19-20版 第1章 1.2 第3课时 三角形中的几何计算
第3课时三角形中的几何计算
学习目标核心素养
1.掌握三角形的面积公式的应
用．(重点
)
2．掌握正、余弦定理与三角函数
公式的综合应用．(难点)
1.通过三角形面积公式的学习，培
养学生的数学运算的素养．
2．借助三角形中的综合问题的学
习，提升学生的数学抽象的素养.
1．三角形的面积公式
(1)S＝
1
2a·h a＝
1
2b·h b＝
1
2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)；
(2)S＝
1
2ab sin C＝
1
2bc sin A＝
1
2ca sin B；
(3)S＝
1
2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
2．三角形中常用的结论
(1)∠A＋∠B＝π－∠C，
∠A＋∠B
2＝
π
2－
∠C
2；
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
(4)三角形的诱导公式
sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，
tan(A＋B)＝－tan_C?
?
?
?
?
∠C≠
π
2，
sin
A＋B
2＝cos
C
2，
cos
A＋B
2＝sin
C
2.
1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()
A ．3
2 B ．33
2 C ．3
D ．3
B [S △AB
C ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33
2.]
2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝1
2×6×6×sin 120°＝9 3.]
3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝3
2AC ＝3，
∴AC ＝2.
∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.]
三角形面积的计算
【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝4
5，b ＝ 3.
(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．
[解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝4
5， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝3
5.
∴sin C ＝sin ? ??
??
2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
(2)由(1)知sin A＝3
5，sin C＝
3＋43
10.
又∵∠B＝π
3，b＝3，∴在△ABC中，
由正弦定理得
a＝b sin A
sin B＝
6
5.
∴△ABC的面积S＝1
2ab sin C
＝1
2×
6
5×3×
3＋43
10＝
36＋93
50.
对于此类问题，一般用公式S＝1
2ab sin C＝
1
2bc sin A＝
1
2ac sin B进行求解，可
分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
1．在△ABC中，已知∠C＝120°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．
[解]由正弦定理知AB
sin C＝
AC sin B，
即
23
sin 120°＝
2
sin B，
所以sin B＝1
2，由于AB>AC，
所以∠C>∠B，故∠B＝30°.
从而∠A＝180°－120°－30°＝30°. 所以△ABC的面积
S＝1
2AB·AC·sin A
＝1
2×23×2×sin 30°
＝ 3.
三角形中的计算
【例2】在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为7
2，求边
长A．
[解]如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CD＝DB＝x，
则CB＝a＝2x.
因为c＝4，b＝7，AD＝7 2，
在△ACD中，
有cos C＝72＋x2－?
?
?
?
?7
2
2
2×7×x
，
在△ABC中，有cos C＝72＋(2x)2－42 2×7×2x
.
所以72＋x2－?
?
?
?
?7
2
2
2×7×x
＝
72＋(2x)2－42
2×7×2x
.
解得x＝9 2.
所以a＝2x＝9.
1．正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
2．此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．
2．在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD →·AC →＝0，sin ∠BAC ＝22
3，AB ＝32，BD ＝ 3.
(1)求AD 的长； (2)求cos C ．
[解] (1)因为AD →·AC →＝0， 所以AD ⊥AC ，
所以sin ∠BAC ＝sin ? ????
π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ，
因为sin ∠BAC ＝22
3， 所以cos ∠BAD ＝22
3.
在△ABD 中，由余弦定理可知BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， 即AD 2－8AD ＋15＝0， 解得AD ＝5或AD ＝3. 由于AB >AD ， 所以AD ＝3.
(2)在△ABD 中，由正弦定理可知， BD sin ∠BAD ＝AB
sin ∠ADB ，
又由cos ∠BAD ＝22
3，
可知sin ∠BAD ＝1
3， 所以sin ∠ADB ＝
AB ·sin ∠BAD BD ＝
6
3，
又∠DAC ＝90°，
所以cos C ＝sin ∠CDA ＝sin ∠ADB ＝6
3.
三角形中的综合问题
1．如图所示，图中共有几个三角形？线段AD 分别是哪些三角形的边，∠B 是哪些三角形的内角？
[提示] 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC ，△ABD ，△ADC ；线段AD 是△ADC 与△ABD 的公共边，∠B 既是△ABC 的内角，又是△ABD 的内角．
2．在探究1中，若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 是什么形状的三角形？在此条件下，若已知∠ADB=α，AB ＝m ，DC ＝n ，如何求出AC?
