三角形中的几何计算
三角形中的几何计算-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=4，c=5，面积为5，求
B
，再由正弦定理可=2r
=sinA=
a=
=
r=，
，运算求得结果．
，3．（2012?荆州模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，，
B
的面积
解：由及正弦定理得：
，
．
cos=a
=
4．（2011?江西模拟）下面命题：
①当x＞0时，的最小值为2；
②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；
③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．
①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故
的图象向右平移个单位，可以得到函数）的图解：①∵=2时，
﹣
13=
的图象向右平移个单位，）=sin[
5．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为（）
B
的面积，
解：∵sin60=
=
6．如图所示，AB是塔的中轴线，C、D、A三点在同一水平线上，在C、D两点用测角仪器测得塔顶部B处的仰角分别是α=30°和β=60°，如果C、D间的距离是20m，测角仪器高是1.5m，则塔高为（）（精确到0.1m）
=1.5+10
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为（）
由直角三角形相似得=，得x=
（
解：由直角三角形相似得，得x=
（
8．如图，P是△ABC内一点，BP、CP、AP的延长线分别与AC、AB、BC交于点E、F、D．考虑下列三个等式：
（1）；
（2）；
（3）．
其中正确的有（）
中，可得：
==
，所以
=
==1．
9．（2009?闸北区二模）在△ABC中，设a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边长，且满
2
=﹣
absinC
2
时，
=
a=
．
10．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之
CD=，
的取值范围是
11．三角形ABC面积为，，则三角形外接圆面积最小值为（）
tanA=
=tanA=A=
r，
=
，是解题的关键．
B
）
所以有（）
13．设正方形ABCD，点P在线段CD的延长线上，且P点到A点的距离为1，那么，四
B
＜
sin
）
PD==cosx
sinxcosx=+
sin2x cos2x=sin
+，即
14．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c若且∠B=105°，
B
+=．
==
15．（2011?天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）
B
BD=
sinA=
ADB=
二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）
16．（2009?上海模拟）在△ABC中，，△ABC的面积为，则AC=．S==BC=
AC=
故答案为：
17．在△ABC中，AB、BC边上的中线长分别为12和6，则△ABC的面积的最大值为48．
析：
==
，=36S=
，化简可得
==
同理可得，=36
，
，
）式得
由于，
18．（2012?门头沟区一模）在△ABC中，已知a=2，b=3，，则△ABC的面积是．
C=
cosC=，∴C=
=
19．如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D．AD=2，AC=，则AB=10，
BC=．
AC=
，
4
20．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为米．
=
=，∴BE=
=BE=，∴
．
三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）
21．（2012?温州一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为15，且E为AB的中点，求CE的长．
DAC=且DAC=
的大小为；
DAC=
DAC=
；
BC
AB=，=3
）
22．（2007?上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．
（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；
（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；
（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．
由正弦定理知==
°===2R ∵
；
cosC=
时，
sinA=sinB=
AC=
19-20版 第1章 1.2 第3课时 三角形中的几何计算
第3课时三角形中的几何计算 学习目标核心素养 1.掌握三角形的面积公式的应 用．(重点 ) 2．掌握正、余弦定理与三角函数 公式的综合应用．(难点) 1.通过三角形面积公式的学习，培 养学生的数学运算的素养． 2．借助三角形中的综合问题的学 习，提升学生的数学抽象的素养. 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·h a＝ 1 2b·h b＝ 1 2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)； (2)S＝ 1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ca sin B； (3)S＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 2．三角形中常用的结论 (1)∠A＋∠B＝π－∠C， ∠A＋∠B 2＝ π 2－ ∠C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C? ? ? ? ? ∠C≠ π 2， sin A＋B 2＝cos C 2， cos A＋B 2＝sin C 2. 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()
