抛物线关于原点对称口诀

关于x轴对称的点，横坐标为相同，纵坐标为相反数，关于y 轴对称的点，横坐标为相反数，纵坐标相等。

x轴对称：沿x轴对折，对折的两部分是完全重合的。即x坐标相同，y坐标互为相反数。

y轴对称：沿y轴对折，对折的两部分是完全重合的。即y坐标相同，x坐标互为相反数。

原点对称：当坐标轴上有一点（X,Y）（此处X,Y取正值）其对称点为同坐标系中的（－X,- Y）这2个点就叫做原点对称。

抛物线对称轴公式

抛物线对称轴公式：x=-b/2a。垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。

y=ax²+bx+c

=a(x²+b/ax)+c

=a（x²+b/ax+b²/4a²）+c-b²/4a

=a（x+b/2a）²-（-4ac+b²）/（4a）

顶点(-b/2a，(4ac-b²)/4a)

对称轴x=-b/2a

二次函数知识点详解和巧记口诀

黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）内含 <全文看完后再决定下不下载> 十二个知识点最新原创助记口诀用心背后就知好二次函数疑难问题一扫光简洁实用直指中考高分知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数

点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法

二次函数速记口诀

二次函数速记口诀二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下A负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。二次函数与几何方法

分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题) 重要思想：①分类讨论→代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题; ②转化思想(待定系数) →代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等; ③最短路径→代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标; ④尺规作图→代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析; ⑤极端值思想→代表性题型：动态几何问题，动态函数问题; ⑥数形结合思想→代表性题型：函数与几何综合题。二次函数的图像及画法在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。二次函数y=ax^2的图像的画法用描点法画二次函数y=ax^2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。用描点法画出二次函数y=x^2的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。

二次函数知识点详解及巧记口诀

“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）内含十二个知识点最新原创助记口诀用心背后就知好二次函数疑难问题一扫光简洁实用直指中考高分知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x+ 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

初中二次函数知识点详解及助记口诀

二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

初中二次函数知识点详解助记口诀

二次函数知识点详解知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O（即公共原点）叫做直角坐标系原点；建立了直角坐标系平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上点，不属于任何象限。 2、点坐标概念点坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标位置不能颠倒。平面内点坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点坐标。知识点二、不同位置点坐标特征 1、各象限内点坐标特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限 2、坐标轴上点特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点坐标特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 4、和坐标轴平行直线上点坐标特征

位于平行于x轴直线上各点纵坐标相同。位于平行于y轴直线上各点横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称点坐标特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点距离点P(x,y)到坐标轴及原点距离：（1）点P(x,y)到x轴距离等于（2）点P(x,y)到y轴距离等于（3）点P(x,y)到原点距离等于知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值量叫做变量，数值保持不变量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x每一个值，y都有唯一确定值与它对应，那么就说x是自变量，y是x函数。 2、函数解析式用来表示函数关系数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义自变量取值全体，叫做自变量取值范围。 3、函数三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x一系列值和函数y对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应点（3）连线：按照自变量由小到大顺序，把所描各点用平滑曲线连接起来。

抛物线的对称性

抛物线的对称性萧县纵强二次函数的图像是具有对称性的抛物线，合理的利用这一特征所带来的性质对于解决二次函数的这一类问题会取得很好的效果，在今年的中考中也常出现这类问题，为帮助同学们学好这部分内容，本文对这部分内容剖析如下。二次函数()2 (0)y a x h k a =-+≠的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x h =。根据轴对称的性质，我们容易得出以下几个结论。结论1：、对于抛物线上两个不同点A （x y 11，）、B （x y 22，） A 、B 两点是关于对称轴x h =对称点⇔纵坐标满足12y y =（纵坐标相等） A 、 B 两点是关于对称轴x h =对称点⇔横坐标满足12x h x h -=-（对由以上两个结论知，已知一点的坐标A （1x ，m ）和对称轴直线x h =就