[提示] 若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD 中先求出AD ，然后利用余弦定理在△ADC 中求出AC ，也可以在△ABD 中先求出BD ，然后在△ABC 中，利用余弦定理求出AC ．
3．在探究1的图形中若已知∠B 与∠C 的大小，如何表示(或求)∠A ，如何用∠B 与∠C 的正、余弦值表示∠A 的正弦值？
[提示] ∠A ＝π－(∠B ＋∠C )，sin A ＝sin [π－(B ＋C )] ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．
【例3】 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝π4，b sin ? ????π4＋C －c sin ? ??
??
π4＋B ＝A ．
(1)求证：∠B －∠C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．
[思路探究] (1)先由正弦定理化边为角，再化简即证．
(2)结合第(1)问可直接求出∠B ，∠C ．再利用面积公式求值；也可以作辅助线得出b ，c 的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．
[解] (1)证明：由b sin ? ????π4＋C －c sin ? ????
π4＋B ＝a ，应用正弦定理，
得sin B sin ? ????π4＋C －sin C sin ? ??
??
π4＋B ＝sin A ，
所以sin B ? ????22sin C ＋2
2cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，
整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1， 因为0<∠B <34π，0<∠C <34π，从而∠B －∠C ＝π
2. (2)因为∠B ＋∠C ＝π－∠A ＝3π4，所以∠B ＝58π，∠C ＝π
8.
由a ＝2，∠A ＝π4得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π
8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8·sin π8＝2cos π8sin π8＝1
2.
1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．
2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．
3．如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝CD ＝1
2AB ＝1，AB →·AC →＝1，sin ∠BCD ＝35.
(1)求BC 边的长；
(2)求四边形ABCD 的面积．
[解] (1)∵AC ＝CD ＝1
2AB ＝1，
∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2cos ∠BAC ＝1，∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.
在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝22＋12－2×2×1×1
2＝3，∴BC ＝ 3.
(2)由(1)知，在△ABC 中，有AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×3×1＝32. 又∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°＋∠ACD ， sin ∠BCD ＝35，∴cos ∠ACD ＝35， 从而sin ∠ACD ＝1－cos 2∠ACD ＝4
5， ∴S △ACD ＝12AC ·CD ·sin ∠ACD ＝12×1×1×45＝2
5. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32＋25＝4＋5310.
1．本节课的重点是三角形面积公式及其应用，难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形．
2．本节要重点掌握的规律方法 (1)与三角形面积有关的计算． (2)与三角形中线段长度有关的计算． (3)与解三角形有关的综合问题．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S ＝(a＋b＋c)r.()
(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则∠A＝60°.()
(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，则S△ABC的面积是6.()
(4)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B．()
[解析](1)×.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切
圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S＝1
2ar＋
1
2br＋
1
2cr＝
1
2(a＋b＋c)r.
(2)×.由三角形面积公式S＝1
2bc sin A得，
1
2×2×2×sin A＝3，所以sin A＝
3
2，则∠A＝60°或∠A＝120°.
(3)√.因为三角形的面积S＝1
2ab sin C＝
1
2×6×4×sin 30°＝6.
(4)×.因为在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2
∠B，即∠A＝∠B或∠A＝π
2－∠B
．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×
2．已知△ABC的面积为3
2，且b＝2，c＝3，则()
A．∠A＝30°B．∠A＝60°
C．∠A＝30°或150°D．∠A＝60°或120°
D[∵S＝1
2bc sin A＝
3
2，
∴1
2×2×3sin A＝
3
2，∴sin A＝
3
2，
∴∠A＝60°或120°.故选D．]
3．在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面积为153
4，则BC
边的长为________．
7[∵S△ABC＝1
2×3×b×sin 120°＝
153
4，∴b＝5，∴由余弦定理得a
2＝32
＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.]
4．在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，已知c
＝2，∠C ＝π
3.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解] (1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3， 所以1
2ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程??? a 2＋b 2－ab ＝4，
ab ＝4，
解得???
a ＝2，
b ＝2.
(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a ． 联立方程???
a 2＋
b 2－ab ＝4，
b ＝2a ，
解得???
??
a ＝233，
b ＝433.
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.
课时分层作业(五) 三角形中的几何计算
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21
D ．13
D [∵S △ABC ＝1
2bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13.∴a ＝13.]
2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C
＝c a ＋b
，则∠A ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．π3或2π3
B [由
sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c
a ＋b
，整理得b 2＋c 2
－a 2
＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝
π
3.]
3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．3
2 B ．332 C ．
3＋62
D ．
3＋39
4
B [作图，AD ⊥B
C 于
D ．
在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]
4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π
3，则△ABC 的面积是( )
A ．3
B ．932
C ．332
D ．3 3
C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．
∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝33
2.]
5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
A ．32
B ．34
C ．3
2或 3
D ．34或32
D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.]
