等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形 在数学中，三角形是一种基本的几何形状，根据其边长和角度的关系，可以分为不同的类型。其中，等腰三角形和直角三角形是两个常见的三角形类型，它们在几何学和实际应用中都具有重要的意义。 一、等腰三角形 等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，两个底角的大小相等。等腰三角形有很多性质和特点，下面我们来介绍几个重要的性质： 1. 等腰三角形的底角相等。 无论等腰三角形的顶角是多少，只要两边相等，底角就会相等。这是等腰三角形的一个重要性质。 2. 等腰三角形的高线相等。 等腰三角形的高线是从顶角到底边上的垂直线段，对于等腰三角形来说，高线的长度相等。 3. 等腰三角形的内角和为180度。 等腰三角形的两个底角相等，所以三角形的内角和为180度，这是三角形的基本性质。 二、直角三角形
直角三角形是指具有一个角是90度的三角形。直角三角形中最常 用的性质就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角 边的平方和。除此之外，直角三角形还有以下性质： 1. 直角三角形的两个锐角之和等于90度。 直角三角形中，最大的一个角是90度，所以其余两个角的和等于 90度。 2. 直角三角形的两个直角边的比值为斜边的正切值。 直角三角形中，直角边与斜边的比值可以用正切函数计算，即tan(θ) = 对边/邻边。 3. 直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半。 直角三角形的面积可以通过两直角边的乘积再除以2来计算。 三、等腰三角形与直角三角形的联系 等腰三角形和直角三角形在几何学中有一些联系和共同点。首先，对于一个等腰直角三角形来说，它既是等腰三角形又是直角三角形。 其次，在等腰三角形中，如果顶角等于90度，那么这个等腰三角形就成为直角三角形。 此外，在计算等腰三角形和直角三角形的面积时，也可以使用相同的公式。对于等腰三角形，可以使用底边和高线的乘积再除以2来计 算面积；对于直角三角形，可以使用两条直角边的乘积再除以2来计 算面积。
等腰直角三角形
11 等腰直角三角形 等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R=1:（根号2加1）。 目录 1关系 2线段 3解三角形 4勾股定理 5证明方法 6定理 7相关定理
8梅涅劳斯9特殊等腰
高：顶点到对边垂足的连线。 角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。 中位线：任意两边中点的连线。 3解三角形 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r) （2）余弦定理。 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cb b^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2ac c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab 4勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C 满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 5证明方法 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45度，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R＝1:（根号2加1）。 等腰直角三角形的边角之间的关系： （1）三角形三内角和等于180°； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. 等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.
（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 （3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 （4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。 注意！①三角形的内心、重心都在三角形的内部.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。 ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边 中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。 三角形中的线段 中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。 高：顶点到对边垂足的连线。 角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。 中位线：任意两边中点的连线。 性质 等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊） 1）等边三角形的内角都相等，且为60度。 2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）。
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形、直角三角形 考点一：等腰三角形 以BC为底，以长度a为腰的等腰三角形 由：△ABD≌△ACD （SAS） ∴∠A=∠B CD⊥AB AD=BD 1、定义：有两边相等的三角形 2、性质：（1）等边对等角 （2）三线合一（本质：三角形全等）： AB=BC;AD为角平分线；AD⊥BC；BD=DC。（知二求二） 例3.已知三角形ABC， （1）若AD⊥BC，BD=CD，求证:△ABC为等腰三角形； （2）若AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求证:△ABC为等腰三角形； （3）若∠BAD=∠CAD，BD=CD, 求证:△ABC为等腰三角形. 证明思路：（1）△ABD≌△ACD（HL） （2）△ABD≌△ACD（ASA） （3）过D分别作AB，AC的垂线，利用角分线构造全等三角形 例1. 如图，在△ABC 中AB = AC，AD = DE = EB，BC = BD，求∠A 的度数.
解：设∠A=x，则 ∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x； ∵DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=0.5x 又∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=1.5x； ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1.5x； 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=4x=180°， ∴∠A=x=45°． 故答案为：45°． 【三线合一】性质应用： 方法：找等腰三角形和三线 例2. 如图△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD是BC边上的中线，E是AB 上一点且BD = BE，求∠ADE的度数. 等腰△ABC＋AD为底边中线 例5. 已知:如图，在△ABC中AB = AC，∠A = 60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE = CD. 求证:DB = DE.
