小升初数学求阴影部分图形面积新题型(含解答)

求阴影部分图形面积新题型

近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：

一、规律探究型

例1宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）．

（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．

（2）如图2，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？

（3）如图3，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）

分析（1）利用“S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可；（2）利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）?直接求解比较困难，可利用求补法，即“S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O2O1交⊙O1?于A，则S空白=4S O1AB，由（1）根据对称性可求S O1BO4，再由“S O1AB=S扇形AO1O4-S O1BO4”，这样S空白可求．

解答（1）设两圆交于A、B两点，连结O1A，O2A，

O1B，O2B．

则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓．

∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A为正△，其边长为r．

∴S△AO1O2=

3

4

r2，S弓

=

2

60

360

r

π3

r2=

2

6

r

π3

2．

∴S阴=2

3

2+4（

6

π

r2

3

2）=

2

3

πr2

3

2．

（2）图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓．

∵△O1O2O3为正△，边长为r．

∴S△O1O2O3

3

2，S

弓=

2

60

360

r

π3

2．

∴S阴

3

2+3（

2

6

r

π3

2）=

2

π

r2

3

2．

（3）延长O2O1与⊙O1交于点A，设⊙O1与⊙O4交于点

B，由（1）知，S O1BO4=

1

2

（

2

3

πr2-

3

2

r2）．

∵S O1AB=S扇形AO1O4-S O1BO4

=

2

90

360

r

π

-

1

2

（

2

3

πr2

3

2）

=

2

4

r

π

-

1

3

πr2

3

2．

则S阴=S正方形O1O2O3O4-4S O1AB

=r2-4（

2

4

r

π

-

1

3

πr2

3

2）

=r2+

1

3

πr23r2=（

1

3

π3r2．

二、方案设计型

例2 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．

小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，?我得到路的宽为2m或12m．

小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同．

（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．

（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）

（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，?并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）

分析（1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x；（3）可由图形对称性来设计．

解（1）小明的结果不对．

设小路宽xm，则得方程

（16-2x）（12-2x）=1

2

×16×12

解得：x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意．

（2）由题意，4×

2

4

x

π

=

1

2

×16×12

x2=96

π，x≈5.5m．

（3）方案有多种，下面提供5种供参考：

三、网格求值型

例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高与面积；

（2）图1中的ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？

（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；

（4）求出图2中四边形EFGH的面积．（2005年吉林省中考题）

分析 （1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC 的高AK ，构造直角三角形，?再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边形EFGH?面积．

解：（1）单位正三角形的角为

3，面积为

3，

（2）ABCD 含有24个单位正三角形，故其面积为24×

34

=6

3．

（3）如图1，过A 作AK ⊥BC 于K ，在Rt △ACK 中，AK=

32

3，KC=

52

．

∴AC=

22

AK KC +=

2235(

3)()22

+=

13．

（4）如图3，构造EQSR ，过F 作FT ⊥QG 于T ，则S △FQG =

1

2

FT ·QG=

12

×332×4=33．

同理可求 S △GSH =

3，S

△EHR

=6

3，S

EQSR

=18

3．

∴S 四边形EFGH = S

EQSR

-S △FQG -S △GSH -S △EHR =18

3 -33-3-63=83．

四、图形对称型

例4 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过C 、E 和D?、?F ，?则图中阴影部分的面积是_________．?（2005年河南省中考题）

分析 由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y 轴对称，故y 轴左侧阴影部分面积等于半圆B 中的空白

面积，所以所求阴影部分面积为半圆B 的面积，即S 阴=1

2

π·12

=

12

π．

解答：

2

π． 五、图形变换型

例5 如图，矩形ABCD 的长与宽分别是2cm 和1cm ，AB 在直线L 上，依次为B 、C ′、?D ″，依次为B 、C ′、D ″为中心将矩形ABCD 按顺时针方向旋转90°．这样点A?走过的曲线依次为'AA 、'''

A A 、

'''''A A ，其中'AA 交CD 于

点P ．

（1）求矩形A ′BC ′D ′的对角线A ′C ′的长； （2）求

'AA 的长；

（3）求图中 部分的面积S ；

（4）求图中 部分的面积T ．（2005年吉林省中考题）

分析 （1）要求A ′C ′，因长宽分别为2和1，利用勾股定理即可；（2）要求'

AA ，因

'AA 所对圆心角为∠ABA ′

=90°，半径AB=2，利用弧长公式即可；（3）因△A ′C ′D?′≌△A ″C ′D ″，故S=S 扇形A`C``A``；（4）连PB ，则PB=AB=2，又BC=1，故∠PBC=60°，∠ABP=30°，?欲求T ，由“T=S 扇形ABP +S △BCP ”即可． 解答 （1）A ′C ′2221+5cm ）．

（2）

'AA =

90180

π

×2=π（cm ）．

（3）S=S 扇形A`CA``

290(5)π54

π

（cm ）

（4）连结BP ，在Rt △BCP 中，BC=1，BP=2， ∴∠BPC=30°，3ABP=30°，

∴T=S 扇形ABP +S △PBC =

30360

π×22

3=（

3π

3cm 2

． 六、实际应用型

例6 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”．如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A 、B 、C 、D 四珠顺次连结成为一个菱形，且AB=BD ；A ′、B ′、?C ′、D ′四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积，?两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．在株距都为a ，其他客观因素也相同的条件下，?请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法．哪种方法能更充分地利用土地．

分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S 和S ．对应值小的即为合理密植．

解 连结AC 交BD 于点O ．在菱形ABCD 中，有AB=AD ，AC ⊥BD ，BO=

1

2

BD ． ∵AB=BD=a ，∴BO=OD=

12

a ． 在Rt △AOD 中，22

AD OD -3．

∴S 菱形ABCD =2×

1

2

BD ·3a 2

，

S 正方形A`B`C`D`=a 2

．

设方法（1）中空隙地面积为S 1，方法（2）中空隙地面积为S 2．

则S 1=S 菱形ABCD -S ☉A =

32

a 2

-

4

πa 2

， S 2=S 正方形A`B`C`D`-S ☉A`=a 2

-

4

πa 2

． ∵

32

<1，

∴AO

S 菱形ABCD

∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．