二、填空题
6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1
3，则△ABC 的面积为________． 43 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×22
3＝4 3.]
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.
6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3
5， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝4
5. 故S ＝12×3×5×4
5＝6(cm 2)．]
8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π
3，a ＝3，b ＝1，则S △ABC 等于________．
32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，则sin B ＝12，
因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π
6， 所以∠C ＝π
2，
所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝3
2.] 三、解答题
9．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B
sin A .
[证明] 法一：左边＝a －
c (a 2＋c 2－b 2)2ac
b －
c (b 2＋c 2－a 2)2bc
＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2
＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B
sin A ＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ∴
a －c cos B
b －
c cos A ＝sin B
sin A
.
法二：左边＝sin A －sin C cos B
sin B －sin C cos A
＝
sin (B ＋C )－sin C ·cos B
sin (A ＋C )－sin C ·cos A
＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B
sin A ＝右边(cos C ≠0)， ∴a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A
. 10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2
＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C
2，BC 边上的中线AM 的长为7.
(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．
[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π
6.
由sin A sin B ＝cos 2C 2，得1
2sin B ＝1＋cos C 2
，即sin B ＝1＋cos C ，
则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π
6，
则sin ? ????5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ?
?
???C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6. (2)由(1)知a ＝b ，则AM 2
＝b 2
＋? ??
??a 22－2b ×a 2×cos C ＝b 2＋b 2
4＋b 22＝(7)2，得
b ＝2，
故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×3
2＝ 3.
[能力提升练]
1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16
C ．323或16
D ．323或16 3
D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A
a ＝83×1
28
＝32，
又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.
当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝1
2×8×83＝323；
当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×1
2＝16 3.]
2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
C [如图，由题意得 ?????
a ＋
b ＋
c ＝20，1
2bc sin 60°
＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，
则bc ＝40，
a 2＝
b 2＋
c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40，
∴a ＝7.]
3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________．
3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝3
2. 由正弦定理c
sin C ＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.]
4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－1
3，则b 的值为________． 27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝22
3，根据面积为32得， 1
2ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]
5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ．
(1)求cos A ；
(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－1
3， 从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝1
3.
(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即1
2bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组??? bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得??? b ＝2，c ＝3或???
b ＝3，
c ＝2.
19-20版 第1章 1.2 第3课时 三角形中的几何计算
第3课时三角形中的几何计算 学习目标核心素养 1.掌握三角形的面积公式的应 用．(重点 ) 2．掌握正、余弦定理与三角函数 公式的综合应用．(难点) 1.通过三角形面积公式的学习，培 养学生的数学运算的素养． 2．借助三角形中的综合问题的学 习，提升学生的数学抽象的素养. 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·h a＝ 1 2b·h b＝ 1 2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)； (2)S＝ 1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ca sin B； (3)S＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 2．三角形中常用的结论 (1)∠A＋∠B＝π－∠C， ∠A＋∠B 2＝ π 2－ ∠C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C? ? ? ? ? ∠C≠ π 2， sin A＋B 2＝cos C 2， cos A＋B 2＝sin C 2. 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()
