高考数学预测试题(5)预测题 文

【数学（文）】高考预测试题（5）·预测题

本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第I 卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 设集合}4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,2{=B ，则=)(B A C U （ ） A ．}2{ B ．}3{ C ．}4,2,1{ D ．}4,1{

2．

22

(1)1i i

-+-=( ) A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --

3． 设曲线)(x f y =在某点处的导数值小于1-，则过该点曲线的切线的倾斜角θ的取值范围是（ ） A . 30,4

π?? ??

? B . 3,4ππ?? ??? C . 0,4π?? ???

D . ,4ππ??

??? 错题目 4．已知2

2

π

π

θ-

<<

，且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答

案中，可能正确的是（ ） A.2- B.13

-

C. 2 或13

D. 2-或13-

5．对于数列{}n a ，“12,,n n n a a a ++（n=1,2,3, …）成等比数列”是“2

12n n n a a a ++=”的（ ）

A. 必要不充分条件 B .充分不必要条件 C . 充要条件 D .既不充分也不必要条件 6．

则第三组的频率是（ ）

A ．0.12

B ．0.21

C ．0.15

D ． 0.28

7．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7 8．方程1

lg

30x x

--=的解所在区间为（ ） A (0，1) B (1，2) C (2，3) D (3，+∞)

9．设变量x y ，满足约束条件236y x x y y x ??

+??-?≤≥≥，则目标函数

2z x y =+的最小值（ ）

A .3

B .4

C .5

D .6

10．过双曲线122

22=-b

y a x ()0,0a b >>上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于

M 、N 两点，则PM NP ?的值是（ ）

A. 22

a b B . ab 2 C . 2

a D . 2

a -

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上.

11．如图，在台湾“莫拉克”台风灾区的搜救现场，一条搜救狗沿正北方向行进x m 发现生命迹象，然后向右转105，行进10m 发现另一

生命迹象，这时它向右转135回到出发点，那么x ＝_____.

12．对几何体：①正方体；②正三棱锥；③球；④圆锥.其各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是________. 13．已知等差数列{}n a 中，有

111220

1230

10

30

a a a a a a ++

++++=

成

立．类似地，在正项等比数列{}n b 中，有_____________________成立．

14．给出下列命题：①对?实数y ，都?一个实数x ，使得4

3y x =；②两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是|a +b |=|a -b |；③如果两条直线b a ,和平面M 满足M a ⊥，且M b ⊥，则

b a //；④?一个实数x ，使230x x -+≤.其中，假命题的序号是_________.

15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

B A

x

C 1350

1050

A. （不等式选讲选做题）不等式1

12

x x +≥+的实数解集为_________．

B. （几何证明选讲选做题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．则AE

CE

=_______________．

C. （坐标系与参数方程选做题）直线112,

:2x t l y t =+??

=+?

()t 为参数与直线

22cos ,

:sin x s l y s αα

=+??=?()s 为参数平行，则直线2l 的斜率为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)

已知函数)2

2sin(cos sin 2)(π

+

+=x x x x f ．

（I ）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （II ）设]3

,

0[π

∈x ，求)(x f 的值域．

17．(本小题满分12分)

已知数列{}n a ，{}n b ，满足条件12(0)n n a a k k +=+≠，10n n n b a a +=-≠. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；

（Ⅱ）若11k a ==，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． 18．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方 形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，

E 是PC 的中点．

（I ）证明：//PA BDE 平面；

（II ）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积．

19．(本小题满分12分)

一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：

O

人数i x 10 15 20 25 30 35 40

件数i y

4 7 12 1

5 20 23 27

其中1234567i =，，，，，，．

（Ⅰ）以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图． （Ⅱ）求回归直线方程．（结果保留到小数点后两位）

（参考数据：

7

i=1

3245i i

x y

=∑，25x =，15.43y =，7

21

5075i i x ==∑，27()4375x =，

72695x y =）

（Ⅲ）预测进店人数为80人时，商品销售的件数．（结果保留整数）

20．(本小题满分13分)

已知圆C 方程为：224x y +=.

