空间直角坐标系与两点间的距离
11．6空间直角坐标系与两点间的距离
【知识网络】
1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
2．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标．
3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离．
【典型例题】
[例1]（1）在空间直角坐标系中，点（1，2，－3）关于x轴的对称点的坐标是( )
A．（1，－2，3）Ｂ．（－1，2，3）Ｃ．（－1，－2，3）Ｄ．（1，－2，－3）
（2）已知点A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O为坐标原点，则O，A，B三点
A．可以构成直角三角形B．可以构成钝角三角形
C．可以构成锐角三角形D．不能构成三角形
（3）已知线段AB两端点坐标为A（2，－3，4），B（2，5，－3），则与线段AB平行的坐标平面（）
A．是xoy平面B．是yoz平面C．是xoz平面D．不存在
（4）点A（1，0，1），AB中点坐标为（3，－4，9），则B点坐标是．
（5）与两点M（1，0，0），N（－1，0，0）等距离的点的坐标（x,y,z)满足的条件是．
[例2]已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。
[例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），
（1）求面对角线的长度；
（2）该三棱柱是否有外接球？若有，求出球的方程，若没有，说明Array理由．
[例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积．
【课内练习】
1．在空间直角坐标系中，点（1，－1，2）关于y轴的对称点的坐标是( ) ．（1，－1，2）Ｂ．（－1，1，2）Ｃ．（－1，－1，－2）Ｄ．（－1，1，－2）2．点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0）
B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5）
C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5）
D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0）
3．在空间直角坐标系中，线段AB的中垂面是yoz平面，点A（1，2，3），则点B的坐标是（）A．（－1，2，3）B．（1，－2，3）C．（1，2，－3）D．（1，－2，－3）4．在xoy平面内，到点（1，－1，2）距离等于3的点的轨迹是（）
A．一点B．一条直线C．两条平行线D．一个圆
5．点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是．
6．已知两点A（0，－2，3），B（2，1，x），|AB|=5，则x等于．
7．在y轴上任意一点M到点N（－2，1，3）距离的最小值是．
8．已知三点A（－1，1，2），B（1，2，－1），C（a，0，3），这三点能共线吗？若能共线，求出a的值；若不能共线，说明理由．
9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，部分顶点的坐标分别是
A（－1，－1，－1）B（－1，3，－1）C （4，3，－1）A1（－1，－1，3）
求C1、D1点的坐标．
10．对于任意实数x、y、z
11．6空间直角坐标系与两点间的距离
A组
1．在空间直角坐标系中，点（2，－1，0）关于yoz平面的对称点的坐标是( ) ．（2，－1，0）Ｂ．（－2，1，0）Ｃ．（－2，－1，0）Ｄ．（2，1，0）
2．已知点A（1，2，3），B（x,y,z)，若线段AB与xoz平面平行，则一定有（）A．x=1 B．y=2 C．z=3 D．x=1且z=3
3．点（a,b,c)与点（－a,－b, c)一定关于（）
A．x轴对称B．y x轴对称C．z轴对称D．平面xoy对称
4．在z轴上到两点A（－4，1，7），B（3，5，－2）距离相等的点是．
5．点A（－2，1，－3）到x轴的距离是．
6．试利用空间两点间距离公式，求底面边长为1，高为1，的正六棱柱的对角线的长．
7．已知P（1，0，0）、Q（0，0，1）、R（0，1，0）、S（1，1，1，），求以点PQRS为顶点的三棱锥的外接球的方程．