A ．3 2 B ．33 2 C ．3 D ．3 B [S △AB C ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33 2.] 2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝1 2×6×6×sin 120°＝9 3.] 3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝3 2AC ＝3， ∴AC ＝2. ∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.] 三角形面积的计算 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝4 5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝4 5， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝3 5. ∴sin C ＝sin ? ?? ?? 2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
2016五年级几何图形计算练习题
五年级数学几何图形练习题 一、计算题 1、一块平行四边形的水稻田，底180厘米、高70米。它的面积是多少平方米？（画图及计算） 2、一个近似于梯形的林地，上底1.5千米、下底3.9千米、高0.9千米。这个林地的面积是多少平方千米？（画图及计算） 3、一个长方形的苗圃，长41米、宽19米，按每平方米育树苗5棵计算。这个苗 圃一概可以育多少棵树苗？ 4、爷爷家有一块三角形的小麦地，底32米、高15米，今年一共收小麦134.4千 克。平均每平方米收小麦多少千克？ 5、张大伯家有一块梯形的玉米地，上地120米、下底160米、高40米。预计每 公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米0.8元计算，玉米收入有多少元？
6、爷爷家的一块长120米、宽30米的地，按照每平方米收稻谷0.92千克计算。 今年这块地收稻谷多少千克？收的稻谷的质量是小麦的2.4倍，今年收小麦多少千克？ 7、一块三角形的果园，面积是0.84公顷，已知底是250米。它的高是多少米？ 选择题 1、把一个平行四边形活动框架拉成一个长方形，那么现在的长方形与原来的平行四边形相比，周长（），面积（） A 、变大B、变小C、没变D、无法比较 2、一个三角形底不变，高扩大6倍，面积（） A、不变B扩大6倍C、扩大3倍D、缩小3倍 3、一个平行四边形的底是40厘米，高是20厘米，与它等底等高的三角形的面积是（） A 、4平方分米 B 400平方分米C、8平方分米 4、下列说法中错误的是（） A 、在6与7之间的小数有无数个B、0既不是正数也不是负数。 C 、生活中，一般把盈利用正数表示D、两个不同形状的三角形面积也一定不相等 5、图中阴影部分与空白部分相比（ A、面积相等，周长相等 B、面积不等，周长相等。 C、面积相等，周长不等。 D、无法比较。 三、求下面图形的周长和面积。
2020届高考数学(理)热点猜押练一 热点练15 立体几何中的证明与计算问题(含解析)
2020届高考数学（理）热点猜押练一致胜高考必须掌握的 20个热点 热点练15 立体几何中的证明与计算问题 1.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC. (1)证明:A1C⊥平面BED. (2)求二面角A1-DE-B的余弦值. 2.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF, BF=CF. (1)求证:AB⊥CG. (2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.
3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB⊥AB. (1)证明:平面PBC⊥平面PCD. (2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B-PD-C的大小. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=45°,PD=2,M 为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB. (1)求证:EF∥平面ABCD. (2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
5.如图,多面体ABC-DB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且BC=BB1=2. (1)若D为AA1中点,求证AM∥平面DB1C1. (2)若二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值. 6.如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD. (2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.