（I ）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程； （II ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量

OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

21．(本小题满分14分) 已知函数3

23

()(2)632

f x ax a x x =-

++-. （I ）当2a >时，求函数()f x 极小值； （II ）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数.

一、选择题 1．B ．(){1,24}{3}.U U C A B C ==，

2．C .

22

(1)1211i i i i i

-+=+-=--. 3．B . 因为tan 1k θ=<-，0θπ≤<，所以34

π

θπ<<. 4．B ．由题意知02

π

θ-

<<，从而tan 0θ<.此时有

cos sin sin 0cos sin ,a θθθθθ=->->?>-

即有 1tan 0.θ-<< 对照选择支，应选B.

5．B. 显然，前面可以推出后面，后面推不出前面.其反例数列为1，0，0，0，…．

6． B.因为101331513129100,x x +++++++=得7x =，所以，第三组的频数321x =，于是，第三组的频率是：

21

0.21100

=． 7．B. 当a =1时，进入循环，此时b =21=2；当a =2时，再进入循环, 此时b =22=4；当a =3时，再进入循环，此时b =24=16. 所以, 当a =4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a ≤3，故选B.

8．C ．方程可以转化为lg 3x x =-，在同一平面直角坐标系中，画出函数lg y x =与3y x =+的图象，它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D ．至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较0x 与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)．

9． A ． 在坐标系中画出可行域△ABC ，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2z x y =+的最小值为3．

10．D ． 设),(y x p ，则(

,),(,),a a

M y y N y y b b

- 于是 (,0)(,0)a a PM PN y x y x b b

?=-?--()()a a

y x y x b b =---

2222

22222

22221()a a b x y b x a y a b b b

=-=-==，

所以 2

PM NP PM PN a ?=-?=-.

11．

. ∵180754560A ∠=--=.∴10

sin 45sin 60

x =

，∴3x m =. 12．④. 用三视图的概念容易做出只有圆锥满足题意，应填④. 13．

30302110

201211b b b b b b =.由算术平均数类比几何平均数，容易得出

30302110

201211b b b b b b =.

14．①④. 分别判断命题如下：

① 假命题．反例：取2y =-，则4

32x ≠-； ② 真命题．因为对于非零向量,，有

||||)()(022-=+?-=+?=??⊥；

③真命题．此命题是直线与平面平行的性质定理，可用反证法证明； ④假命题．因为“对R x ∈?，221

11

3()024

x x x -+=-+>”是真命题，所以，它的否定是假命题.

15．A ．3,2

x ≤-且2x ≠-. 原不等式等价于12x x +≥+，且2x ≠-，等价于

22

12x x +≥+，且2x ≠-，得3,2

x ≤-且2x ≠-.

B. 1.3

连结CD ，则C D ⊥AB, ∴D 是AB 中点.∵AE ＝12AD=14AB ，∴EC=3AE ，∴CE AE 31

=，

即13

AE CE =． C. 12. 直线1l 的斜率为12112y k x -==-，因为12l l ，所以2l 得直线的斜率为21

.2

k =

三、解答题

16. （I ）()sin 2cos 2)4

f x x x x π

=+=

+.

周期22

T π

π==；……………………3分 令2222

4

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤

+，得388

k x k ππ

ππ-

≤≤+. 所以，单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ?

?-+∈???

?. ……………………6分

（II ）解法1：当]3

,0[π

∈x ，112,4412t x π

ππ??=+

∈????，由11,,412y t t ππ??=∈????

的

图象可知，当2

t π

=

时，y ；……………………9分

当1112

t π

=

时，y

111122π=.