8．已知点A（1，1，0），对于oz轴正半轴上任意一点P，在oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB 恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由．
B组
1．在空间直角坐标系中，点（3，－4，5）关于原点的对称点的坐标是( )
．（3，4，－5）Ｂ．（－3，4，5）Ｃ．（3，4， 5）Ｄ．（－3，4，－5）2．在空间，所有到定点M的距离等于1的点构成（）
A．两个点B．一条直线C．一个平面D．一个球面
3．在空间，方程y=2的几何意义是（）
A．一条直线B．一个平行于y轴的平面
C．一个垂直于y轴的平面D．一个球面
4．点（3，－4，－5）到xoy平面的距离是．
5．已知两球的方程分别为：（x－2)2＋(y－1)2＋(z＋1)2=4, （x－4)2＋y2＋(z＋1)2=1,那么这两球的位置关系是．
6．已知三角形三个顶点A（1，－2，－3），B（－1，－1，－1），C（0，0，－5）．求证：△ABC 为直角三角形．
7．若平面α经过线段AB的中点，且线段AB⊥平面α，则称α是线段AB的中垂面．若已知A（－1，0，2），B（3，2，0），求线段AB的中垂面与oz轴的交点坐标．
8．若球（x－1)2＋(y＋2)2＋(z＋1)2=9被平面z=a所截圆的面积大于π，求实数a的取值范围．
11．6空间直角坐标系与两点间的距离
【典型例题】
[例1] （1）A ．提示：点(a,b,c)关于x 轴的对称点是(a ,－b ,－c )． （2）A ．提示：|AO |＋|BO|=|AB|．
（3）B ．提示：（x 1,y 1,z 1)与（x 2,y 2,z 2)中，x 1= x 2． （4）（5，－8，17）．提示：用中点坐标公式． （5）x=0．提示：所求点集是yoz 平面．
例2、因直径两端点关于球心对称，设另一端点的坐标为（x ,y,z)则
－1＋x 2 =1，x=3；2＋y 2 =1 ，y=0；2＋y
2 =2，y=2． 故直径的另一个端点的坐标为（3，0，2） 球的半径r 2=(1＋1)2＋(1－2)2＋(2－2)2=5 球的面积为20π． .
例3、（1）由题知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，C （0，0，0） A 1（0，1，1），B （1，0，0），得A （0，1，0），B 1（1，0，1），C 1（0，0，1）
由两点间的距离公式知，面对角线A
1B 与AB 1=
面对角线A
1C 与AC 1及BC 1与B 1C =（2）解法一 记A 1B 与AB 1交点为E ，A 1C 与AC 1交点为F ，在△A 1BC 中，EF ∥BC ，而BC ⊥面A 1CAC 1，∴EF ⊥面A 1CAC 1，四边形A 1CAC 1为矩形，直线EF 上的任意一点到A 1、C 、A 、C 1距离相等；
又∵四边形AA 1B 1B 为矩形，E 到A 、A 1、B 1、B 四点距离相等
∴E 点到A 、A 1、B 1、B 、C 、C 1六点距离相等，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1有外接球，球心在E 点。
由于E 点是线段A 1B 的中点，故E 点的坐标为（12 ，12 ，12 ），球的半径r=2
球的方程为（x －12 )2＋(y －12 )2＋(z －12 )2= 3
4
（2）到点A 1、C 、A 、C 1距离相等的点，在过A 1C 与AC 1交点且与面A 1CAC 1垂直的直线上，该直线上的点满足y= 12 ,z= 1
2
．
设存在球心P（x，12，12）则必有
PA=PB
=
解之得：x=12
易验证点P到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等，直三棱柱ABC—A1B1C1有外接球，球心在P
（12，12，12）。球的半径r=12
A1
球的方程为（x－12)2＋(y－12)2＋(z－12)2= 34
解法三同解法二，到点A1、C、A、C1距离相等的点，在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的直线上，该直线上的点满足y= 12,z= 12．同理，到B1、B、C、C1四点距离相等的点，一定在过
A1B与AB1交点且与面AA1B1B垂直的直线上，该直线上的点满足x= 1
2,z=
1
2．综合得，球心为P
（12，12，12）（下略）
例4、以点A为原点，面ABC所在平面为x oy面，将AB置于o x轴正半轴上，建立空间直角坐标系，如图．
AC=AB =2，BC=1，易求得S△ABC=1
2
×1
A（0，0，0），B（2，0，
0）C，7
4