可以确定A 点的对称点B 的坐标：由结论1对称点的纵坐标相等得：B 的纵坐标也是m 由结论2得：12 2 x x h += 即B 的横坐标是212x h x =- 即：结论3：A （1x ，m ）是抛物线上的一点，则它关于对称轴直线x h =的对称点B 一定也在抛物线上，且B 点的坐标为（12,h x m -）一、利用对称性求抛物线的解析式例1. 二次函数的图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。分析：由结论1可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。再根据结论2，可知直线31 12 x -+= =-是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。解：设二次函数的解析式为y a x =++()132（顶点式），由图像经过B （1，1）所以11131 2 2=++=-a a ()，。从而可确定二次函数的解析式为y x =-++12 132()。二、利用对称性求函数值例2.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则该二次函数图像的对称轴为x=; x=2-对应的函数值y =；

二次函数顺口溜

九年级数学顺口溜函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀： “左右平移在括号,上下平移在末稍, 左正右负须牢记,上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看， k是斜率定夹角,b与Y轴来相见, k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反； k的绝对值越大,线离横轴就越远。 24.二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点,双曲线相背离的远; k为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限; 图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。二次函数二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下A负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。

二次函数必背口诀

二次函数必背口诀一、二次函数定义二次函数是指一般的二次方程可以写成y=ax²+bx+c的函数，其中a、 b、c是常数，且a≠0。二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下。三、二次函数的顶点二次函数的顶点即抛物线的最低点或最高点。当a>0时，顶点是最低点；当a<0时，顶点是最高点。四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是抛物线的中轴线，对称轴的方程是x=-b/2a。五、二次函数的零点二次函数的零点即方程ax²+bx+c=0的解，可以使用求根公式或配方法来求得。六、二次函数的平移二次函数的平移是指将抛物线沿x轴或y轴方向移动一定的距离。平移后的二次函数的顶点、对称轴和零点位置都会发生变化。七、二次函数的性质

1. 当a>0时，二次函数的图像在顶点处是最小值；当a<0时，二次函数的图像在顶点处是最大值。 2. 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。 3. 当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。 4. 当a>0时，二次函数的零点有两个；当a<0时，二次函数的零点有零个或两个。 5. 当a>0时，二次函数的对称轴是x=-b/2a；当a<0时，二次函数的对称轴是x=-b/2a。 6. 当a>0时，二次函数的顶点是最低点；当a<0时，二次函数的顶点是最高点。八、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射运动、电磁波的传播和反射等都可以用二次函数来描述和分析。九、总结通过对二次函数的必背口诀的学习，我们可以更好地理解和掌握二次函数的定义、图像、顶点、对称轴、零点、平移、性质和应用。二次函数是数学中重要的概念和工具，对于解决实际问题和学习其他数学知识都具有重要意义。

抛物线的对称性

2 1 知识点抛物线的对称性 2 _. 1、二次函数 y =ax bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y 二ax 2 bx c 化为顶点式y 二a(x_h)2 • k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0, c 、以及0, c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x i, 0， X 2，0 (若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点) 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点. 2、二次函数图象的对称性二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x 轴对称练习与巩固 1、请用五点绘图法画岀下列二次函数的草图 (1) y = x 2 4x 3 2、填空: (2)y 二-x 6x -8 2 2 y = ax • bx 关于x 轴对称后，得到的解析式是 y =-ax -bx-c ； 2 y =a x - h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是 2 y_-ax-h - k ； 2.关于y 轴对称 2 2 y =ax • bx 关于y 轴对称后，得到的解析式是 y=ax -bx c ； (1) ____________________________________________________________________________ 抛物线y = x 2 • 4x • 3关于x 轴对称的抛物线的解析式是 _____________________________________ 。 2 (2) ______________________________________________________________________________ 抛物线y 二-x • 6x -8关于y 轴对称的抛物线的解析式是 _______________________________________ 。 (3) 抛物线y - -2x 2 • 26X -18关于原点对称的抛物线的解析式是 _______________________________ (4) _____________________________________________________________________________ 抛物线y = 3x - 5x • 2关于顶点对称的抛物线的解析式是 ______________________________________ 。 2 y =a x 「h ］亠k 关于y 轴对称后，得到的解析式是 3.关于原点对称 3、已知抛物线C : y = -X 2 • bx ，c 经过点A (-3,0 )和B( 0,3 )两点，将这条抛物线的顶点记为 M 它的 2 2 y=ax ■ bx 关于原点对称后，得到的解析式是 y =-ax ，bx-c ； y =a x- h -关于原点对称后，得到的解析式是 4.关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转 180°) y =ax - bx 关于顶点对称后，得到的解析式是对称轴与x 轴的交点记为N 。 (1) 求抛物线C 的表达式； (2) 求点M 的坐标； (3) 将抛物线C 平移到C ，抛物线 C '的顶点记为 M',它的对称轴与 x 轴的交点记为 N'，如果以点 M N 、M 、N'为顶点的四边形是面积为 16的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？ y —x 3 2a

