第三章――傅里叶变换
第三章 傅里叶变换
3.1周期信号的傅里叶级数分析
（一） 三角函数形式的傅里叶级数
满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率11
2T πω=，频率111
f T =，傅里叶级数展开表达式
为
()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞
==++????∑
各谐波成分的幅度值按下式计算
()01
01t T t a f t dt T +=?
()()01
12cos t T n t a f t n t dt T ω+=?
()()01
012sin t T n t b f t n t dt T ω+=?
其中1,2,n =???
狄利赫里条件：
（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；
（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00
t T t f t dt +?
等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数
周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即
()()11
jn t
n
n f t F n e
ωω∞
=-∞
=
∑
其中
()0110
11t T jn t
n t F f t e dt T ω+-=
? 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系
（1） 偶函数
由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则
()()01
112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==?
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数
由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则
()01
00110t T t a f t dt T +==?
()()01
011
2cos 0t T n t a f t n t dt T ω+=
=? 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正
弦项
（3） 奇谐函数（()12T f t f t ??
=-+ ??
?）
半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐
波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
（四） 傅里叶有限级数与最小方均误差
吉布斯现象：在用有限项傅里叶级数合成原周期函数时，当选取傅里叶有限项级数愈多时，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近()f t 的不连续点。当所选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳
变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为吉布斯现象。
3.2傅里叶变换
（一）定义
傅里叶正变换：
()()j t F f t e dt ωω∞--∞
=?
傅里叶逆变换：
()()12j t f t F e d ωωωπ
∞
-∞
=
?
式中()F ω是()f t 的频谱函数，它一般是复函数，可以写作
()()()
j F F e
?ωωω=
习惯上把()F ωω-和()?ωω-曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。
（二）典型非周期信号的傅里叶变换
[1] 单边指数信号
()0
at
e f t -?=??
其
()1F a j ωω=
+ ， (
)F ω= ， ()arctan a ω?ω??
=- ???
[2] 双边指数信号
()a t
f t e
-=
其
()222a F a ωω=
+ ， ()22
2a
F a ωω=+ ， ()0?ω= [3] 符号函数
()()1
sgn 01f t t +??
==??-?
其
()2F j ωω= ， ()2F ωω= ， ()2
2
π?ωπ?-??=??+??
3.3周期信号的傅里叶变换
(一) 正弦、余弦信号的傅里叶变换 由欧拉公式：
()()()()()()1cos 21sin 2j t j t j t j t t e e t e e j ω?ω?ω?ω?ω?ω?+-++-+??+=
+?
???
+=-??
和
()112j t
e ωπδωω??=-??F ()112j t e ωπδωω-??=+??F
可知
()()()111cos t ωπδωωδωω=++-????????F ()()()111sin t j ωπδωωδωω=+--????????F
(二) 一般周期信号的傅里叶变换
已知周期信号()f t 的周期为1T ，角频率为1ω，可以将其展开成傅里叶级数
()1jn t
n
n f t F e
ω∞
=-∞
=
∑
其中傅里叶级数的系数为
()1112
12
1T
jn t T n F f t e dt T ω--=?
则该周期信号的傅里叶变换为
()()1
2n
n f t F n π
δωω∞
=-∞
=-????∑F ★
★式表明：周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些周期
信号位于信号的谐频()120,,,ωω±±???处，每个冲击的强度等于()f t 的傅里叶级数相应系数n F 的2π倍。
例 若单位冲激函数的间隔为1T ，用符号()T t δ表示周期单位冲激序列，即
()()1
T n t t nT δδ∞
=-∞
=
-∑
求单位周期冲激序列的傅里叶级数和傅里叶变换。 解 因为()T t δ是周期函数，所以可以把它展开成傅里叶级数
()1jn t
T n
n t F e
ωδ∞
=-∞
=
∑
其中
()()1
111
112122121
111T
jn t T n T T
jn t T F t e dt
T t e dt T T ωωδδ----===
??