，0）
设D（x,y,z)
由DA=1得x2＋y2＋z2=1 ①
由DC=2，得（x－74
)2＋(y－
4
)2＋z2= 4 ②
由DB=2，得（x－2）2＋y2＋z2=4 ③由①③得－4x＋4=3 x=14④
将①④代入②得1－72x＋4916＋15
16
y=4
y=
60
⑤
将④⑤代入①得116＋1
16×15＋z2
=1
z 2=
14
15
z=±
∴D 点到平面ACB 的距离为15
． 【课内练习】
1．C ．提示：点(a,b,c)关于y 轴的对称点是(－a , b ,－c )． 2．B ．提示：xoy 平面内的点，z=0．
3．A ．提示：相当于求点关于平面的对称点坐标． 4．D ．提示：联想圆锥．
5．（－4， 1，－2）．提示：点(a,b,c)关于原点的对称点是(－a , －b ,－c )． 6．3±2 3 ．提示：用两点间距离公式，解方程． 7．13 ．提示：联想长方体．
8．不能共线．提示：数形结合知，若ABC 三点共线，则CA ＋AB=CB ，将坐标代入后，方程无解． 9．C 1（4，3，3）D 1（4，－1，3）．提示：C 1点与C 有相同的x ，与B 有相同的y ，与A 1有相同的z ．D 1点与A 1有相同的y 和z ，与C 有相同的x ．
10x ,y,z)到（0，0，0）的距离与到（－1，2，1）的距离之和，最
小值即线段的长．
11．6空间直角坐标系与两点间的距离
A 组
1．C ．提示：点(a,b,c)关于yoz 平面的对称点是(－a , b , c )． 2．B ．提示：数形结合，画出一个长方体看一看． 3．C ．提示：取一个特殊数据，画图看规律．
4．（0，0，14
9 ）．提示：设出点的坐标，用两点间距离公式建立方程．
5．10 ．提示：先求A 点在x 轴上的射影．
6．2， 5 ．提示：建立直角坐标系，确定各点的坐标，用两点间的距离公式．
7．（x －12 )2＋(y －12 )2＋(z －12 )2= 3
4
,提示：以PQRS 四点为顶点构造一个正方体运算最方便．
8．存在B（0，1，0）．提示：设点P、B的坐标，用勾股定理，或用三垂线定理．
B组
1．D．提示：点(a,b,c)关于原点的对称点是(－a,－b, －c)．
2．D．提示：类比平面上圆的定义．
3．C．提示：画张图观察．
4．5．提示：所求距离是|－5|=5．
5．相切．提示：球的方程揭示了动点到定点的距离等于定长，定点即球心，定长即半径，我们用两点间距离公式，判断两球心之间的距离与半径之和的大小关系．
6．提示：证明两边长的平方和等于第三边长的平方．
7．（0，0，－2）提示：平面上的点构成的集合是空间到线段两端点距离相等的点的集合，依据这一性质列方程并化简，可得平面的方程，求交点时只须令x=0，y=0．
8．－4＜a＜2,提示：球心（1，－2，－1）到z=a的距离为∣a＋1∣,球的半径为3，若平面与球相交，
π[9－（a＋1)2]＞π,解之即得．
1.解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积 ——代几结合，突破面积及点的存在性问题 ◆类型一直接利用面积公式求图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是() A．2 B．4 C．8 D．6 第1题图第2题图 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC 的面积为________． ◆类型二利用分割法求图形的面积 3．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(3，2)，C(－2，3)，D(－3，0)．求四边形ABCD的面积． ◆类型三利用补形法求图形的面积 4．如图，已知△ABC，点A(－2，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求△ABC的面积． ◆类型四探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性