A ．3 2 B ．33 2 C ．3 D ．3 B [S △AB C ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33 2.] 2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝1 2×6×6×sin 120°＝9 3.] 3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝3 2AC ＝3， ∴AC ＝2. ∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.] 三角形面积的计算 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝4 5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝4 5， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝3 5. ∴sin C ＝sin ? ?? ?? 2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
三年级简便计算题1
加减法的简便计算 355+260+140+245 278+463+22+37 732+580+268 1034+780+320+102 425+14+186 749+5036+251 398+558+442 1814-378-422 100-36-64 100-36+64 1200-624-76 2100-728-772 273-73-27 725-76-24 1036-155-245 214+86+14 787-87-29 455-155+230 870-(232+168) (355-140)-(360-245) 6756+193-(756-207) (877+259)+(741-477) 871-299 576-285+85 825-657+57 690-177+77 755-287+87 643+278-143+122 374-205+226-95 1530+(592-530-192 (6467-832)+(1832-1467) 794-199-99 794-199-201 7827-(827+1200) 576-285+85 643-167-133-243 748-351+252-149 38+62-38-62
1、89+124+11+26+48 2、875-147-23 3．25×125×40×8 4、147×8+8×53 5、125×64 6、0.9＋1.08＋0.92＋0.1 7、89+124+11+26+48 8、875-147-23 9、147×8+8×53 10、125×64 11、960÷（1500－32×45）12、[192－（54＋38）]×6713、13、138×25×4 14、(13×125)×(3×8) 15、(12+24+80)×50 16、704×25+25×32×125 17、32×(25+125) 18、178×101－178 19、84×36+64×84 20、75×99+2×75 21、83×102－83×2 22、98×199 23、123×18－123×3+85×123 24、50×(34×4)×3 25、25×（24+16）26、178×99+178 27、79×42+79+79×57 28、7300÷25÷4 29、8100÷4÷75 30、138×25×4 31、(13×125)×(3×8) 32、25×32×125 33、32×(25+125) 34、178×101－178 35、84×36+64×84 36、75×99+2×75 37、83×102－83×2 38、123×18－123×3+85×123 39、50×(34×4)×3 40、178×99+178 41、79×42+79+79×57 42、7300÷25÷4
2016五年级几何图形计算练习题
五年级数学几何图形练习题 一、计算题 1、一块平行四边形的水稻田，底180厘米、高70米。它的面积是多少平方米？（画图及计算） 2、一个近似于梯形的林地，上底1.5千米、下底3.9千米、高0.9千米。这个林地的面积是多少平方千米？（画图及计算） 3、一个长方形的苗圃，长41米、宽19米，按每平方米育树苗5棵计算。这个苗 圃一概可以育多少棵树苗？ 4、爷爷家有一块三角形的小麦地，底32米、高15米，今年一共收小麦134.4千 克。平均每平方米收小麦多少千克？ 5、张大伯家有一块梯形的玉米地，上地120米、下底160米、高40米。预计每 公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米0.8元计算，玉米收入有多少元？
6、爷爷家的一块长120米、宽30米的地，按照每平方米收稻谷0.92千克计算。 今年这块地收稻谷多少千克？收的稻谷的质量是小麦的2.4倍，今年收小麦多少千克？ 7、一块三角形的果园，面积是0.84公顷，已知底是250米。它的高是多少米？ 选择题 1、把一个平行四边形活动框架拉成一个长方形，那么现在的长方形与原来的平行四边形相比，周长（），面积（） A 、变大B、变小C、没变D、无法比较 2、一个三角形底不变，高扩大6倍，面积（） A、不变B扩大6倍C、扩大3倍D、缩小3倍 3、一个平行四边形的底是40厘米，高是20厘米，与它等底等高的三角形的面积是（） A 、4平方分米 B 400平方分米C、8平方分米 4、下列说法中错误的是（） A 、在6与7之间的小数有无数个B、0既不是正数也不是负数。 C 、生活中，一般把盈利用正数表示D、两个不同形状的三角形面积也一定不相等 5、图中阴影部分与空白部分相比（ A、面积相等，周长相等 B、面积不等，周长相等。 C、面积相等，周长不等。 D、无法比较。 三、求下面图形的周长和面积。
三年级数学：接近整百数的加减法简单计算
小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学三年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
接近整百数的加减法简单计算 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学三年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标 知识与技能 1、会用简便方法计算接近整百数的加减式题。 2、能灵活运用所学知识进行计算 过程与方法： 结合熟悉的事物，经历用简便方法计算接近整百数的加减法的过程。 情感、态度与价值观： 能灵活运用所学知识进行计算，在交流各种算法的过程中增强学好数学的信心。 教学重难点：交流简便方法时帮助学生理解“多加了，要减去”、“多减了，要加上”的道理。 教学过程： 一、情境激趣
1、观察情景图，说一说图中有什么，让学生了解什么是两栖动物，什么是爬行动物。 二、复习引入新授 1、出示试题 我国有两栖动物274种，爬行动物399种。 （1）估算一下我国两栖动物和爬行动物共有多少种？ （2）计算一下我国两栖动物和爬行动物共有多少种？ 2、学生读题，谈算理 （1）提出第（1）题，学生进行估算时重点交流估算方法，可能有以下几种情况： 生1：274大约是300，399大约是400，两类动物大约有700种。 生2：399大约是400，两类动物大约有670种。 生3：两类动物不到700种。 （2）提出第（2）小题，学生进行计算 思考：有没有比较简便的算法？ 我班学奥数的同学会想到加上400后在减去1，这时教师追问：为什么减去1？ 2、学生讨论问题 3、汇报交流
2020届高考数学(理)热点猜押练一 热点练15 立体几何中的证明与计算问题(含解析)
2020届高考数学（理）热点猜押练一致胜高考必须掌握的 20个热点 热点练15 立体几何中的证明与计算问题 1.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC. (1)证明:A1C⊥平面BED. (2)求二面角A1-DE-B的余弦值. 2.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF, BF=CF. (1)求证:AB⊥CG. (2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.
3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB⊥AB. (1)证明:平面PBC⊥平面PCD. (2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B-PD-C的大小. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=45°,PD=2,M 为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB. (1)求证:EF∥平面ABCD. (2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
5.如图,多面体ABC-DB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且BC=BB1=2. (1)若D为AA1中点,求证AM∥平面DB1C1. (2)若二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值. 6.如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD. (2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.