于是
()111jn t
T n t e T ωδ∞=-∞
=∑
由上★式知
()()1
2n
n f t F n π
δωω∞
=-∞
=-????∑F
所以
()()()11T n F t n ωδωδωω∞
=-∞
==-????∑F
（三）周期性脉冲序列的傅里叶级数与单脉冲的傅里叶变换的关系 已知周期信号()f t 的傅里叶级数是
()1jn t n n f t F e ω∞
=-=∑
其中，傅里叶系数
()1
112
12
1T
jn t T n F f t e dt T ω--=?
从周期性脉冲序列()f t 中截取一个周期，得到所谓的单脉冲信号，该单脉冲信号的傅里叶变换()0F ω等于
()()1
1202
T j t T F f t e dt ωω--=?
比较周期性脉冲序列的傅里叶级数的系数n F 和单脉冲的傅里叶变换()0F ω可以得到
()1
01
1
n n F F T ωωω==
◆
◆式表明：周期性脉冲序列的傅里叶级数的系数n F 等于单脉冲的傅里叶变换
()0F ω在1n ω频率点的值乘以
1
1T 。 例 已知周期矩形脉冲信号()f t 的幅度为E ，脉宽为τ，周期为1T ，角频率为
112T ωπ=，求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。 解 已知矩形脉冲信号()0f t 的傅里叶变换()0F ω等于
()1
02
n F E Sa ωτ
ωτ??= ???
由上◆式可以求出周期矩形脉冲信号的傅里叶系数n F
()1
101
11
2
n n n E F F Sa T T ωωωττω=??
=
=
???
这样，()f t 的傅里叶级数为
()111
2jn t
n n E f t Sa e T ωωττ∞
=-∞
??=
???
∑ 再由上★式便可以得到()f t 的傅里叶变换()F ω，它是
()()
()1
1
1122n
n n F F n n E Sa n ωπ
δωωωτ
τωδωω∞
=-∞
∞
=-∞
=-??
=- ???
∑∑
3.4抽样定理
（一） 时域抽样信号的傅里叶变换
假设连续信号()f t 的傅里叶变换为 ()()F f t ω=????F ； 抽样脉冲序列()p t 的傅里叶变换为 ()()P p t ω=????F ； 抽样后信号()s f t 的傅里叶变换为 ()()S s F f t ω=????F 。
现经分析计算得
()()S n
s
n F P F n ωωω∞
=-∞
=
-∑
该式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱()S F ω是连续信号频谱()F ω的形状以抽样频率s ω为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被()p t 的傅里叶系数n P 所加权。
（二） 频域抽样信号的傅里叶变换
已知连续频谱函数()F ω，对应的时间函数为()f t 。若()F ω在频域中被间隔为1ω的冲激序列()ωδω抽样，那么抽样后的频谱函数()1F ω所对应的时间函数()1f t 与()f t 的关系如下：
()()11
11
n f t f t nT ω∞
=-∞
=
-∑
该是表明：若()f t 的频谱()F ω被间隔为1ω的冲激序列在频域中抽样，则在时域中等效于()f t 以11
2T π
ω=为周期而重复。
（三） 时域抽样定理
一个频谱受限的信号()f t ，如果频谱只占据m m ωω-+:的范围，则信号
()f t 可以用等间隔的抽样值唯一地表示，而抽样间隔必须不大于奈奎斯特间隔
1
2S m m
T f πω=
=
（其中2m m f ωπ=），或者说，最低抽样频率为奈奎斯特频率2s m f f =。 （四） 频域抽样定理
若信号()f t 是时间受限信号，它集中在m m t t -+:的时间范围内，若在频域
中以不大于
1
2m
t 的频率间隔对()f t 的频谱()F ω进行抽样，则抽样后的频谱()1F ω可以惟一地表示原信号。
实验八 利用快速傅里叶变换(FFT)实现快速卷积(精选、)
实验八 利用FFT 实现快速卷积 一、 实验目的 （1） 通过这一实验，加深理解FFT 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好的利用FFT 进行数字信号处理。 （2） 进一步掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。 二、 实验原理与方法 数字滤波器根据系统的单位脉冲响应h(n)是有限长还是无限长可分为有限长单位脉冲响应（Finite Impulse Response ）系统（简记为FIR 系统）和无限长单位脉冲响应（Infinite Impulse Response ）系统（简记为IIR 系统）。 对于FIR 滤波器来说，除了可以通过数字网络来实现外，也可以通过FFT 的变换来实现。 一个信号序列x(n)通过FIR 滤波器时，其输出应该是x(n)与h(n)的卷积： ∑+∞ -∞ =-= =m m n h m x n h n x n y )()()(*)()( 或 ∑+∞ -∞ =-= =m m n x m h n x n h n y ) ()()(*)()( 当h(n)是一个有限长序列，即h(n)是FIR 滤波器，且10-≤≤N n 时 ∑-=-=1 0) ()()(N m m n x m h n y 在数字网络（见图6.1）类的FIR 滤波器中，普遍使用的横截型结构（见下图6.2 图6.1 滤波器的数字网络实现方法 图6.2 FIR 滤波器横截型结构 y(n) y(n) -1-1-1-1