5．如图，在平面直角坐标系中，点A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)． (1)求S 四边形ABCO ； (2)连接AC ，求S △ABC ； (3)在x 轴上是否存在一点P ，使S △P AB ＝10？若存在，请求点P 的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，a )，B (b ，0)，C (b ，c )三点，其中a 、b 、c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0和(c －4)2≤0. (1)求a 、b 、c 的值； (2)如果在第二象限内有一点P ? ???m ，12，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析 1．B 2.7.5 3．解：分别过C 作CE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥x 轴于F .由题意，得DE ＝1，CE ＝3，BF ＝2，AF ＝1，EF ＝5.S 四边形ABCD ＝S △CDE ＋S 梯形CEFB ＋S △ABF ＝12×1×3＋12×(3＋2)×5＋12×1×2＝15. 4．解：过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，过点C 分别作x 轴、y 轴的垂线，交于点D ，E ，F 三点，如图所示．由题意，得CD ＝EF ＝5，DE ＝CF ＝7，AD ＝3，CD ＝5，AE ＝4，BE ＝3，BF ＝2. 方法一：S △ABC ＝S 长方形CDEF －S △ACD －S △ABE －S △BCF ＝CD ·DE －12AD ·CD －12AE ·BE －12 BF ·CF ＝5×7－12×3×5－12×4×3－12×2×7＝292 . 方法二：S △ABC ＝S 梯形BCDE －S △ACD －S △ABE ＝12(BE ＋CD )·DE －12AD ·CD －12AE ·BE ＝12 ×(3＋5)×7－12×3×5－12×4×3＝292 . 方法三：S △ABC ＝S 梯形CAEF －S △ABE －S △BCF ＝12(AE ＋CF )·EF －12AE ·BE －12BF ·CF ＝12×(4＋7)×5－12×4×3－12×2×7＝292 . 方法点拨：本题运用了补形法，对于平面直角坐标系中的三角形，可以通过作垂线，运用补形法将三角形补形，将它转化为便于计算面积的图形，通过这些图形面积的和差关系来求原三角形的面积． 5．解：(1)过点B 作BD ⊥OA 于点D .由题意，得OC ＝2，OD ＝3，AD ＝1，BD ＝4.S 四边形ABCO ＝S 梯形BCOD ＋S △ABD ＝12×(2＋4)×3＋12 ×1×4＝11； (2)S △ABC ＝S 四边形ABCO －S △AOC ＝11－12 ×2×4＝7； (3)存在．设点P 的坐标为(x ，0)，则AP ＝|4－x |，由题意，得12 ×4×|4－x |＝10，∴|4－x |＝5，∴x ＝9或x ＝－1，∴点P 的坐标为(9，0)或(－1，0)． 6．解：(1)∵|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4； (2)∵P ? ???m ，12在第二象限，∴m <0.S 四边形ABOP ＝S △ABO ＋S △AOP ＝12OA ·OB ＋12OA ·|m |＝12 ×2×3＋12×2×(－m )＝3－m ；
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)
[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面
画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式
2、解决问题 PP2 3、讨论结果(1) AB （3）已知平面上的两点 （1 ）由图形观察得出 (2) OM 3, BM 由勾股定理可求得 (3) 由图易知PQ P>Q PQ P2Q X A X B,CD PX, y i), F2(x2, y2)，如何求 OB AB X A X B， CD PR的距离RP2。 平面直角坐标系中的距离公式（一一）两点间的距离公式教学目标与要求 1知识方面： （1 ）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程； （2 ）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。 2、能力方面： 培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力 3、情感态度价值观方面：培养学生不断超越自我的创新品质教学重点： （1）平面内两点间的距离公式；（2）如何建立适当的直角坐标系 教学难点： 如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题教学过程： 一、导入新课 已知平面上的两点P l（x i, y i）, P2（x2, y2），如何求R（x i, yd P2（X2, y2）的距离RP。 二、新知探究 1、提出问题：（1）如果A、B是X轴上两点, X A,x B,y c, y D，那么AB , CD又怎么样求 （2）求B（3,4）到原点的距离; C、D是Y轴上两点，它们的坐标分别是 y c y D ； y c PP2