九年级中考数学专题讲义15 等腰三角形与直角三角形
专题15 等腰三角形与直角三角形 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°． 2．等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形 1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． 3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 三、直角三角形与勾股定理 1．直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 性质：（1）直角三角形两锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形； （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2．勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
直角三角形的性质和定理
直角三角形的性质和定理 直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。本文将会 介绍直角三角形的性质和常见定理。 性质一：直角三角形的两条直角边 在直角三角形中，两条直角边是不同的边，分别与直角夹角相对应。我们可以用两个小写字母a和b来表示两条直角边，其中a为直角边， b为直角边。根据直角三角形的性质，直角边a和b满足勾股定理。 定理一：勾股定理（Pythagorean theorem） 在直角三角形中，直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a²+ b² = c²。其中c为斜边，也被称为斜边或者斜边。 性质二：直角三角形的角度关系 直角三角形中的两个锐角（非直角）之和等于90度。我们可以用 一个大写字母θ来表示任意一个锐角。因此，若一个锐角为θ，则另一 个锐角为90度减去θ。 性质三：特殊直角三角形 1. 等腰直角三角形：两条直角边长度相等的直角三角形被称为等腰 直角三角形。在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。
2. 30-60-90度直角三角形：如果直角边的长度为1，那么在30-60- 90度直角三角形中，边长度之比为1：√3：2。其中，较短的边长为1，较长的边长为2，斜边的边长为√3。 3. 45-45-90度直角三角形：如果直角边的长度为1，那么在45-45- 90度直角三角形中，边长度之比为1：1：√2。 这些特殊直角三角形的性质和边长比例可以通过三角函数（正弦、 余弦和正切）的计算得出，因此在解决实际问题中非常有用。 定理二：正弦定理（Sine theorem） 正弦定理描述了直角三角形中的角度和边长之间的关系。假设在直 角三角形ABC中，a、b和c分别代表边AC、BC和AB的长度，A、 B和C是对应角度。则正弦定理可以表示为： sin(A) = a / c sin(B) = b / c 定理三：余弦定理（Cosine theorem） 余弦定理描述了直角三角形中的角度和边长之间的关系。假设在直 角三角形ABC中，a、b和c分别代表边AC、BC和AB的长度，A、 B和C是对应角度。则余弦定理可以表示为： c² = a² + b² - 2ab * cos(C) 定理四：正切定理（Tangent theorem）
直角三角形的性质
直角三角形的性质 直角三角形是初中数学中经常学习的一个重要概念，它有许多独特的性质和特点。本文将介绍直角三角形的性质，以便读者对其有一个清晰的了解。 一、直角三角形的定义 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。直角三角形中，除了直角角外，还有两个锐角（小于90度）。根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。 二、特殊的直角三角形 1. 等腰直角三角形 等腰直角三角形是指直角三角形中两个直角边相等的三角形。在等腰直角三角形中，根据勾股定理可得，直角边的长度等于斜边长度的一半。 2. 等边直角三角形 等边直角三角形是指直角三角形中三个边长度都相等的三角形。在等边直角三角形中，根据勾股定理可得，直角边的长度等于斜边长度的根号3。 三、直角三角形的性质 1. 直角三角形的斜边是最长的边
由勾股定理可知，直角三角形中斜边的长度最长，而两直角边的长度相对较短。 2. 直角三角形的两个锐角互余 如果一个角是另一个角的补角，那么这两个角被称为互余角。在直角三角形中，两个锐角互余，即它们的和等于90度。 3. 直角三角形的一个锐角是45度 在一个直角三角形中，除了一个90度的角外，另一个锐角始终是45度。这是因为在直角三角形中，两个锐角的和等于90度。 4. 直角三角形的两个锐角是锐角三角形的最大角 锐角三角形是指三个角都小于90度的三角形。在锐角三角形中，直角三角形的两个锐角是最大的两个角。 5. 直角三角形的相邻边满足勾股定理 勾股定理指出直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。这一性质可以用来求解直角三角形中未知边长的问题。 四、直角三角形的应用 直角三角形在现实生活和工程中有许多应用。例如，在测量中，可以通过测量直角三角形的两个直角边的长度，以及斜边上的高度，来计算其他未知的边长或角度。此外，在设计和建造中，直角三角形的性质也被广泛应用，如建筑物的结构设计、道路交通工程的路线设计等。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形 等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。 一、等腰三角形的概念 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。 2. 性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴） （2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。 （3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。 3. 判定 （1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形 （2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形 二、等边三角形 1. 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 （1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴 （2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º （3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。 3. 判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形
