江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试 数学 Word版含答案
南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
参考公式
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上） 1．已知集合{}
2
10A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B = ▲ .
2．已知复数21i
z i
+=
-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，
则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .
5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中
从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经
过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .
7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤??
-+≥??≥?
则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .
8．
设一个正方体与底面边长为
则该正方体的棱
长为 ▲ . 9．在ABC ?中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，
4A π
=
，3
cos 5
B =
，则边c = ▲ .
10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若
6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .
11．如图，在ABC ?中，3AB AC ==，1cos 3
BAC ∠=
，2DC BD = ，则AD BC ?
的值为 ▲ .
12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22
:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB
的中点，则直线l 的方程为 ▲ .
13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x
x m
f x =+
，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >?=?-≤?
若函S ←1
For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S
第4题图
A
B D
第11题图
数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .
14．设函数32,,
ln ,
x x x e y a x x e ?-+<=?≥?的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ?是以O 为直角顶点
的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围
是 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
设函数()sin()(0,0,,)2
2
f x A x A x R π
π
ω?ω?=+>>-<<
∈的部分图象如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22
x ππ
∈-
时，求()f x 的取值范围
16．(本小题满分14分)
如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2
ACB π
∠=
，M 是棱BC 的中点. （1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .
17．(本小题满分14分)
如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生
活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
第15题图
A C
B M O
A 1 C 1
B 1 第16题图
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆2
2:14
x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .
（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；
（2
）若r =
. ①求证：121
4
k k =-；
②求OP OQ ?的最大值.
19．(本小题满分16分)
已知函数()x ax
f x e
=
在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；
（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有2
1
()2f x k x x <
+-成立，求k 的取值范围；
（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12
()2
x x g +'的正负，并说明理由.
B A ·
·
居民生活区 第17题图
北
第18题图
20．(本小题满分16分)
设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++ 中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=- .
（1）若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，求数列{}i r 的通项公式；
（2）若数列{}n a 是单调数列，且满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式； （3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理
由.
南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在
答题纸的指定区域内）
A .（选修4—1：几何证明选讲）
如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.
B .（选修4—2：矩阵与变换）
A
B
D
E
O
第21(A )题图
C
·
设矩阵 02 1a ??
=?
???
M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知点A 的极坐标
为)4
π
-
，圆E 的极坐标方程为
4cos 4sin ρθθ=+，
试判断点A 和圆E 的位置关系.
D ．(选修4—5：不等式选讲）
已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.
≤
[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）
直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=
. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60?，求实数λ的值.
23．（本小题满分10分）
设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥ ，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一
B
A
C
D
B 1
A 1
C 1
第22题图
个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .
（1）求33T S ，44T
S ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n n
T
S 的表达式，并证明之.
南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1-
2. 3. 310 4. 17 5. 340 6. 92 7. 3-
8. 2
9. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33
[,]22
-
14. 1(0,
]1
e + 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分
又
54632
T πππ=-=，
ω>，所以
22T π
πω
==
，得
1ω=. …………4分
所以()2sin()f x x ?=+，将点(,2)3π代入，得2()32
k k Z ππ
?π+=+∈，
即2()6k k Z π?π=+∈，又22
ππ?-<<，所
以
6
π
?=. …………6分
所
以
()2sin()6
f x x π
=+. (8)
分 （
2
）
当
[,]22
x ππ
∈-
时，
2[
,]633
x π
ππ
+
∈-，
…………10分
所以s n
(
)
62
x π+∈-，即
()[3,2
]
f x ∈. …………14分 16．证明：（1）在1A BC ?中，因为O 是1AC 的中点，
M 是BC 的中点， 所以
1//OM A B . (4)
分
又OM ?平面11ABB A ，1A B ?平面11ABB A ，所以
//OM 平面11ABB A . ...............6分
（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，
又2
ACB π
∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ?面11ACC A ，且1CC AC C = ，
所以BC ⊥面
11ACC A . ...............8分
而1AC ?面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ， 又11ACC A 是正方形，所以11AC AC ⊥，而,BC 1AC ?面1A BC ，且1BC AC C = ， 所以1AC ⊥
面1A BC . ...............12分
又1AC ?面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . ...............14分
17
．
解
法
一
：
由
条
件
①
，
得
505
303
PA PB ==. ...............2分 设
5,3PA x PB x
==，
则
22
2
(5
)1
6
c
o
s 216
5
x x x
PAB x
x
+-
∠==
+
??，
...............6分 所
以
点
P
到直
线
AB
的
距
离
s i n
)
h P A =∠?=
=， ......
.........10分
所以当2
34x =
，即x =h 取得最大值15千米. 即
选
址
应
满
足
PA =千米
，
PB =千
米. ...............14分
解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. ...............2分
则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得
505
303
PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >
，则=
化简得
222(17)15(0)x y y -+=>， ...............10分
即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.
所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ...............14分
18．解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为，所以圆心M 的坐标为
1
,
)2
±， ...............2分 从
而
圆
M
的方程为
2211
(()24
x y +±=. …………4分
（2）①因为圆M 与直线1:OP y k x =5=， 即
222010010(45)10450x k x y k y -++-=， …………
6分
同理，有2
2
2
020020(45)10450x k x y k y -++-=，
所以
12
,k k 是方程
2
200
(45)
10450
x k x
y k y -++-=的两根， …………8分
从
而
22
2
000
122
220001545(1)1451444545454
x x y k k x x x --
-+-=
=
==----. (10)
分 ②
设点
111(,)
,(,)P x y P x y ，联立12
2
14
y k
x
x y =??
