浅谈反证法的原理及应用
摘要
反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义.
本论文主要研究的容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考.
关键词:反证法,否定,矛盾,应用
Principle and application of the reduction to absurdity
ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics.
The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.
Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application
目录
一、引言 0
二、反证法的由来 0
三、反证法的概念及分类 0
（一）反证法的定义 0
（二）反证法的分类 0
1．归谬法 0
2．穷举法 (1)
（三）反证法的作用 (1)
四、反证法的科学依据 (2)
（一）反证法的理论依据 (2)
（二）反证法的步骤 (2)
（三）反证法的可信性 (2)
五、反证法的应用 (3)
（一）反证法在初等数学中的应用 (3)
（二）反证法在高等数学中的应用 (5)
1．在数学分析中的应用 (5)
2．在高等代数中的应用 (7)
（三）应用反证法应注意的问题 (8)
1．反设要正确 (8)
2．明确推理特点 (8)
3．善于灵活运用 (9)
4．了解矛盾种类 (9)
六、反证法的教学价值及建议 (9)
（一）反证法的教学价值 (9)
1．训练逆向思维 (9)
2．促进数学思维的形成 (9)
3．培养思维严密性 (10)
4．渗透数学史 (10)
（二）反证法的教学建议 (10)
1．多次反复,螺旋上升 (10)
2．精心研究,训练反设 (11)
3．渗透数学思想方法,训练严密 (11)
七、结束语 (11)
八、参考文献 (12)
一、引言
在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一,但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍,学生在运用上又不如直接证法那样顺理成章,而且在归谬过程学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力,对在怎样的情况下才可采用反证法,学生又不容易判断,所以对反证法的理解和在恰当地应用上都存在不少的问题,因此本文就反证法做一些介绍和探讨.
二、反证法的由来
反证法顾名思义是一种证明方法,在数学和逻辑上是统一的.早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数,用整数和几何图形构建了一个宇宙图式.万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的.随着2的出现,希腊人渐渐开始重新审视他们的数学,图形和直观并不是万能的,推理和逻辑走上了数学的舞台.此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性.表现形式就是:逻辑、演绎的体系.可见它是指证明的数学与算的数学正好相反.希腊人重视逻辑和演绎的证明,反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中.
三、反证法的概念及分类
（一）反证法的定义
反证法有多种不同的描述,其本质都是一样的.
最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述:“反证法在于表明,若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.
维基百科中这样描述“反证法,就是由否定命题结论的正确性出发,根据题设条件、定义、法则、公理、定理,进行一系列正确的逻辑推理,最后得到一个矛盾的结果.”即就是结论的反面不能成立,从而肯定命题结论的正确性,这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法.
（二）反证法的分类
反证法分类分为:归谬法和穷举法.
1．归谬法
若命题的反面只有一种情形,则只需把这一种情形驳倒,便可达到反证
的目的.
例1．两条直线同时平行于第三条直线,则原两条直线互相平行. 已知:，，EF CD EF AB ////
求证:.//CD AB
现用反证法予以证明.
假设AB 与CD 不平行,
则{}P CD AB =?(利用平行定义的反面意义),
EF AB // (即EF AP //)、EF CD //(即EF CP //)(题设), ∴过P 点有两条不同的直线与EF 平行,但这与平行公理矛盾（平行公理）,临时假设AB 不平行CD （矛盾律),
故CD AB //(排中律).
2．穷举法
若命题题设反面不止一种情况,则必须将其逐一驳倒,才能间接证明题设的正面成立.这就叫穷举法.
例2．若121≥>x x ,则有n n x x 21>,
证明:若不然,则有,
()21211x x x x n n =?=,与题设矛盾,
()21212x x x x n n
因此,n n x x 21>.
（三）反证法的作用
牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯（前460年左右）,在欧几里得的《几何原本》中也有不少用反证法的例.我国在五世纪时《邱建算经》中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法,当正面不容易或者不能证明时,我们可以从命题的反面来思考问题,若能恰当使用,往往可以收到较好的效果.特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法,因此认识和掌握反证法就显得十分重要.
A C E
B D F
图1
四、反证法的科学依据
（一）反证法的理论依据
反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑的基本规律中的“矛盾律”和“排中律”.
