版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

4.3空间直角坐标系

4.3.1空间直角坐标系

4.3.2空间两点间的距离公式

1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)

2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点)

4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点

)

[基础·初探]

教材整理1空间直角坐标系

阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．

1．空间直角坐标系

空间一点M 的坐标可用有序实数组(

x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( )

(2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )．( )

(3)在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )．( )

(4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．( )

【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.

(2)、(3)、(4)正确．

【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√

教材整理2 空间两点间的距离公式

阅读教材P 136“练习”以下至P 137部分，完成下列问题．

1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2. 2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，

z 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.

在空间直角坐标系中，A (－1,2,3)，B (2,1，m )，若|AB |＝110，则m 的值为________．

【解析】 |AB |＝(－1－2)2＋(2－1)2＋(3－m )2

＝110，

∴(3－m )2＝100,3－m ＝±10.

∴m ＝－7或13.

【答案】 －7或13

[小组合作型]

1111D 1D 、BD 的

中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，

写出E 、F 、G 、H 的坐标．

【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．

【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐

标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为? ??

??0，0，12. 由F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知FM ＝12、FN ＝12

，则F 点 坐标为? ??

??12，12，0. 点G 在y 轴上，其x 、z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为? ??

??0，34，0.由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12、CK ＝18.∴DK ＝78.故H 点坐标为? ??

??0，78，12.

1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；

(2)充分利用几何图形的对称性．

2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．

[再练一题]

1．在棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标.

【解】取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连接OA，OO1，

根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且OA＝

3

2×2

＝3，

以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则正三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标分别为：

A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).

(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；

(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；

(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．

【精彩点拨】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．

【自主解答】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y 轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．

(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，

由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，

y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，

所以P3的坐标为(6，－3，－12)．

(1)求空间对称点的规律方法

空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.

(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：

①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；

②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；

③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；

④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；

⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；

⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；

⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z).

[再练一题]

2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.

【解】由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)．

[探究共研型]

探究1

【提示】 |PQ |＝(1－4)2＋(0－3)2＋(1＋1)2＝22.

探究2 上述问题中，若在z 轴上存在点M ，使得|MP |＝|MQ |，请求出点M 的坐标．

【提示】 设M (0,0，z )，由|MP |＝|MQ |，

得(－1)2＋02＋(z －1)2＝42＋32＋(－1－z )2，

∴z ＝－6.∴M (0,0，－6)．

如图4-

3-1所示，在长方体ABCD -A

1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求线段MN 的长度．

图4-3-1

【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点M 、N 的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．

【自主解答】 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，

∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，

∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，

∵N 为CD 1的中点，

∴N ? ??

??32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，

∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得

|MN |＝

? ??

??32－12＋(3－1)2＋(1－2)2 ＝212.

利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：

[再练一题]

3．如图4-3-2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．

图4-3-2

【解】 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，

∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，

由中点坐标公式可得，

D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，

∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2

＝5，

|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2

＝ 6.

1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为

() A．(－1,0,1)，(－1,2,0)

B．(－1,0,0)，(－1,2,0)

C．(－1,0,0)，(－1,0,0)

D．(－1,2,0)，(－1,2,0)

【解析】点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A(－1，2,1)在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．

【答案】 B

2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是

() A．关于x轴对称

B．关于xOy平面对称

C．关于坐标原点对称

D．以上都不对

【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．

【答案】 A

3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．

【解析】设中点坐标为(x0，y0，z0)，

则x0＝3＋5

2＝4，y0＝

2－2

2＝0，z0＝

－4＋2

2＝－1，

∴中点坐标为(4,0，－1)．

【答案】(4,0，－1)

4．设A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.

【解析】由|AB|＝(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2

＝11，

解得z＝7或－5.

【答案】7或－5

5．V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.

【解】以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．

∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，

∴点V的坐标是(0,0,3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，

∴它们的竖坐标都是零．

又|AB|＝2，

∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．