(2) 求B(3,4)到原点的距离是 5; 2 2 (3) RP 2 Q X 2 % 讨2 y i 三、例题精讲 例1、求下列两点间的距离。 (1) A( 1,0), B(2,3); (2) A(4,3), B(7, 1) 解：(1)AB J 2 1 2~3 0 2 3J2 ； 2 2 7 4 1 3 5 ???△ ABC 是直角三角形。 求证：△ ABC 为等腰三角形。 证明：作AO 丄BC,垂足为O,以BC 所在直线为X 轴，以OA 所在直线为Y 轴，建立直角坐 标系， 设 A 0,a , B b,0 , C c c,0 , D d,0 - y 因为 AD |2 I BDgDC I AB 2 , 例2、已知△ ABC 的三个顶点是 A( 1,0), B(1,0),C (1，f)，试判断厶 ABC 的形状。 解：??? AB 2 , AC BC 2 1，有 AC 2 |BC |2 AB 例3、△ ABC 中，D 是BC 边上任意一点 (D 与B , C 不重合)，且 AD 2 BDgDC | AB ,
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
冀教版八年级数学下册专题练习：平面直角坐标系中求面积
冀教版八年级数学下册专题练习：平面直角坐标系中求面 积 ◆类型一有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形直接求面积 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是() A．2 B．4 C．8 D．6 第1题图第2题图 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC 的面积为________． ◆类型二利用割补法求图形的面积 3．如图，四边形ABCD的面积为() A．16.5 B．21 C．17 D．18 第3题图第4题图 4．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，－1)，B(－1，4)，C(－3，1)，则S△ABC＝________． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，3)，B(4，0)，C(－4，－3)，连接AC交x轴于点D，且D点的坐标为(－2，0)，求△ABC的面积．
6．求图中四边形ABCD的面积． ◆类型三与图形面积相关的点的存在性问题 7．(2017·定州市期中)如图，已知A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3. (1)求点B的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析 1．B 2.7.5 3.B 4.8 5．解：根据题意得BD ＝4－(－2)＝6.过C 点作CE ⊥x 轴于E ，则CE ＝3.∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12BD ·OA ＋12BD ·CE ＝12×6×3＋12 ×6×3＝18. 6．解：如图，过点A 作EH ∥x 轴，过点B 作EF ∥y 轴，过点D 作HG ∥y 轴，过点C 作FG ∥x 轴．S 四边形ABCD ＝S 长方形EFGH －S △AEB －S △AHD －S △BFC －S △CDG ＝8×6－12×4×3－12 ×4×4－12×2×3－12 ×2×6＝25. 7．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，此时点B 的坐标为(2，0)．点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，此时点B 的坐标为(－4，0)．综上所述，点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)． (2)△ABC 的面积为12 ×3×4＝6. (3)设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203 .点P 在y 轴正半轴时，P ????0，203，点P 在y 轴负半轴时，P ????0，－203，综上所述，点P 的坐标为? ???0，203或????0，－203.