其基本容是:在同一论证过程中,对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断,不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是“矛盾律”.如对2这个对象,“2是有理数”和“2是无理数”的两个判断中至少有一个是假的.在同一论证过程中,对同一对象的肯定判断和否定判断,这两个相矛盾的判断必有一个是真的,这就是“排中律”.如要证明“2是无理数”,只要证明“2是有理数”不真就够了.因为“2是有理数”和“2不是有理数”,是对象2的两个相矛盾的判断,依据排中律,其中必有一个判断是真的.如
能证明“2不是有理数”不真,是无理数”为真. （二）反证法的步骤
反证法的三个步骤:“反设”、“归谬”、“结论”,三者之间相辅相成,不可分割.
1、“反设”是基础.“反设”是反证法证题的第一步.反设的正确与否,直接影响反证法的后续步骤.因此,实施教学时,应指导学生做到:先弄清所证命题的条件部分和结论部分各是什么;再找出结论的相反情况,要求做到不重不漏;最后对结论加上“不”或“不是”,这样就完成了“反设”.
2、“归谬”是关键.“归谬”即利用“反设”导致矛盾.这不但是反证法的核心部分,而且也是反证法教学的难点所在.一些学生也知道需要经过逻辑推理,才能导出矛盾,但不明确怎样去寻找矛盾.因此,实施教学时,应指导学生明确:反设后条件部分是什么;逻辑推理应向哪个方向前进;矛盾将在何处产生.
3、“结论”是目的.“归谬”后,其矛盾的产生并非别的原理,只因“反设”所致,所以命题的原结论就得以成立.至此,反证法证题已经完成,目的也就达到了.
（三）反证法的可信性
反证法在其证明过程中,根据“矛盾律”,对“原结论”和“否定的原结论”来说,这两个相矛盾的判断不能同时都为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已证明为正确的命题都是真的,所以“否定的原
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。 （一）、压缩算子: 1、定义： 设（1）X 距离空间； （2）算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤
（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设（1）X ----完备的距离空间； （2）:T X X →的算子。
应用动能定理解题的基本步骤
应用动能定理解题的基本步骤 （1）确定研究对象，研究对象可以是一个单体也可以是一个系统. （2）分析研究对象的受力情况和运动情况，是否是求解“力、位移与速率关系”问题. （3）若是，根据W合=E k2-E k1列式求解. 动能定理和功能原理 动能定理 把几个有相互作用的质点所组成的系统作为研究对象，探讨功与能之间所遵循的规律。首先，把动能定理的关系式推广到由几个质点组成的系统。这时，用E k和E k0分别表示系统内所有质点在终态和初态的总动能，W表示作用在各质点上所有的力所做的功的总和，则有
W=E k-E k0 值得注意的是，所有的力所做的功的代数和，不是合力的功。因为由几个质点组成的系统，不同于一个质点，各力作用点的位移不一定相同。作用力又可区分为外力和内力，外力是指系统外其它物体对系统内各质点的作用力，内力是指系统内各质点之间的相互作用力。虽然内力的合力为零，但内力的功一般不为零，因为各力作用点的位移不一定相同。因此，对于系统来说，上式中的W 应等于外力所做的功与内力所做的功之和，所以，上式可改写为 W外+W内=E k-E k0(1) 这就是质点系的动能定理，它在惯性参考系中成立。
功能原理 系统的内力可分为保守内力和非保守内力。因此，内力的功W内应等于保守内力的功与非保守内力的功之和。所以(1)式可写为 W外力+W保守内力+W非保守内力=E k-E k0 （从系统的动能定理出发阐述系统的功能定理，根据系统的动能定理表达式，把内力功分为保守性内力功和非保守性内力功） 由于保守内力所做的功可用系统势能的减少来表示，即W保守内力=Ep0-E p，所以，上式可改写为 W外力+W非保守内力=(E k+E p)-(Ek0+Ep0)
动能定理及其应用
动能定理及其应用 1．动能定理 (1)三种表述 ①文字表述：所有外力对物体做的总功等于物体动能的增加量； ②数学表述：W 合＝12m v 2－12 m v 02或W 合＝E k －E k0； ③图象表述：如图6所示，E k －l 图象中的斜率表示合外力． 图6 (2)适用范围 ①既适用于直线运动，也适用于曲线运动； ②既适用于恒力做功，也适用于变力做功； ③力可以是各种性质的力，既可同时作用，也可分阶段作用． 2．解题的基本思路 (1)选取研究对象，明确它的运动过程； (2)分析受力情况和各力的做功情况； (3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2； (4)列动能定理的方程W 合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解． 例1 我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1所示，质量m ＝60 kg 的运动员从长直助滑道AB 的A 处由静止开始以加速度a ＝3.6 m /s 2 匀加速滑下，到达助滑道末端B 时速度v B ＝24 m/s ，A 与B 的竖直高度差H ＝48 m ，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧．助滑道末端B 与滑道最低点C 的高度差h ＝5 m ，运动员在B 、C 间运动时阻力做功W ＝－1 530 J ，取g ＝10 m/s 2. 图1 (1)求运动员在AB 段下滑时受到阻力F f 的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大． 答案 (1)144 N (2)12.5 m 解析 (1)运动员在AB 上做初速度为零的匀加速运动，设AB 的长度为x ，则有v B 2＝2ax ① 由牛顿第二定律有mg H x －F f ＝ma ② 联立①②式，代入数据解得F f ＝144 N ③ (2)设运动员到达C 点时的速度为v C ，在由B 到达C 的过程中，由动能定理得 mgh ＋W ＝12m v C 2－12m v B 2 ④ 设运动员在C 点所受的支持力为F N ，由牛顿第二定律有 F N －mg ＝m v 2 C R ⑤ 由题意和牛顿第三定律知F N ＝6mg ⑥ 联立④⑤⑥式，代入数据解得R ＝12.5 m.