应用FFT 实现数字滤波器实际上就是用FFT 来快速计算有限长度列间的线性卷积。 粗略地说，这种方法就是先将输入信号x(n)通过FFT 变换为它的频谱采样 值X(k)，然后再和FIR 滤波器的频响采样值H(k)相乘，H(k)可事先存放在存储器中，最后再将乘积H(k)X(k)通过快速傅里叶变换（简称IFFT ）还原为时域序列，即得到输出y(n)如图6.3所示。 图6.3 数字滤波器的快速傅里叶变换实现方法 现以FFT 求有限长序列间的卷积及求有限长度列与较长序列间的卷积为例来讨论FFT 的快速卷积方法。 （1） 序列)(n x 和)(n h 的列长差不多。设)(n x 的列长为1N ，)(n h 的列长为2N ，要求 )()(n x n y =N ∑-=-==1 ) ()()(*)()(N r r n h r x n h n x n h 用FFT 完成这一卷积的具体步骤如下： i. 为使两有限长序列的线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠，必须选择循环卷积长度121-+≥N N N ，若采用基2-FFT 完成卷积运 算，要求m N 2=（m 为整数）。 ii. 用补零方法使)(n x ，)(n h 变成列长为N 的序列。 ?? ?-≤≤-≤≤=10 10)()(11N n N N n n x n x ?? ?-≤≤-≤≤=10 1 0)()(22N n N N n n h n h iii. 用FFT 计算)(),(n h n x 的N 点离散傅里叶变换 )()(k X n x FFT ??→? )()(k H n h FFT ??→? iv. 做)(k X 和)(k H 乘积，)()()(k H k X k Y ?= v. 用FFT 计算)(k Y 的离散傅里叶反变换得 y(n)
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是? 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域的相位有关系吗信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。 第三章 傅里叶变换 3.1周期信号的傅里叶级数分析 （一） 三角函数形式的傅里叶级数 满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若 ()f t 的周期为1T ，角频率11 2T π ω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达 式为 ()()()0111 cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞ ==++????∑ 各谐波成分的幅度值按下式计算 ()01 01t T t a f t dt T +=? ()()01 012cos t T n t a f t n t dt T ω+=? ()()01 012sin t T n t b f t n t dt T ω+=? 其中1,2,n =??? 狄利赫里条件： （1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个； （2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00 t T t f t dt +? 等于有限值。 （二） 指数形式的傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即 ()()11 jn t n n f t F n e ωω∞ =-∞ = ∑ 其中 ()0110 11t T jn t n t F f t e dt T ω+-= ? 其中n 为从-∞到+∞的整数。 （三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系 （1） 偶函数 由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则 ()()01 112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==? 所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2） 奇函数 由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则 ()01 0110t T t a f t dt T +==? ()()01 011 2cos 0t T n t a f t n t dt T ω+= =? 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项 （3） 奇谐函数（()12T f t f t ?? =-+ ?? ?） 半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而 不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。 （四） 傅里叶有限级数与最小方均误差 吉布斯现象：在用有限项傅里叶级数合成原周期函数时，当选取傅里叶有限项级数愈多时，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近()f t 的不连续点。当所选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳 变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为吉布斯现象。 