讨论抛物线的对称性

讨论抛物线的对称性抛物线是一个经典的二次曲线，其对称性在数学中有着重要的地位。本文将深入探讨抛物线的对称性特征，包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。一、顶点对称抛物线的顶点是其最高点（对于开口向上的抛物线）或最低点（对于开口向下的抛物线），而这个顶点是整个曲线的对称中心。具体来说，如果抛物线的顶点坐标为（h，k），则曲线上任意一点P（x，y）关于顶点（h，k）对称的另一点为P'（x'，y'）。满足以下关系：x' = 2h - x y' = 2k - y 这就意味着通过顶点将抛物线分成两个对称的部分。二、焦点对称抛物线还有一个重要的对称性特征是焦点对称。焦点是指确定抛物线形状的关键点，我们用字母F来表示。对于开口向上的抛物线，焦点位于顶点的下方，对于开口向下的抛物线，焦点位于顶点的上方。焦点对称指的是曲线上任意一点P到焦点F的距离与点P'到焦点F 的距离相等，即 PF = PF'

根据抛物线的性质可知，焦点到定点的距离等于焦半径，即 PF = PD（D为抛物线的顶点到直线y=k的距离）。三、轴对称抛物线还具有轴对称的性质，其中轴称为对称轴。对称轴是垂直于焦半径、通过顶点的一条直线。具体来说，如果抛物线开口向上，对称轴是水平线 y = k；如果抛物线开口向下，对称轴是水平线 x = h。轴对称指的是关于对称轴对抛物线进行镜像对称，即曲线上任意一点P关于对称轴的镜像点P'，满足以下关系： P'（x，y）= P（x'，y'），其中 x = 2h - x'，y = y' 经过以上对抛物线的对称性特征的讨论，我们可以看出抛物线的特殊形状与其对称性密不可分。这些对称性特征可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并在解决实际问题时提供重要的数学工具。总结：抛物线的对称性主要包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。顶点对称以抛物线的顶点为中心，将曲线分为两个对称部分；焦点对称表明曲线上任意一点到焦点的距离相等；而轴对称以对称轴为中心，实现曲线的镜像对称。这些对称性特征帮助我们更好地理解和应用抛物线，扩展了数学的应用领域。通过对抛物线的对称性特征的讨论，我们可以更深入地了解抛物线的性质和应用，提高数学问题的解决能力，并在其他领域中灵活应用

抛物线图象位置与a、b、c的关系

抛物线c bx ax y ++=2图象位置与 a 、 b 、 c 的关系一、知识要点：（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.因为抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴； ③0

函数口诀

1.一元一次不等式解题的一般步骤: 去分母、去括号,移项时候要变号; 同类项、合并好,再把系数来除掉; 两边除(以)负数时,不等号改向别忘了。 2.特殊点坐标特征: 坐标平面点(x,y),横在前来纵在后; (+,+),(-,+),(-,-)与(+,-),四个象限分前后; X轴上y为0,x为0在Y轴。 3.平行某轴的直线: 平行某轴的直线,点的坐标有讲究, 直线平行X轴,纵坐标相等横不同; 直线平行于Y轴,点的横坐标仍照旧。 4.对称点坐标: 对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆, X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号; 原点对称最好记,横纵坐标变符号。 5.自变量的取值范围: 分式分母不为零,偶次根下负不行; 零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。 6.函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b, 二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式, 则用下面后的口诀: “左右平移在括号,上下平移在末稍, 左正右负须牢记,上正下负错不了”。 7.一次函数图像与性质口诀: 一次函数就是直线,图像经过仨象限; 正比例函数更简单,经过原点一直线; 两个系数k与b,作用之大莫小瞧, k就是斜率定夹角,b与Y轴来相见, k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反; k的绝对值越大,线离横轴就越远。 8.二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线,图象对称就是关键; 开口、顶点与交点,它们确定图象限;