不动点原理及其应用
题目：不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
反证法在数学中的应用
论文 反证法在数学中的应用 开封县八里湾镇第一初级中学 杨继敏
反证法在数学中的应用 摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。 【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】 １．引言 反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。 在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探 ２.1 反证法的含义及逻辑依据 含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解， 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵，方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来： ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件： （1）(),F x y 在整个平面上连续； （2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明：用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体，其中d 满足1K d <。,f g X "?，用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
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1合力做功有两种求解方法 2动能定理如何应用于变力做功或物体做曲线运动的情况? 师生互动 1合力做功有两种求解方法，一种是先求出物体受到的合力．再求合力做的功，一种方法是先求各个力做功，然后求各个力做功的代数和． 2当物体受到的力是变力，或者物体的运动轨迹是曲线时，我们仍然采用过去的方法，把过程分解为很多小段，认为物体在每小段运动中受到的力是恒力，运动的轨迹是直线，这样也能得到动能定理． 三精析点拨 1用动能定理求变力做的功 由于某些力F的大小或方向变化，所以不能直接由公式W=FScosα计算它们做的功，此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F做的功。 2、在不同过程中运用动能定理 由于物体运动过程中可能包括几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一整体过程，往往对全过程运用动能定理比较简便． 四知能内化 习题展示 1总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭发动机滑行，设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？ 2一列质量为M=5.0×105kg的火车，在一段平直的轨道上始终以额定功率P 行驶，在300S内的位移为2.85×103m，而速度由8m/s增加到火车在此轨道上行驶的最大速度17m/s。设火车所受阻力f大小恒定，求1、火车运动中所受阻力f的大小；2、火车头的额定功率P的大小 3如图6-25所示，ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以不计。一个质量为m的小滑块由A点静止释放沿轨道滑下，最后停在D点，现用一平行轨道的力推滑块，使它缓慢地由D点到A点时停下，求推力对滑块所做的功。
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《动能定理及其应用》专题复习一．基础知识归纳： (一)动能： 1.定义：物体由于______而具有的能. 2.表达式：E k=_________. 3.物理意义：动能是状态量，是_____.(填“矢量”或“标量”) 4.单位：动能的单位是_____. (二)动能定理： 1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中的___________. 2.表达式：W=_____________. 3.物理意义：_____________的功是物体动能变化的量度. 4.适用条件： (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于______________. (2)既适用于恒力做功，也适用于_________. (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以_______________. 二．分类例析： (一)动能定理及其应用： 1.若过程有多个分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，必须据不同的情况分别对待求出总功，把各力的功连同正负号一同代入公式． 2.应用动能定理解题的基本思路： (1)选取研究对象，明确它的运动过程；(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况： (3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2； (4)列动能定理的方程W合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解． 例1.小孩玩冰壶游戏，如图所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求： (1)冰壶在A点的速率v A；(2)冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F. 吴涂兵
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