（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1. 定义 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2. 性质 （1）直角三角形两个锐角互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半 （4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边） 3. 判定 （1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。 （2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。 （3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形 四、基础题型 1. 例题1 如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？
等腰三角形和直角三角形的关系
等腰三角形和直角三角形的关系 等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形形状，在几何学中具有重要的地位和应用。它们之间存在一定的关系，本文将从不同的角度进行介绍和比较。 从定义上来看，等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形，而直角三角形则是指其中一条角为直角的三角形。根据这两个定义，可以得出等腰直角三角形是指既具有两条边长度相等，又具有一个角为直角的三角形。 从形状上来看，等腰三角形的顶角和底边角度相等，而直角三角形的底边角度为90度。因此，等腰直角三角形的顶角也为45度，底边角度为90度，这种特殊的角度使得等腰直角三角形具有独特的形态。 进一步探讨等腰直角三角形的性质，可以发现以下几点： 1. 等腰直角三角形的两条等腰边相等，这是等腰三角形的性质；同时，其中一个角为直角，这是直角三角形的性质。因此，等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的结合。 2. 等腰直角三角形的斜边长度可以通过等腰边的长度计算得出。根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边长度的平方和的平方根。由于等腰直角三角形的两个等腰边相等，所以可以简化
为斜边长度等于等腰边长度的平方根乘以2。 3. 等腰直角三角形的面积可以通过等腰边的长度计算得出。根据三角形面积公式，等腰直角三角形的面积等于等腰边长度的平方除以2。 4. 等腰直角三角形的高度可以通过等腰边的长度计算得出。根据等腰三角形的性质，等腰直角三角形的高度等于底边长度的一半。 除了以上性质，等腰直角三角形还有一些特殊的应用和意义。例如，在建筑设计中，等腰直角三角形常用于绘制直角线，用来保证建筑物的垂直度。在数学推导和证明中，等腰直角三角形也经常被用作基本图形，用来辅助证明其他定理。 总结起来，等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形形状，它们之间存在一定的关系。等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的结合体，具有独特的形态和性质。无论是在几何学还是实际应用中，等腰直角三角形都具有重要的地位和作用。通过对等腰直角三角形的研究和应用，我们可以更深入地理解和掌握三角形的性质和特点。
等腰直角三角形特点
等腰直角三角形特点 等腰直角三角形是指一个三角形的两条边长度相等并且有一个角为直角的特殊三角形。它具有独特的性质和特点，下面将详细介绍等腰直角三角形的相关知识。 首先，等腰直角三角形的定义是指一个三角形的两条边（即两条直角边）长度相等，并且有一个角为直角。根据勾股定理可知，等腰直角三角形的两条直角边的边长相等，而斜边的边长则可以通过直角边的边长来计算。 其次，等腰直角三角形的特点之一是两个等边。因为等腰直角三角形的两条直角边的边长相等，所以这个三角形的两边也相等。这种特性使得等腰直角三角形具有一些特殊的性质和应用。 另外，等腰直角三角形的特点还包括一个直角。直角是一个角度为90度的角，它是等腰直角三角形中的一个角。直角的出现使等腰直角三角形在几何学中具有重要意义。直角使得该三角形在数学和工程学中有广泛的应用，例如在建筑设计、航天工程和导航系统中，等腰直角三角形的特性被广泛应用。 其它特征还包括等腰直角三角形的周长和面积的计算。根据勾股定理，若直角边的长度为a，则斜边的长度为a√2。因此，等腰直角三角形的周长为2a + a√2。对于等腰直角三角形的面积，可以通过直角边的边长计算，公式为a²/2。 除了上述特点，等腰直角三角形在平面几何中还与其他图形有一定的关联。例如，将等腰直角三角形的两个直角边延长，会得到一个矩形。这是因为两边相等的性质，使得等腰直角三角形可以进一步分解为矩形。 此外，等腰直角三角形还与正方形有一定的关系。通过将一个等腰直角三角形翻转并旋转90度，可以得到一个正方形。这是因为直角和两边相等的性质都被满足了。 综上所述，等腰直角三角形是一个具有独特特点的三角形。它的
第十七讲 等腰三角形与直角三角形
第十七讲 等腰三角形与直角三角形 归纳 1：等腰三角形 基础知识归纳：1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°． 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =2 180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题． 【例1】已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，则m 的值是（ ） A ．34 B ．30 C ．30或34 D ．30或36
归纳2：等边三角形 基础知识归纳：1．定义 三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．性质： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 3．判定 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【例2】如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（） A． 3 2 B． 23 5 C． 3 3 D． 3 4 归纳3：直角三角形 基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角互余． （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形． （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