空间直角坐标系 空间两点间的距离公式(解析版)
空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________
C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间
平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式[1]
两点间的距离公式 白河一中 邓启超 教学目标与要求 1、知识与技能： （1）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程； （2）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。 2、过程与方法 ： 培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力 3、情感态度与价值观： 培养学生不断超越自我的创新品质 教学重点： （1）平面内两点间的距离公式；（2）如何建立适当的直角坐标系 教学难点： 如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 教学过程： 第一课时 一、导入新课 1.平面上任给两点A ，B ，通常用AB 表示两点间的距离 2.已知平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）如何求AB 的距离AB ？ 二、新知探究 1、提出问题： （1）如果A 、B 是X 轴上两点，C 、D 是Y 轴上两点，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ， 那么,AB CD 又怎么样求？ 练习：已知数轴上A 、B 两点的横坐标x 1,x 2分别是 A ：x 1=8，x 2=-1； B ：x 1=-4，x 2=0； C ：x 1=2a-b,x 2=a-2b 求AB 和BA （2）求(3,4)B 到原点的距离； （3）已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求12,P P 的距离12PP 。 2、解决问题 （1）画图形观察可得出：A B AB x x =-，C D CD y y =-；
（2）3,4OM BM ==， 由勾股定理可求得OB =5 （3）由图易知1 1221PQ N N x x ==- 2 1221PQ M M y y ==- 2221212P P P Q P Q =+ 12PP ?=3、讨论结果 （1）A B AB x x =-，C D CD y y =-； （2）求(3,4)B 到原点的距离是5； （3）12PP =特殊的：当x 1=x 2时，2121y y p p -=； 当y 1=y 2时，2121x x p p -= 三、例题精讲 例1、求下列两点间的距离。 （1）(1,0),(2,3)A B -；（2）(4,3),(7,1)A B - 解：（1）AB = = （2）5AB == 例2、已知△ABC 的三个顶点是1(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。 解：∵2AB =，AC == 1BC ==，有222AC BC AB += ∴△ABC 是直角三角形。 四、课堂练习
平面直角坐标系中面积及坐标的求法
平面直角坐标系中面积及坐标的求法 1 、平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 2、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。 3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。
4、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。 5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积； 6、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积12， 求点C的坐标。
7、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB 与x 轴相交于点D ，求点D 的坐标。 8、已知，点A （-2，0）B （4，0）C （2，4） （1）求△ABC 的面积； （2）设P 为x 轴上一点，若12 APC PBC S S = ，试求点P 的坐标。 9、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S =，求点P 的坐标 10、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，18ABC S =， （1）求点C 的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得1 2 APC ABC S S = 。若存在，请求出P 的坐标，若 不存在，说明理由。
高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》
《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分
我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。
2.4空间直角坐标系与空间两点的距离公式
2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
直角坐标系中求三角形面积的方法
面积问题 直角坐标系中求三角形面积的方法： 1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点； (1)求△AOB的面积； (2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积； (3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积； 2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）． （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B， 若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4， 直接写出P点的坐标． 3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
空间直角坐标系与空间两点的距离公式
空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂 直的数轴，通常用x、y、z 表示. 轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2. 在空间直角 坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的 正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°. 空间点的坐标 1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标； 2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标； 3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x， y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量. 已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是 所求的点. 空间点的坐标 1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面; 2. 坐标平面上点的坐标的特征：
湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式
§４．３．２ 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标 １．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 ２．过程与方法 ３．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 １课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式
五、教学设计 （一）导入新课 思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题 １平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.