三角形中的几何计算
三角形中的几何计算 【知识与技能】 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力. 【重点】应用正、余弦定理解三角形. 【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S = 2 1 ； （2）S = 21ab sin C =21 =21 ； （3）S = 2 1 ·r · (r 为三角形内切圆半径)； （4）2a b c S p ++?= =?? 其中(海伦公式)； （5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B S B C = == ; （6）4abc S R = (其中R 为三角形外接圆半径)。 类型1 三角形中的面积计算问题 【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝1 2 ·23·2·sin 30°＝ 3. 小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． 【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3 2 ，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝ 32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32 ，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×1 2 ＝3.∴BC ＝ 3. 类型2 三角形中的长度、角度计算问题 【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长. 解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,
最新三年级数学简便运算
三年级数学简便运算 三年级数学简便运算 (2)153+178+122+547 (3)(141+229)+(371+659+1048) (4)926－348－152 (5)1584－627－373+416 (6)1276－(276+339) (7)4628－(1628－794) (8)526+498 (9)803+488 (10)938－299 (11)836－402 (12)635+327+125+(363+240) (13)9999+999+99+9+6 (14)32+34+36+38+40+42+44+46+48 (15)(1347－258)－(347+742) (16)3560－(474－440)－526 （17）12345+23451+34512+45123+51234 (18)5+10+15+20+…+95 （19）5+6+7+8+…+103+104 （20）（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 四年级数学简便运 （1）（78＋61）＋39 （2）700－82－18 （3）348＋163＋242＋410＋537 （4）125×47－47×25 （5）201×316 （6）374－205＋226－95 （7）3000－999 （8）997×7＋21 （9）87×470＋870×53 （10）（55＋55＋55＋55×5）×125 （11）125×（8＋40）×25 (12）99＋49×99 （13）264×97＋4×264 （14）454＋999×999＋545 （15）9999×36＋6666×3×32 （16）124×38＋65×124＋76×110－76×7 （17）62×4＋44×5＋5×18 （18）3400－62×34－38×20－38×14
数学运算之几何问题专题
数学运算之几何问题专题 面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b （3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h （5）圆的面积=πr2＝1/4πd2 （1）等底等高的两个三角形面积相同； （2）等底的两个三角形面积之比等于高之比； （3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。 解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。 体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3 (3)圆柱的体积V＝Sh ＝πr2，S为圆柱底面积。 (4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。 周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2 （2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd
例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。 A 3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米 【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。答案选C。 例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。 A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米 【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为5和4，设注入同样多的水后相等的水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（厘米）。答案选B。 例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘
小学三年级上册数学简便计算测试题1 (26)
小学数学三年级上册简便计算测试题 姓名：___________ 得分：___________ 68＋16－58 39×100×10094×5×245－36＋55 77×25×454×50×226×5×22×40×25 43＋37＋63 3＋24－14 27×2×548＋94＋52 76×100×135－28＋65 67×1×102×100×100 43－35＋25 57＋42＋58 99×1×109×20×50 小学数学三年级上册简便计算测试题 姓名：___________ 得分：___________
81＋48＋19 32＋39－22 81＋4－71 60＋63＋40 68＋43－33 76＋76－66 85×5×2081＋86＋19 44＋66－34 29×1×10089＋88＋12 42＋49＋51 86－63＋53 78＋44－34 90×20×5034×10×100 90＋4＋6 83－48＋38 56＋20＋80 88×2×50 1＋55－45 17＋14－4 43×40×2591－11＋1 小学数学三年级上册简便计算测试题 姓名：___________ 得分：___________
71＋89＋11 76＋39＋24 53－36＋26 2×10×10 22＋56＋44 21－13＋79 19＋38＋81 33×25×4 81＋99＋19 46＋53－43 21＋51－41 60×20×5 52＋37－42 27×100×1043＋33－23 94×40×25 92＋63＋8 65×20×542×5×2014×1×10 29×10×1081＋72－71 100－32＋22 22＋56＋78 小学数学三年级上册简便计算测试题 姓名：___________ 得分：___________