?+=??，
解
得
222
11
122
11
44,1414k x y k k ==++， …………12分 同
理，
22
2
2222
2
2244,1414k x y k k ==++，所以
222
2
122222
1122
4444
()()14141414k k OP OQ k k k k ?=+?+++++ 2222
12112222
1211
4(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=?=?++++ ……………14分
22122
1520()
252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以O P O Q ?的最大值为5
2
. ……………16分 19. 解：（1）由题意得(1)
()x
a x f x e
-'=
，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所
以
(0)1
1
a
f '==，
得
1a =. ……………4分
（2）由（1）知21
()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立，
所以220k x x +->，即2
2k x x >-对任意(0,2x ∈都成立，从而0k ≥. ……………6分
又不等式整理可得2
2x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x
=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x x
e x e g x x x x x
-'=+-=-+=，
得
1x =， ……………8分
当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，
同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，
综上所述，实数k 的取值范围
是
[0,1)e -. ……………10分
（3）结论是
12
(
)02
x x g +'<. ……………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1x
g x x x
-'=-=，
易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1
2
12
x x +>即可. ……12分
因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122
ln ln x b x x b x +=??
+=?，相减得2211ln x
x x x -=，
不妨令21
1x
t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证1
l n 21
t t t +>-，即证1
()ln 201t t t t ?-=->+， ……………14分
因为2
22
14(1)()0(1)(1)
t t t t t t ?-'=-=>++，所以()t ?在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ??>=，
综上所述，函数()g x 总满足
12()02
x x
g +'<成立. ……………16分
20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，
所
以
1
222i
i
i
i r +=-=，
11i m ≤≤-. ……………4分（2）若{}n a 单调
递减，则11i A a ==，i m B a =，所以10i m r a a =->，不满足2i r =-，
所
以
{}
n a 单调递
增. ……………6分
则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以
{}
n a 是公差为2
的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，
11i m ≤≤-. ……………10分
（
3
）
构
造
1
()2
n
n a n =-，其中
n b n
=，
1
()2
n n c =-. ……………12分
下证数列{}n a 满足题意.
证明：因为1()2
n
n a n =-，所以数列{}n a 单调递增，
所以
1
()2
i
i i A a i ==-，
111
1()2
i i i B a i ++==+-， ……………14分
所以1
111()2
i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，
因为2
121111
[1()][1()]()02
22
i i i i i r r ++++-=-----=>，
所
以
数
列
{}i r 单调递增
，满足题
意. ……………16分
（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，
公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）
附加题答案
21.
A
、
解：因为CD 与O 相切于D ，所以
C D A ∠=∠， …………2分
又因为AB 为O 的直径，所以90ADB ∠=?.
又DE AB ⊥，所以EDA DBA ?? ，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠. …………4分
又90ACD AED ∠=∠=?，AD AD =，所以ACD AED ???.
所以4A E A C ==，所以
5AD =， ………… 6分
又DE AE
BD AD
=，所以154
DE BD AD AE =?=. …………10分
B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，
因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分
所以 2 0M 2 1x x x y y y '????????==????????'????????，即22x x y x y '=??'=+?
，
代入方程221x y +=，得22
(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为
22841x xy y ++=. ………10分
C
、解：点A 的直角坐
标为(2,2)-， …………2分
圆
E
的直角坐标方
程
为
22(2)(2)8x y -+-=， …………6分
则点A 到圆心E 的距离4d r =
=>=
所以点在
圆
E
外. …………10分 D 、解：因
24(12121212)a b c d ≤+++++++， (6)
分
又1a b c d +++=，所以224≤， 即
≤ …………
10分
22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.
则
(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)
C ，
1(0,0,2)
A ，
1(2,0,2)
B ，
1(0,4,2)C …………2分
（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =- ，11(0,4,0)AC =
，
1(1,2,2)A D =- ，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =
则4020y x z =??-=?
，所以取1(2,0,1)n =
，又111111cos ,||||DB n DB n DB n ?<>===
所以直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值
为 …………6分 （2）BD DC λ= ，24(,,0)11D λλλ∴++，11
(0,4,0)AC ∴= ，124(,,2)11
A D λ
λλ=-++ ， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z = ，则402
201y x z λ=??
?-=?+?， 所
以
取
1(1,n λ=+
. (8)
分
又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n = ，由题意得121
|cos ,|2
n n <>= ，
1
2
=
，解得1λ=
或1λ=（不合题意，舍去）
， 所以
实
数
λ
的值
为
1. …………10分
23.
解
：
（
1
）
3
3
2T S =，
4452
T S =，
5
5
3T S =，
667
2
T S =. ……………4分 （
2
）
猜
想
1
2
n n T n S +=
. ……………5分
下用数学归纳法证明之.
证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立； ②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即
12
k k T k S +=
，而3
k k S C =，所以得3
12
k k k T C +=
. ……6分
则当1n k =+时，易知3
11k k S C ++=，
而当集合M 从{}1,2,3,,k 变为{}1,2,3,,,1k k + 时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，
2
个
3
，
3
个
4
，
…
，
和
(1)
k -个k ， ……………8分
所
以
1k k T T +=+2k k ?+?+?++-
3
2122
k k k C C C C C +=
++++???+ 3322
233412[]2k k k C C C C C +=
++++???+3311222k k k C C ++-=+31
22
k k C ++=1(1)12k k S +++=，
即11(1)12
k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.
综上所述，猜想
成
立. ……………10分 （说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）