平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式复习进程
平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式 教学目标与要求 1、知识方面： （1）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程； （2）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。 2、能力方面 ： 培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力 3、情感态度价值观方面： 培养学生不断超越自我的创新品质 教学重点： （1）平面内两点间的距离公式；（2）如何建立适当的直角坐标系 教学难点： 如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 教学过程： 一、导入新课 已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP 。 二、新知探究 1、提出问题：（1）如果A 、B 是X 轴上两点，C 、D 是Y 轴上两点，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ，那么,AB CD 又怎么样求？ （2）求(3,4)B 到原点的距离； （3）已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求12,P P 的距离12PP 。 2、解决问题 （1）由图形观察得出 A B AB x x =-，C D CD y y =-； （2）3,4OM BM ==， 由勾股定理可求得OB （3）由图易知1 1221PQ N N x x ==- 2 1221PQ M M y y ==- ∴2221212PP PQ P Q =+()()22122121PP x x y y ?=-+- 3、讨论结果 （1）A B AB x x =-，C D CD y y =-；
（2）求(3,4)B 到原点的距离是5； （3）()()22122121PP x x y y =-+- 三、例题精讲 例1、求下列两点间的距离。 （1）(1,0),(2,3)A B -； （2）(4,3),(7,1)A B - 解：（1）()()22213032AB = ++-=； （2）()()2274135AB = -+--= 例2、已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(, )2A B C -，试判断△ABC 的形状。 解：∵2AB =，221310322AC ????=++-= ? ? ????? ， 221310122BC ????=-+-= ? ? ???? ?，有222AC BC AB += ∴△ABC 是直角三角形。 例3、△ABC 中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22AD BD DC AB +=g ， 求证：△ABC 为等腰三角形。 证明：作A O ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为X 轴，以OA 所在直线为Y 轴，建立直角坐标系， 设A ()0,a ，B (),0b ，C (),0c c ，D (),0d 因为22 AD BD DC AB +=g ， 所以，由两点间距离公式可得 2222()()b a d a d b c d +=++-- ()()()()d b d b d b c d ?--+=-- 又0d b -≠ 故b d c d --=- 即b c -= 所以AB AC =，即△ABC 为等腰三角形。
空间直角坐标系与两点间的距离
11．6空间直角坐标系与两点间的距离 【知识网络】 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标． 3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离． 【典型例题】 [例1]（1）在空间直角坐标系中，点（1，2，－3）关于x轴的对称点的坐标是( ) A．（1，－2，3）Ｂ．（－1，2，3）Ｃ．（－1，－2，3）Ｄ．（1，－2，－3） （2）已知点A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O为坐标原点，则O，A，B三点 A．可以构成直角三角形B．可以构成钝角三角形 C．可以构成锐角三角形D．不能构成三角形 （3）已知线段AB两端点坐标为A（2，－3，4），B（2，5，－3），则与线段AB平行的坐标平面（） A．是xoy平面B．是yoz平面C．是xoz平面D．不存在 （4）点A（1，0，1），AB中点坐标为（3，－4，9），则B点坐标是． （5）与两点M（1，0，0），N（－1，0，0）等距离的点的坐标（x,y,z)满足的条件是． [例2]已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。 [例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），
（1）求面对角线的长度； （2）该三棱柱是否有外接球？若有，求出球的方程，若没有，说明Array理由． [例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积．
【课内练习】 1．在空间直角坐标系中，点（1，－1，2）关于y轴的对称点的坐标是( ) ．（1，－1，2）Ｂ．（－1，1，2）Ｃ．（－1，－1，－2）Ｄ．（－1，1，－2）2．点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0） B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5） C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5） D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0） 3．在空间直角坐标系中，线段AB的中垂面是yoz平面，点A（1，2，3），则点B的坐标是（）A．（－1，2，3）B．（1，－2，3）C．（1，2，－3）D．（1，－2，－3）4．在xoy平面内，到点（1，－1，2）距离等于3的点的轨迹是（） A．一点B．一条直线C．两条平行线D．一个圆 5．点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是． 6．已知两点A（0，－2，3），B（2，1，x），|AB|=5，则x等于． 7．在y轴上任意一点M到点N（－2，1，3）距离的最小值是． 8．已知三点A（－1，1，2），B（1，2，－1），C（a，0，3），这三点能共线吗？若能共线，求出a的值；若不能共线，说明理由． 9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，部分顶点的坐标分别是 A（－1，－1，－1）B（－1，3，－1）C （4，3，－1）A1（－1，－1，3） 求C1、D1点的坐标．
《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
空间两点间的距离公式 （一）教学目标 1．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法 3．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 （二）教学重点、难点 重点：空间两点间的距离公式； 难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。 （三）教学设计 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式
巩固练习 1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：
|.求MN 的长. 备选例题 例1 已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||AB =A 的坐标为 . 【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标. 【解析】由题意设P (0，y ，z )，则
222222 2 (03)(2)(5)(03)(5)(2) y z y z y z +=??-+-+-=-+-+-? 解得：1 1 y z =??=? 故点P 的坐标为(0，1，1) 例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标. 【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =??=? 所以==即4607310y z y z --=??+-=?，所以12y z =??=-?， 所以P 的坐标是(0，1，–2).