3.2傅里叶变换 C语言实现FFT(快速傅里叶变换) 函数原型:空快速傅立叶变换(Struct Compx *xin，Intn) 函数函数:对输入复数组执行快速傅立叶变换(FFT)输入参数:*xin复结构组的第一个地址指针。结构输出参数:no * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *结构compx u，w，t。 nv2 =快速傅立叶变换_ N/2；nm1 =快速傅立叶变换_ N-1；(I = 0；i 傅里叶变换图像压缩 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ＤSP实验进度汇报 组员：汪张扬、任艳波、陈雪松、谢聪、沈旭 任务分配：汪张扬由于考Ｇ,上周没有任务,沈旭负责自制二值图像的处理，陈雪松和谢聪负责其他图片的处理,任艳波负责搜集图像压缩评价的相关材料 以下为简要概括: 读入图像进行傅里叶变换和压缩 原始程序： a=imreａd(＇d:\１.jpｇ');b=figｕre;ｉｍshow（ａ);tiｔle（'原始图像'); F=fft2(ａ）; F_mｍ＝abs(Ｆ);fiｇｕrｅ；imshow(F）;tｉtle('原始幅度谱'）； Fshift＝fftｓｈiｆt（F）； Ｆ_m=abs(Fshiｆt);ｆｉguｒe;ｉｍshow(F_ｍ);ｔitle('幅度谱'); F_p＝ａnｇle(Fｓhｉfｔ);ｆｉguｒe;imshow（Ｆ_p）;title(＇相位谱＇）； Ｔ=＠fft2; B1=blkproc（a,[8 ８]，Ｔ);%将图像分块为８×8矩阵进行处理 fｉguｒe; imshｏw(ａ); ｔiｔle(＇原始图像')； mask=[１０0 ００0 00 0 10 0 0 0 0 0 ０0 1 ００0 0 ０ ０0 0 1 ００0 0 ００0 0 ０００0 0 0０0 0 1 0 0 0 0 0 000 1 0 ０0 0 0 ０0 ０1];％与该矩阵相乘去掉中间行,即高频部分 B2＝ｂlkproc(B1,[88］,'P1*x',mask)； fun=@ｉfft２； F3=blkproc(Ｂ2,[88],fun)； F＝mａt2graｙ(F３); fｉgure; iｍshow(F); ｔitｌe('压缩87．５%的图像'); 刚开始的原始图像: 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科） 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为： 即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。 一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。 除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换a 次，其中a 不一定要为整数；而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。 第三章 离散傅里叶变换（DFT ） 1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。 图 P3-1 分析 利用DFS 的定义求解。 解：由nk j n nk n e n x W n x k X 6250650 )()()(~π -==∑∑== k j k j k j k j k j e e e e e 56 246 236 226 26 21068101214πππππ-----+++++= 计算求得 ,3j39(1)X ~ 60,(0)X ~-== 3j 3(2)X ~ += , 3j 3(4)X ~ 0,(3)X ~-== 3j39(5)X ~ += 2. 设4()()x n R n =，6()(())x n x n =，试求)(~k X ，并做图表示)(~ ),(~ k X n x 。 分析 利用DFS 的定义求解。 解： 由 k j k j k j nk j n nk n e e e e n x W n x k X ππ π π -----=+++===∑∑3 236250 650 1)(~)(~)(~ 计算求得 ,3j (1)X ~ 4,(0)X ~-== 1(2)X ~ = ,1(4)X ~ 0,(3)X ~== 3j (5)X ~ = )(~),(~k X n x 如图P3-2所示。 图 P3-2 3. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y ???-≤≤-≤≤=1,01 0),()(rN n N N n n x n y 试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。 分析 利用DFT 定义求解，)(n y 是rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解：由)(k X = DFT[)(n x ]∑-=-=1 02)(N n nk N j e n x π ，10-≤≤N k 可得 nk rN N n nk rN N n W n x W n y n y DFT k Y ∑∑-=-====10 1 )()()]([)( )()(1 2r k X e n x N n l k n N j ==∑-=-π， 1,...,0,-==N l lr k 所以在一个周期内，)(k Y 的抽样点数是)(k X 的r 倍（)(k Y 的周期为Nr ），相当于在)(k X 的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k 为r 烦人整数l 倍时，)(k Y 与)(r k X 相等。 4. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进 快速傅里叶变换FFT的FPGA设计与实现 学生姓名郭衡 班级电科1704 学号17419002064 指导教师谭会生 成绩 2020年5 月20 日 快速傅里叶变换FFT 的设计与实现 一、研究项目概述 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为：= )(?X dt t j e t x ? ∞ ∞ --1 )(?，式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT 定义为： ∑-=-=-==1 02,1.....10)()(N n N j N kn N e W N k W n x K X π、、。 可以看出，DFT 需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N 较大时，这个计算量是很大的。利用WN 的对称性和周期性，将N 点DFT 分解为两个N ／2点的DFT ，这样两个N ／2点DFT 总的计算量只是原来的一半，即(N ／2)2+(N ／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N ／2再分解为N ／4点DFT 等。对于N=2m 点的DFT 都可以分解为2点的DFT ，这样其计算量可以减少为(N ／2)log2N 次乘法和Nlog2N 次加法。图1为FFT 与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT 算法的优越性。 图1 FFT 与DFT 所需乘法次数比 较 X[1] 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即x(n)=x1(n)+x2(n)。 x1(n)和x2(n)的长度都是N ／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 ∑∑=--=-=+2 )12(120 2)1.....,0()(2)(1)(N n k n N N n km N N k W n x W n x K X 所以)1...,0()(2)(1)(12 22120 -=+=∑∑-=-=N k W n x W W n x K X N n km N k N km N N n 由于km N N j km N j km N W e e W 2/2 /2222===--ππ ，则 )1.....,0)((2)(1)(2)(1)(12 2/120 2/-=+=+=∑∑-=-=N k k X W k X W n x W W n x K X k N N n km N k N N n kn N 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N ／2点DFT 。由于X1(k)和X2(k)均以N ／2为周期，且WNk+N/2=-WNk ，所以X(k)又可表示为： )12/....,1,0)((2)(1)(-=+=N k k X W k X K X k N )12/....,1,0)((2)(1)2/(-=-=+N k k X W k X N K X k N 傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 详解傅里叶变换与小波变化 希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代 数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性 数字图像的傅里叶变换 一. 课程设计目的 （1）了解图像变换的意义和手段 （2）熟悉傅里叶变换的基本性质 （3）热练掌握FFT的方法反应用 （4）通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换 二.课程设计要求 （1）熟悉并掌握傅立叶变换 （2）了解傅立叶变换在图像处理中的应用 （3）通过实验了解二维频谱的分布特点 （4）用MATLAB实现傅立叶变换仿真 三.设计思路 1.相关知识原理 （1）应用傅里叶变换进行数字图像处理 数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。 20世纪20年代，图像处理首次得到应用。20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。 傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特 小波变换与傅里叶变换 的对比异同 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢b取多少才合适呢于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件,就是 #include 傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别
第三章——傅里叶变换
C语言实现FFT(快速傅里叶变换)
傅里叶变换图像压缩
(完整版)从头到尾彻底理解傅里叶变换算法
第三章离散傅里叶变换(DFT)
快速傅里叶变换FFT的FPGA设计与实现--电科1704 郭衡
图像傅里叶变换的物理意义
详解傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换性质证明
数字图像的傅里叶变换
小波变换与傅里叶变换的对比异同
C语言实现FFT(快速傅里叶变换)