浙教版初中数学几何计算型综合问题(含答案)
几何计算型综合问题 【考点透视】 几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决. 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力……力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 【典型例题】 例1 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球…）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°.请你计算出球的直径（精确到1cm） 分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题， 作AG⊥CB于G，在Rt△ABG中，求出AG即可． 解：作AG⊥CB于G， ∵AD、CB分别与圆相切于E、F， ∴EF⊥FG，EF⊥EA， ∴四边形AGFE是矩形， ∴AG=EF 在Rt△ABG中，AB=41.5，∠ABG=37°， ∴AG=AB·sin∠ABG=41.5×sin37°≈25. ∴球的直径约为25cm. 说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点．这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力. 例2．在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在
中考数学几何计算题
分析中考的几何计算题 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1. 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC 交于P ， PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长。 解法一：（几何法）连结OT,则OT ⊥CD ，且OT=2 1 AB ＝5,BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2 =CP ·CA ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54 ∵PE ∥BC ∴ AC AP BC PE =，PE=5 55 4×5=4 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别 要注意图形中的隐含条件。 解法二：（代数法）∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE = ∴2 1 ==AB CB AE PE 设：PE=x ，则AE=2x ，EB=10–2x 连结PB 。 ∵AB 是直径，∴∠APB=900 在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE ∴ 2 1 ==AE PE EP EB ∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ） 解得x=4 ∴PE=4 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC 。设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α 在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55 ∴sin α= 555 55= ,COS α=5525 510= ∴PE=10×55255?=4 说明：在几何计算中，必须注意以下几点： （1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。
最新三年级数学简便运算.doc
三年级数学简便运算 三年数学便运算 (2)153+178+122+547 (3)(141+229)+(371+659+1048) (4)926 － 348 － 152 (5)1584 － 627 － 373+416 (6)1276 － (276+339) (7)4628 － (1628 － 794) (8)526+498 (9)803+488 (10)938 － 299 (11)836 － 402 (12)635+327+125+(363+240) (13)9999+999+99+9+6 (14)32+34+36+38+40+42+44+46+48 (15)(1347 － 258) － (347+742) (16)3560 － (474 － 440) － 526 （17 ） 12345+23451+34512+45123+51234 (18)5+10+15+20+ ? +95 （19 ） 5+6+7+8+?+103+104 （20 ）（ 2+4+6+?+100 ）－（ 1+3+5+?+99 ） 四年数学便运 （ 1 ）（ 78 ＋ 61）＋ 39 （ 2 ） 700 － 82 － 18 （ 3 ） 348 ＋ 163 ＋ 242 ＋ 410 ＋ 537 （ 4 ） 125×47 － 47×25 （ 5 ） 201×316 （ 6 ） 374 － 205 ＋ 226 － 95 （7 ） 3000 － 999 （8 ） 997×7＋ 21 （9 ） 87×470 ＋ 870×53 （10 ）（ 55＋ 55 ＋ 55＋ 55×5 ）×125 （11 ） 125×（ 8＋40 ）×25 (12 ） 99 ＋49×99 （13 ） 264×97 ＋4×264 （14 ） 454 ＋ 999×999 ＋ 545 （15 ） 9999×36＋ 6666×3×32 （16 ） 124×38 ＋65×124 ＋ 76×110 － 76×7（17 ） 62×4＋ 44×5＋ 5×18 （18 ） 3400 － 62×34 －38×20 － 38×14
几何计算题参考答案.
几何计算题 1.如图6，矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A 与点C 重合，折痕分别交AB 、CD 于点E 、F ， （1）在图6中，用尺规作折痕EF 所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF 的长； （2）求∠EFC 的正弦值． 解：(1) 作图正确 ∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=，BC AD =. ∵在Rt △ABC 中，AB =4，AD =2 ∴由勾股定理得：AC =设EF 与AC 相交与点O ， 由翻折可得 AO CO ==90AOE ∠=． ∵在Rt △ABC 中, tan 1BC AB ∠=， 在Rt △AOE 中，tan 1EO AO ∠=. ∴ EO BC AO AB = ， ∴2EO =. 同理：2FO = . EF =. (2)过点E 作EH CD ⊥垂足为点H , 2EH BC == ∴sin 5EH EFC EF ∠= == 2、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． D C B A D A B C E F
