随机信号分析实验指导书

东北林业大学

随机信号分析实验指导书

乔世坤刘楠编写

2008年3月

实验一 随机变量及统计特性

一、实验目的

1、掌握随机变量的数字特征。

2、熟悉随机变量的各种实用分布率。 二、实验仪器

1、计算机一台。

2、MATLAB 软件。 三、实验原理

1、随机变量的数字特征 （1）随机变量定义

设随机试验的样本空间为}{i e s =，如果对样本空间的每个元素S e i ∈，都有一个实数}{i e X 与之对应，对所有元素S e ∈，就得到一个定义在空间S 上的单值函数，称为随机变量。

（2）概率分布函数和概率密度函数

定义随机变量X 的取值不超过x 的概率为概率分布函数或累积分布函数。分布率的另一种形式是概率密度函数，定义为概率分布函数的导数。

（3）数学期望

对于离散随机变量X ，其数学期望为

∑∑∞

=∞

====1

1

)(][i i i i i i P x x X P x X E

如果X 是连续随机变量，则有

?∞

∞

-=

dx x xf

X E x

)(][

（4）方差

方差是用来衡量随机变量偏离数学期望的程度，或者说是随机变量在数学期望附近的离散程度。对于离散和连续随机变量，分别有

∑∞

=-=-=122

])[(}])[{(][i i i P X E x X E X E X D

?∞

∞

--=-=dx x f X E x X E X E X D x )(])[(}])[{(][22

（5）矩函数

随机变量X 的n 阶原点矩定义为

][n n X E m =

随机变量X 的n 阶中心矩定义为

]])[[(n n X E X E -=μ

2、随机变量的实用分布率 （1）指数分布

概率密度函数满足??

???≥=-其他

001)(x e

x f x

x ββ

（2）Γ分布

概率密度函数满足???????≥Γ=---其他

0)

()(1x e

x x f x

x αββαα，式中，?∞

--=Γ0

1)(dt e t t αα

（3）二项式分布

在n 次独立试验中，若每次试验事件A 出现的概率为P ，不出现的概率为1-P ，那么事件A 在n 次试验中出现m 次的概率为二项式分布，即

m n m

m n n P P C m P --=)1()(

（4）泊松分布

当事件A 在每次试验中出现的概率P 很小时，试验次数n 很大，且λ=np 为常数时，泊松分布为λλe m m P m

n !

)(=

（5）均匀分布

概率密度函数满足???

??≤≤-=其他

1

)(b x a a

b x f x

（6）三角分布

概率密度函数满足??????

??

?≤≤---≤≤---=其他

0))(()

(2))(()(2)(b x a c b a b x b c x a a c a b a x x f x

（7）高斯分布

一维高斯分布概率密度函数满足2

22)(21)(σσ

πm x x e

x f --

=

（8）2χ分布

如果n 个相互独立的高斯变量的数学期望为零，方差各为1，它们的平方和的分布是具有n 个自由度的中心2χ分布。如果相互独立的高斯变量的方差为2σ，数学期望不为零，则其平方和为n 个自由度的非中心2χ分布。

（9）瑞利分布

对于两个自由度的2χ分布，当2

221X X Y += 时，i X 是数学期望为零，方差

为2σ且相互独立的高斯变量，则Y R =就是瑞利分布。

（10）莱斯分布

当高斯变量的数学期望不为零，∑==n

i i X Y 12是非中心2χ分布，

那么Y R =则是莱斯分布。 四、实验内容

1、根据随机变量的实用分布率产生出三至五种随机变量。

2、画出各种分布率随机变量的概率密度曲线。

3、利用已经产生的随机变量，计算它们的数学期望、方差等数字特征值。 五、预习要求

1、随机变量理论，掌握其相关知识。

2、随机变量的数字特征和实用分布率。

六、实验报告要求

1、写出产生各种随机变量的MATLAB程序

2、画出各种实用分布率的概率密度曲线。

3、给出产生的随机变量数值，计算相应的数学期望和方差结果。

4、程序调试过程中所遇到问题解决方法的心得、体会。

实验二 随机过程和功率谱密度

一、实验目的

1、掌握随机过程、平稳随机过程和各态历经过程的概念。

2、掌握平稳随机过程概念，相关函数定义、性质。

3、利用直接法和间接法计算平稳随机过程的功率谱密度。 二、实验仪器

1、计算机一台。

2、MATLAB 软件。 三、实验原理

1、随机过程定义

设随机试验的样本空间}{i e S =，对于空间的每一个样本S e i ∈，总有一个时间函数),(i e t X 与之对应（T t ∈），对于空间的所有样本S e ∈，可有一族时间函数),(e t X 与其对应，这族时间函数称为随机过程

2、计算功率谱密度方法

对于随机过程的功率谱密度，可用直接法和间接法求功率谱密度。 （1）直接法，在MATLAB 中可以通过Periodogram 语句完成对平稳随机过程功率谱密度的求解。

而经典的求解方法则是周期图法，直接由傅立叶变换得到，将随机信号看成N 个样本的能量有限信号，取其傅立叶变换，再平方后除以N 作为功率谱的估计，即利用功率谱密度公式

])([21lim ])(21lim

[)(2

2ωωωT T T T X X E T

X T E S ∞→∞→==

（2）间接法又称自相关法，间接法先由X N (n)估计出自相关函数R(m)，然后求出R(m)的傅里叶变换，便得到X N (n)的功率谱密度估计(e jW )：

由于这种方法是通过自相关函数间接得到功率谱密度的，所以又称自相关法。需要指出的是，当M 较大，特别是接近等于N-1时，(m)对R(m)的估计偏

差变大，因此估计出的功率谱密度质量随之下降．一般情况下，使用间接法都取M<

四、实验内容

1、利用直接法和间接法分别产生出随机过程的功率谱密度曲线。

2、通过自定义的一个随机过程，利用直接法和间接法再次产生出相应的功率谱密度曲线。

五、预习要求

1、随机过程的功率密度定义、性质。

2、MATLAB相关语句。

六、实验报告要求

1、写出利用直接法和间接法计算随机过程的功率谱密度的程序语句。

2、画出功率谱密度曲线。

3、写出自定义随机过程的函数，画出其功率谱密度曲线。

4、程序调试过程中所遇到问题解决方法的心得、体会。