第六节 双曲线-高考状元之路

第六节 双曲线

预习设计 基础备考

知识梳理 1．双曲线的概念

平面内到两定点

21,F F 的距离之差的 等于常数（大于零且小于||21F F )的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的 两焦点间的距离叫

集合,2||,2||||||{2121c F F a MF MF M p ==-=其中a 、c 为常数且}.0,0>>c a (1)当 时，P 点的轨迹是 (2)当 时，P 点的轨迹是 (3)当 时，P 点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

3．等轴双曲线

等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为),0(2

2

=/=-λλy x 离心率=e 渐近线方程

为

典题热身

1．过双曲线822=-y x 的左焦点1F 有一条弦PQ 在左支上，若2,7||F PQ =是双曲线的右焦点，则

Q PF 2?的周长是( )

28.A 2814.-B 2814.+C 28.D

答案：C

2．（2011．安徽高考）双曲线8222=-y x 的实轴长是( )

2.A 22.B 4.C 24.D

答案：C

3．(2011.湖南高考)设双曲线)0(192

22>=-a y a

x 的渐近线方程为,023=±y x 则a 的值为 ( ) 4.A 3.B 2.c 1.D

答案：C

4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为,02=-y x 则它的离心率为( )

5.A 25

.B 3.C 2.D

答案：A

5．(2011．江西高考)若双曲线

1162

2=-m

x y 的离心率,2=e 则=m 答案：48

课堂设计 方法备考

题型一 双曲线的定义及其应用

【例1】已知动圆M 与圆2)4(:2

2

1=++y x c 外切，与圆:2c 2)4(2

2

=+-y x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.

题型二 求双曲线的标准方程

【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)与双曲线

11692

2=-y x 有共同的渐近线，且过点);32,3(- (2)与双曲线14

162

2=-y x 有公共焦点，且过点).2,23(

题型三 双曲线的几何性质及其应用

【例3】中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点,,21F F 且,132||21=F F 椭圆的长半轴与双曲线方程实半轴之差为4，离心率之比为3:7．

(1)求这两曲线方程；

(2)若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．

题型四 直线与双曲线的位置关系

【例4】已知椭圆1C 的方程为,14

22

=+y x 双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点． (1)求双曲线2c 的方程

(2)若直线?+=2:kx y l 与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?（其中O 为原点），求k 的取值范围．

技法巧点

(1)两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心． (2)焦点到渐近线的距离等于虚半轴长6．

(3)与双曲线12222=-b

y a x 共用渐近线的双曲线的方程可设为).0(22

22=/=-t t b y a x

(4)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“l”为“O”就得

到两渐近线方程，即方程022=-b y a x 就是双曲线12

2=-b

y a x 的两条渐近线方程．

失误防范

1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中,2

22c b a +=而在双曲线中.2

2

2

b a

c +=

2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率).1,0(∈e

3．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程是=y )0,0(1,2

2>>=-±b a b x a

y x a b 的渐近线方程

是.x b

a y ±

= 4．若利用弦长公式计算，在涉及直线斜率时要注意说明斜率是否存在．

5．直线与双曲线交予一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点，

随堂反馈

1．（2011．福建泉州模拟）已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线19

16:2

2=-y x C 的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则P

si A sin |

.sin |-的值等于( )

54..A 47.B 4

5

.C 7.D

答案：A

2．(2011．广东汕头模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近

线的距离为,2则双曲线方程为( )

2.22=-y x A 2.22=-y x B 1.22=-y x C 2

1.22=

-y x D 答案：A

3．(2011．浙江金丽衢联考)若双曲线122=-b y a x 的一条渐近线方程为,03

=+y x

则此双曲线的离心率为

(． )

10103.

A 3

10

.B 22.C 10.D 答案：B

4．（2010．全国课标卷）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，-2)，则它的离心率为 ( )

6.A 5.B 26.c 25

.D

答案：D

5．（2011．南京模拟）已知抛物线)0(22

>=P Px y 的焦点F 恰好是双曲线122

2=-b

y a x 的右焦点，且双

曲线过点),2,3(2

2P b P a 则该双曲线的渐近线方程为

答案： x y 4

10

±

=

高效作业 技能备考

一、选择题

1．（2011．浙江温州十校联考）在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线)0,0(12

2>>=-b a b

y a x 的左焦点

F 作圆=+2

2y x 2

a 的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则||||MT OM -

等于 ( )

a b A -. b a B -. 2

.

b

a c +

b a D +. 答案：A

2．（2011．合肥一中模拟）已知双曲线>>=-b a b

y a x ,0(122

22)0的一条渐近线的方程为,034=-y x 则

此双曲线的离心率为( )

54.A 45.B 53.c 3

5

.D 答案：D

3．(2011．广州一中月考)过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与

双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若,2

1

=则双曲线的离心率是( )

2.A

3.B 5.C 10.D

答案：C

4．（2010．山东济宁期末）已知点F 是双曲线>=-a b

y a x (122

22)0,0>b 的左焦点，点E 是该双曲线的右

顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离

心率是 （ ）

2.A 2.B 21.+C 22.+D

答案：B

5．（2011．广东深圳模拟）已知双曲线的两个焦点为,10(1-F M F ),0,10()02、是此双曲线上的一点，

且满足,021=?MF MF ,2=则该双曲线的方程是 ( )

19.22=-y x A 19..22

=-y x B 173

.22=-y x c 137.22=-y x D

答案：A

6．(2011．浙江高考)已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b

y a x C 与双曲线14:22

2=-y x C 有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则( )

213.2=

a A 13.2=a B 2

1.2=b c

2.2

=b D 答案：C

二、填空题．

7．(2011．上海张堰中学模拟)若,0>m 点)2

5

,(m p 在双曲线15422=-y x 上，：则点P 到该双曲线左焦点的距离为 答案：2

13

8．(2011．山东泰安模拟)P 为双曲线115

2

2

=-y x 右支上一点，M 、N 分别是圆4)4(22=++y x 和1)4(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为

答案：5

9．已知点P 是双曲线122

22=-b

y a x 上除顶点外的任意一点，21F F 、分别为左、右焦点，C 为半焦距，

21F PF ? 内切圆与21F F 切于点M ，则=?||||21M F M F 答案：2

b

三、解答题

10．(2011．江苏启东中学模拟)已知双曲线P y x C ,14

:22

=-为C 上的任意点． (1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3，O)，求|PA|的最小值．

11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，O)，右顶点为).0,3( (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线：)0,0(=/=/+=m k m kx y 与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A （O ，-1），求实数m 的取值范围．

12．（2011．山东日照模拟）已知离心率为

5

4

的椭圆的中心在原点 ，焦点在 x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为.342

(1)求椭圆及双曲线的方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接PA 并延长交椭圆于点N ，若,=求四边形ANBM 的面积，