直角坐标系中面积的计算
坐标准系中有关面积的计算题 1、直线y=x+1与抛物线y=x2的交点分别为A、B，求△AOB的面积 2、直线y= -2x+1与抛物线y=x2-2的交点分别为A、B，抛物线y=x2-2与y轴的交点为C，求△ACB的面积 3、抛物线y=（x+1）2-4与x轴交于A，B，点A在点B的左侧，抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，求四边形ABCD的面积，△ACD的面积。 4、如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，抛物线y=x2-x-6与x轴交于A、B两点（点 C，如果点M在y轴右侧的抛物线上，且S△AMO = 3 2 S△COB,
1、如图，抛物线y=x 2-2x-3，与x 轴从左至右交于点M 、N ，与y 轴交于点P ，顶点为点G 。则： （1）点M 、N 、P 、G 的坐标分别为： M ，N ，P ， G （2）线段OM= ，ON= ，OP= ， MN= 。 (3）连结MP 、PN ，则S △MNP= ， （4）连结PG 、MG ，则S 四OPGN= 。 2、将上题的二次函数y=x 2-2x-3的图象平移后，得到抛物线y=x 2-(2m-1)x+m 2-m-2， 此抛物线交x 轴正半轴从左到右分别于点A 、B ，交y 轴于点C ， 且S △ABC=6 （1）写出点A 、B 坐标（用m 的代数式表示） （2）求出平移后的抛物线的解析式； （3）在平移后的抛物线上是否存在一点D ，使S △ABD=2S △ABC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说出理由。 3、将上题的二次函数y=x 2-2x-3的图象平移后，得到抛物线y=x 2-(2m-1)x+m 2-m-2， 此抛物线交x 轴正半轴从左到右分别 于点A 、B ，交y 轴于点C ，且S △ABC=6 若在y 轴上有一点E ，使△AOC 与△BOE 相似， 试求出点E 的坐标及⊿BOE 的面积 x
(完整版)《空间两点间的距离公式》习题
《空间两点间的距离公式》习题 一、 选择题 1、点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yoz 内的射影，则OB 等于（ ） 2、到定点（1，0，0）的距离小于或等于1的点的集合是（ ） A {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 21} B {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 2=1} C {（x ，y ，z ）|（x-1）+y+z=1} D {（x ，y ，z ）|x 2+y 2+z 21} 3、点P （x ，y ，z ）满足 ，则点P 在（ ） A 以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上 B 以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上 C 以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上 D 无法确定 4、已知三点A （-1，0，1），B （2，4，3），C （5，8，5），则（ ） A 三点构成等腰三角形 B 三点构成直角三角形 C 三点构成等腰直角三角形 D 三点构不成三角形 5、已知A （1-t ，1-t ，t ），B （2，t ，t ），则A 、B 两点间的距离的最小值是（ ） A 5 B 5 C 5 D 115 6、点P(1,3,5)关于原点对称的点/P 的坐标是（ ） A 、(-1,-3,-5) B 、(-1,-3,5) C 、(1,-3,5) D 、(-1,3,5) 7、点B 是点A(1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（ ） A 、 二、填空题 8、已知空间两点A （-3，-1，1），B （-2，2，3），在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距
离相等，则C点的坐标是_____________________。 的三顶点分别为A(3,1,2)，B（4，-2，-2），C（0，5，1），则BC边上的中9、已知ABC 线长为___________________。 10、若P（x，y，z）到A（1，0，1），B（2，1，0）两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是-----------------------。 11、在z轴上与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离的点C的坐标为----------------------。 12、已知点P在z轴上，且满足|PO|=1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是-----------------------。 三、解答题 13、球到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点P的坐标满足的条件。 14、已知A（1，0，1），B（2，-1，0），求线段AB的中垂面的方程 15、若点G到ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为ABC的重心。 已知ABC的三个顶点分别为A（3，3，1），B（1，0，5），C（-1，3，-3），求ABC的重心的坐标。