3、如图7，△ABC 中，AB=AC ， 4 cos ∠(1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. 解：（1）过点 A 作AH ⊥BC ，垂足为 ∵AC A B = ∴B C HC BH 2 1==设x CD AC AB === ∵6=BD ∴6+=x BC ， 2 6+=x BH 在Rt △AHB 中，AB BH ABC =∠cos ，又5 4 cos =∠ABC ∴ 5 426 =+x x 解得：10=x ，所以10=AB （2）82 1===BC HC BH 2810=-=-=CH CD DH 在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，32 6tan ===∠DH AH ADC ∴ADC ∠的正切值是3 4、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. （1）求∠A 的度数； （2）若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积. 解：（1） 连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵OA＝OC ，∴∠A＝∠ACO＝30°. （2）∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝ ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ∴2 BOC 6048 3603 S ππ?扇形＝ ＝，EOC 1 22 S ??＝∴EOC BOC S S S π阴影扇形8＝－＝－3
几何计算题中的求线段长度
几何计算题中的求线段长度 几何计算题一直是我们各级各类考试中必考题型，它不象证明题有一个明确的求解方向，而是要同学们自己猜想、探究、发现．所以有些同学对几何计算题产生了畏惧心理，每每遇到，便停笔不前．其实几何计算题还是有章可循的，下面以求几何图形中线段长度为例，作一个简单阐述． 仔细回顾我们所做过的几何计算题，大致有如下几类： 一、 用算术方法直接求解 这一类型题目又有不同层次要求． （1）比如有些问题中要求某条线段长，由中点、中位线、特殊四边形、三角函数、等式性质、相似形、勾股定理等知识直接可解，思路很明显． 例如： 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，求梯形ABCD 的中位线长． 分析：要求中位线即要求梯形的两底，而该题的 条件集中在对角线上，所以应将对角线AC 平移 至经过点D ，与BC 延长线交于点E ，则可得口 ACED ，进而可得Rt △BDC ，利用勾股定理可求 出BE=13cm ，也就是两底之和等于13cm ，所以 中位线长为6.5cm ． （2）而有些题目并不能一眼就看出结果的求法，但只要根据已知条件，将能求的线段尽可能多地求出来，当成为已知的量越来越多，未知的量越来越少，“包围圈”越收越紧时，要求的量便自然“浮出水面”了． 例如： 如图2，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，∠ CAB 的角平分线AE 交BC 于点D ，交半圆O 于点E ．若 AB=10，tan ∠CAB=43，求线段BC 和CD 的长． 分析：根据已知条件易求出AC=8，BC=6，而线段CD 的 长却不易看出，仔细分析条件，发现角平分还没有起到作 A D E B C O A B O C D E F 图2 图1
三年级数学《除法的简便运算》
三年级数学《除法的简便运算》 2、通过观察、猜测、举例验证得出除法简便运算的方法。 3、能用得出来的方法进行正确地计算。 4、通过自己观察、猜测、验证得出简便运算的方法，体验到成功的喜悦。 教学重点：理解除法简便运算的算理且能正确地进行计算。 教学难点：自己得出简便算法，且能灵活地进行简便计算。 教学过程： 一、引入 1、谈话：我们前几课所学的应用题有什么特点？ （进行了两次平均分） 2、能举个例子吗？（生举例） 1、用两种不同的方法解答：我们来看看这个应用题是不是这样的情况呢？ 饲养场养了6窝小猪，每窝有6只，现把360克防病药粉掺入饲料喂养。每只小猪平均服药多少克？ 2、汇报：（1）36066 （2）360（66） =606 =36036 =10（克） =10（克） 二、展开 1、观察两种解法的两个算式有什么相同与不同之处？ 2、猜测：根据36066=360（66）你有什么想说的？
生发表意见：一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以积里的各个因数。 3、验证：是不是所有的算式都这样呢？你能举几个例子来验证吗？生举例子验证 得出我们所观察出来的是正确的。 4、用处：我们所观察出来并经过验证的规律有什么用呢？ 可以使一些除法计算简便 3、应用：用上面的规律算一算。 28035 36045 （1）独立做、个别板演。（可能有这样不同的意见） 28035 28035 36045 36045 =28057 =28075 =36059 =36095 =567 =405 =729 =405 =8 =8 =8 =8 （2）全班交流：板演的小朋友说自己的想法。 比较这几种解法有什么相同之处呢？ 用这样的方法来做跟以前的比在做的过程中你有什么想说的呢？ 针对上面的这几种做法你还有什么想说呢？ （得出：分的时候怎么简便就怎么分） 6、试一试：70028 25632 独立做、个别板演。 7、小结：今天学了什么？采用怎样的简便方法进行计算呢？
考点17 立体几何中的计算问题(解析版)
考点17 立体几何中的计算问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． 【答案】 22π 3 【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12 ×22＝22π3 . 2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】 3π 3 【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高． 设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则?????πr 2 ＝π，πrl ＝2π，解得? ????r ＝1， l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积 V ＝13Sh ＝3π 3 . 3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3 . 【答案】 3 3 π 【解析】 圆锥的底面半径R ＝1，高h ＝22－12＝3，故圆锥的体积为V ＝13×π×12 ×3＝33π. 4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3 . 【答案】 54 【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2 －32 ＝6，所以它的体积V ＝32 ×6＝54，故答案为54. 5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1B 1C 1CB 的体积是________．
【答案】2 3 【解析】如图，取B 1C 1的中点E ，连结A 1E ，易证A 1E ⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1E 为四棱锥A 1B 1C 1CB 的高，所以V 四棱锥A 1B 1C 1CB ＝13S 矩形BB 1C 1C ×A 1E ＝1 3 ×(2×3)×3＝2 3. 6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 3 【解析】设圆锥的高为h ，母线为l ，由2 =,=S rl S r ππ侧底得，2 1=31l ππ???，即=3l ，h == 故该圆锥的体积为2 113π???= .
