1≤X ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.故选D.

6．给出下列函数(其中μ∈(－∞，＋∞)，σ>0)：

①f (x )＝12πσ

e －（x +μ）

22σ

2；

②f (x )＝12π

e －（x -μ）

24

；

③f (x )＝12·2πe －x

2

4

；

④f (x )＝1π

e －(x －μ)2

，

则可以作为正态分布密度函数的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解：对于①，f (x )＝12πσ

e －（x +μ）

22σ

2

.由于μ∈(－∞，

＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分

布密度函数；

对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝1

2π

e－

（x-μ）2

2.若σ

＝2，则应为f(x)＝

1

2π·2

e－

（x-μ）2

4，均与所给函

数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；

对于③，它就是当σ＝2，μ＝0时的正态分布密度函数；

对于④，它是当σ＝

2

2时的正态分布密度函数．

所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．故选C.

7．(2017·广州模拟)按照国家规定，某种大米质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为________．

解：由题意得P(ξ<9.9)＝p(ξ>10.1)＝1－P（9.9≤ξ≤10.1）

2＝0.02，从而分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为0.02×2000＝40(人)，故填40.

8．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．

解：由于三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，所以每个元件使用寿命超过1 000小时的概率P(X≥1 000)＝

1

2.所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P＝????

1－

1

2×

1

2×

1

2＝

3

8.故填

3

8.

9．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝

1

82π

.

(1)求正态分布密度函数的解析式；

(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？

解：(1)由于正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此得μ＝80，

1

2πσ

＝

1

82π

，所以σ＝8.

故正态分布密度函数的解析式是

φμ，σ(x)＝

1

82π

e－

（x-8）2

128.

(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.

所以零件尺寸位于区间(72，88)内的概率是0.682 6.

因此尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的68.26%.

10．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．

(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生分数线是多少？

解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，

因为X～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10.

所以P(X≥90)＝

1

2[1－P(30

1

2(1－0.997 4)＝0.001 3.

又P(X≥90)＝

13

n，所以

13

n＝0.001 3.

所以n＝10 000.

(2)设受奖学生的分数线为x0.

则P(X≥x0)＝228

10 000＝0.022 8.

因为0.022 8<0.5，所以x0>60.

所以P(120－x0

所以x0＝60＋20＝80.

故受奖学生的分数线是80分．

11．(2017·四川广元三诊)质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：

(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为S21，S22，试比较S21，S22的大小(只要求写出答案)；

(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20的概率；

(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)．其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差S22，设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的桶数，求X的数学期望．

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得S2＝142.75≈11.95；

②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

解：(1)a＝0.015，S21>S22.

(2)设事件A：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，

事件B：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，

事件C：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一桶的质量指标不大于20，且另一桶大于20，则P(A)＝0.20＋0.10＝0.3，P(B)＝0.10＋0.20＝0.3，

所以P(C)＝P(A—)P(B)＋P(A)P(B—)＝0.42，

(3)计算得：x—＝26.5，由条件得Z～N(26.5，142.75)，

从而P(26.5－11.95

所以从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.682 6，

根据题意得X～B(10，0.682 6)，

所以E(X)＝10×0.682 6＝6.826.

某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)试估计该校高三年级男生的平均身高； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm )的人数；

(3)在这50名身高在172 cm 以上(含172 cm )的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

参考数据： 若ξ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.

解：(1)由频率分布直方图可计算该校高三年级男生平均身高约为

()

162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1

100×4＝168.72(cm )．

(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm )的人数为10.

(3)因为P (168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.997 4，

所以P (ξ≥180)＝1－0.997 4

2＝0.001 3，

0．001 3×100 000＝130.

所以全市约前130名的身高在180 cm 及以上，这50人中180 cm 及以上的有2人．随机变量ξ可取0，1，2，于是

P (ξ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝1)＝C 18C 12

C 210＝1645

，

P (ξ＝2)＝C 22

C 210＝145

.

所以E (ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝2

5

.