所以，值域12??. ……………………12分

解法2：若3

0π

≤

≤x ，则

1211424

π

π

π

≤

+

≤x ，

4

sin 426)6

4sin(12sin 1211sin π

ππππ<-=

-==, ……………………9分 ∴

1)42sin(426≤+≤-πx ，2)4

2sin(2213≤+≤-π

x . 故函数)(x f 的值域为]2,2

1

3[-. ……………………12分 17．（Ⅰ）当2n ≥时，

1111

1112()

(2)(2)2n n n n n n n n n n n n n n a a b a a a k a k b a a a a a a ----+----+-+====---，……………….4分 所以数列{}n b 是以2为公比的等比数列．…………………………….6分 （Ⅱ）由11k a ==，则21213a a =+=， 则有1212b a a =-=, 所以1222n n n b -=?=.

解法1：由121n n a a +=+得112(1)n n a a ++=+，又1120a +=≠,

所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，……………………10分 所以11222n n n a -+=?=.

所以21n n a =-. …………………………………….12分 解法2：由已知得12n n n a a +-=, 则212a a -=；

2322a a -=； 3432a a -=；

112n n n a a ---=(2)n ≥.

累加得23112222n n a a --=++++.

即2311222221n n n a -=++++

+=-.

当1n =时，11a =也成立，所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-．………..12分 18．（I ）连接,A C 交BD 于O ，连接EO . …………2分

ABCD 是正方形，

∴O 为AC 中点，E 为PA 的中点， ∴//OE PA . …………………5分

又

OE ?平面BDE ,PA BDE ?平面,

//PA BDE 平面.………………6分

（II ）过D 作PA 的垂线，垂足为H ，则几何体为DH 为半径，分别以,PH AH 为高的两个圆锥的组合体侧棱PD ⊥底面ABCD .

∴PD DA ⊥，4,3PD DA DC ===， ∴5PA =.

4312

55

PD DA DH PA

?=

==. …………8分 2211

33

V DH PH DH AH ππ=+

=

21

3

DH PA π …………10分 2112()535π=??=48

5

π=. …………12分 19．（Ⅰ）散点图如图

D

D 1

H

P

………………………………………………4分

（Ⅱ）

7

i=1

3245i i

x y

=∑，25x =，15.43y =，7

21

5075i i x ==∑，2()4375n x =

∴7

17

22

1

70.797()i i

i i

i x y x y

b x

x ==-?=

≈-∑∑， ………………………………………………7分

4.32a y bx =-=- ………………………………………………8分

∴回归直线方程是0.79 4.32y x =-

……………………………………9分

（Ⅲ）进店人数80人时，商品销售的件数0.7980 4.32y =?-59≈件

………………………………………12分

20．（I ）当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1x =，l

与圆的两个交点坐标为(

和

(1,

，其距离为. ……………………2分

若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+= 设圆心到此直线的距离为d

，则=，得1d =. …………………4分 所以

1=，解得3

4

k =

， 故所求直线方程为 3450x y -+=.

综上所述，所求直线方程为3450x y -+=或1x =. ……………………6分 （II ）设点M 的坐标为()000,0x y y ≠（），Q 点坐标为(),x y ，则N 点坐标是()00,y . 因为OQ OM ON =+，

所以()()00,,2x y x y = 即0x x =，02

y

y =

. ………………8分 又因为22

004x y +=，

所以2

2

4(0)4

y x y +=≠，

所以Q 点的轨迹方程是

22

1(0)416

x y y +=≠， ………………11分 这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点 . …………13分

21． （I ）'

2

2()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a

=-++=-- ………3分

()f x 极小值为(1)2

a

f =-

. ………6分 （II ）①若0a =，则2

()3(1)f x x =--，()f x ∴的图象与x 轴只有一个交点；……8分 ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02

a

f =-

>， ()f x 的极小值为2

()0f a

<，

()f x ∴的图象与x 轴有三个交点；

③若02a <<，()f x 的图象与x 轴只有一个交点；………10分 ④若2a =，则'

2

()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图象与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133

()4(

)044

f a a =---<，………12分 ()f x ∴的图象与x 轴只有一个交点；

综上知，若0,()a f x ≥的图象与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图象与x 轴有三个交点. ………14分