立体几何中的计算问题
立体几何中的计算问题 1.求底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积. 2.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm. (1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积． 3.(1) 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为___ (2)平行四边形ABCD 满足AD=2，AB=4，60BAD ? ∠=,将平行四边形ABCD 绕边AB 所在的直线旋转一周，由此形 成的几何体是什么？并求出其表面积 4.正三棱锥的棱长为1，侧面等腰三角形的顶角为30度，一只小虫沿从B 出发 ，沿侧面爬行一周后回到B ， 求路径的最短距离. 5.若一个正方体的棱长为a ，则 （1）该正方体外接球的体积为 ；（2）该正方体的内切球的表面积为 . 6. 若一个等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与该球的体积之比是 .
7.已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？ 8．(2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________． 9.已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿 AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 . 10.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，13,2AB AD cm AA cm ===，则四棱锥11A BB D D -的体积为 3cm 11.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，D 为线段AA 1上的点，则三棱锥B 1－BDC 1的体积为________． 12.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC . (1)求证：PC ⊥AB ； (2)求点C 到平面APB 的距离． 13.若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =1AB =，2AC =，60BAC ∠=?，则球O 的表面积为______.
高中数学必修五北师大版 2 三角形中的几何计算 作业(含答案)3
第2章 2 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13 ，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2 解析： 设另一条边为x ， 则x 2＝22＋32－2×2×3×13 ， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13 ， 则sin θ＝223 . ∴2R ＝3sin θ＝3223 ＝924 . 答案： B 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32 ，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3 解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32 ， ∴ac ＝6. ∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3. 答案： B 3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定
解析： 若c 为最大边， 则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0， ∴a ＞3；若a 为最大边， 则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0， ∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5. 答案： C 4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为 ( ) A.36 B.336 C ．±36 D ．± 336 解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在 过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′. 在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ， 于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C ， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D ·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝ 1－????362＝336. ∴cos ∠B ＝ 336 ，故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________. 解析： 根据正弦定理的变形 a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ， 故(3b －c )cos A ＝a cos C ， 等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ， 整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos A ＝ 33 . 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．
三年级数学：加减法的一些简便算法(1)
三年级数学：加减法的一些简便算法（1）教学要求； 1、使学生初步认识从一个数里连续减去两个数，等于从这个数里减去两个数的和的运算规律，学会应用这种规律进行简便计算。 2、培养学生分析、综合和抽象的思维能力，以及合理、灵活地进行计算的能力。 教学过程： 一、复习引新 1、口算 48+52= 237+63= 74+26= 85+15= 128+175+25= 64+78+36= 439+302= 2、引入新课。刚才我们用简便方法，很快算出这些题的得数，这节课我们继续学习加减法的一些简便算法。（板书课题）通过学习，要能步认识减法运算中的一些规律，并能应用这些规律进行简便计算，进一步提高计算的能力。 二、教学新课 1．教学减法的运算规律。
(1)教学第68页的应用题。 出示题目，读题。 指名学生口答解题算式，老师板书一种方法的算式和结果。 提问：第一种算法是怎样想的?求还剩多少米，还可以怎样算?(学生口答，老师板书算式和结果) 第二种算法又是怎样想的? 这两种算法都是求的什么问题?从一个数里连续减去两个数， 实际上就是从这个数里减去什么?所以两种算法的结果怎样?说明哪两个式子相等?[板书：36087一113＝360一(87十113)] 提问：从360里减去87和113这两个数，等于从360里减去什么? (2)题组的计算、比较。 用小黑板出示第68页下面的题组。 请大家在课本上把这几道算式计算一下，看看每组里的两个算式的结果有什么关系，在o里填上适当的符号。
让学生口答练习结果，老师在o里板书等号。 提问：从第一组两个算式里可以看出从30里减去4和6两个数，等于从30里减去什么?第二组呢?第三组呢? (3)归纳运算规律。 在这三组算式里，每组算式之间都有什么共同特点?你发现了什么规律? 总结出运算规律，并让学生看课本上的结语读一读。 (4)根据规律填空。 56317426=563 (174o26) 3426931=342( o ) 1284一(600+7)＝1284600 o 7 324(24+198)=324 o 456102=456100 o 2 提问：前两题为什么o里都填加号?第三、四题为什么o里都填减号?为什么456一102等于45610027