开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。 9.反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点,双曲线相背离的远; k为正,图在一、三(象)限;k为负,图在二、四(象)限; 图在一、三函数减,两个分支分别减;图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。函数学习口决:正比例函数就是直线,图象一定过原点,k的正负就是关键,决定直线的象限, 负k经过二四限,x增大y在减,上下平移k不变,由引得到一次线,向上加b向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数就是关键; 反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k落在一三限,x增大y在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴就是角分线x、y的顺序可交换; 二次函数抛物线,选定需要三个点,a的正负开口判,c的大小y轴瞧,△的符号最简便,x轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。 10.求定义域: 求定义域有讲究,四项原则须留意。负数不能开平方,分母为零无意义。指就是分数底正数,数零没有零次幂。限制条件不唯一,满足多个不等式。求定义域要过关,四项原则须注意。负数不能开平方,分母为零无意义。分数指数底正数,数零没有零次幂。限制条件不唯一,不等式组求解集。 11.解一元一次不等式: 先去分母再括号,移项合并同类项。系数化“1”有讲究,同乘除负要变向。先去分母再括号,移项别忘要变号。同类各项去合并,系数化“1”注意了。同乘除正无防碍,同乘除负也变号。 12.解一元一次不等式组: 大于头来小于尾,大小不一中间找。大大小小没有解,四种情况全来了。同向取两边,异向取中间。中间无元素,无解便出现。幼儿园小鬼当家,(同小相对取较小) 敬老院以老为荣,(同大就要取较大)

二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）

点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法

二次函数知识再归纳

二次函数知识再归纳一. 二次函数的性质 1.抛物线开口向上(即a ＞0)：抛物线上的点到对称轴的距离越远，y 值越大，到对称轴的距离越近，y 值越小. 即：抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，顶点C(0x ，0y )，若|1x -0x |＞|2x -0x |，则1y ＞2y ；若|1x -0x |＜|2x -0x |，则1y ＜2y ； 2.抛物线开口向下(即a ＜0)：抛物线上的点到对称轴的距离越远，y 值越小，到对称轴的距离越近，y 值越大. 即：抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，顶点C(0x ，0y )，若|1x -0x |＞|2x -0x |，则1y ＜2y ；若|1x -0x |＜|2x -0x |，则1y ＞2y ； 3.无论开口向上还是向下，抛物线上的点到对称轴的距离相等，则y 值相等；反之，抛物线上的点y 值相同，那么它们到对称轴的距离相等(即横坐标相加除以2就是对称轴)； 4.已知抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0x ，0y )，且C 为顶点，若1y ＞2y ≥0y ，则a ＞0；若1y ＜2y ≤0y ，则a ＜0. 二.平移 1.图象(或图象上的)点的平移法则：左减右加，上加下减； 2.表达式的平移法则：左加右减，上加下减；例如：将y=-2x ²+x-2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到： y=-2(x+1)²+(x+1)-2-2=y=-2x ²-3x-5； (1)平移不改变二次项系数“a ” ①左右平移：不改变函数值(即y 值)，若图象与x 轴有两个交点，那么两交点之间的距离不变；若与x 轴交于点A(1x ，1y )，点B(2x ，2y )，则： |AB|=|21x -x |=221)x x (-=212 21x x 4-)x x (+ ②上下平移:不改变自变量(即x)的值，对称轴不变(即a ，b 都不变)；三.轴对称(即翻折) 1.关于x 轴对称 (1)一般式:y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=-ax ²-bx-c 顶点式:y=a(x-h)²+k(a ≠0)变为y=-a(x-h)²-k 2.关于y 轴对称 (1)一般式:y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=ax ²-bx+c

中考数学二次函数超全知识点记忆口诀

中考数学二次函数超全知识点记忆口诀 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0 a 时，开口向上；当0

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0