三角形中的几何计算
三角形中的几何计算 【知识与技能】 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力. 【重点】应用正、余弦定理解三角形. 【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S = 2 1 ； （2）S = 21ab sin C =21 =21 ； （3）S = 2 1 ·r · (r 为三角形内切圆半径)； （4）2a b c S p ++?= =?? 其中(海伦公式)； （5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B S B C = == ; （6）4abc S R = (其中R 为三角形外接圆半径)。 类型1 三角形中的面积计算问题 【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝1 2 ·23·2·sin 30°＝ 3. 小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． 【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3 2 ，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝ 32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32 ，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×1 2 ＝3.∴BC ＝ 3. 类型2 三角形中的长度、角度计算问题 【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长. 解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,
数学运算之几何问题专题
数学运算之几何问题专题 面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b （3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h （5）圆的面积=πr2＝1/4πd2 （1）等底等高的两个三角形面积相同； （2）等底的两个三角形面积之比等于高之比； （3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。 解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。 体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3 (3)圆柱的体积V＝Sh ＝πr2，S为圆柱底面积。 (4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。 周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2 （2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd
例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。 A 3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米 【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。答案选C。 例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。 A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米 【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为5和4，设注入同样多的水后相等的水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（厘米）。答案选B。 例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘
浙教版初中数学几何计算型综合问题(含答案)
几何计算型综合问题 【考点透视】 几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决. 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力……力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 【典型例题】 例1 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球…）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°.请你计算出球的直径（精确到1cm） 分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题， 作AG⊥CB于G，在Rt△ABG中，求出AG即可． 解：作AG⊥CB于G， ∵AD、CB分别与圆相切于E、F， ∴EF⊥FG，EF⊥EA， ∴四边形AGFE是矩形， ∴AG=EF 在Rt△ABG中，AB=41.5，∠ABG=37°， ∴AG=AB·sin∠ABG=41.5×sin37°≈25. ∴球的直径约为25cm. 说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点．这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力. 例2．在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在
中考数学几何计算题
分析中考的几何计算题 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1. 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC 交于P ， PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长。 解法一：（几何法）连结OT,则OT ⊥CD ，且OT=2 1 AB ＝5,BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2 =CP ·CA ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54 ∵PE ∥BC ∴ AC AP BC PE =，PE=5 55 4×5=4 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别 要注意图形中的隐含条件。 解法二：（代数法）∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE = ∴2 1 ==AB CB AE PE 设：PE=x ，则AE=2x ，EB=10–2x 连结PB 。 ∵AB 是直径，∴∠APB=900 在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE ∴ 2 1 ==AE PE EP EB ∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ） 解得x=4 ∴PE=4 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC 。设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α 在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55 ∴sin α= 555 55= ,COS α=5525 510= ∴PE=10×55255?=4 说明：在几何计算中，必须注意以下几点： （1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。
几何计算题参考答案.
几何计算题 1.如图6，矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A 与点C 重合，折痕分别交AB 、CD 于点E 、F ， （1）在图6中，用尺规作折痕EF 所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF 的长； （2）求∠EFC 的正弦值． 解：(1) 作图正确 ∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=，BC AD =. ∵在Rt △ABC 中，AB =4，AD =2 ∴由勾股定理得：AC =设EF 与AC 相交与点O ， 由翻折可得 AO CO ==90AOE ∠=． ∵在Rt △ABC 中, tan 1BC AB ∠=， 在Rt △AOE 中，tan 1EO AO ∠=. ∴ EO BC AO AB = ， ∴2EO =. 同理：2FO = . EF =. (2)过点E 作EH CD ⊥垂足为点H , 2EH BC == ∴sin 5EH EFC EF ∠= == 2、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． D C B A D A B C E F
3、如图7，△ABC 中，AB=AC ， 4 cos ∠(1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. 解：（1）过点 A 作AH ⊥BC ，垂足为 ∵AC A B = ∴B C HC BH 2 1==设x CD AC AB === ∵6=BD ∴6+=x BC ， 2 6+=x BH 在Rt △AHB 中，AB BH ABC =∠cos ，又5 4 cos =∠ABC ∴ 5 426 =+x x 解得：10=x ，所以10=AB （2）82 1===BC HC BH 2810=-=-=CH CD DH 在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，32 6tan ===∠DH AH ADC ∴ADC ∠的正切值是3 4、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. （1）求∠A 的度数； （2）若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积. 解：（1） 连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵OA＝OC ，∴∠A＝∠ACO＝30°. （2）∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝ ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ∴2 BOC 6048 3603 S ππ?扇形＝ ＝，EOC 1 22 S ??＝∴EOC BOC S S S π阴影扇形8＝－＝－3
几何计算题中的求线段长度
几何计算题中的求线段长度 几何计算题一直是我们各级各类考试中必考题型，它不象证明题有一个明确的求解方向，而是要同学们自己猜想、探究、发现．所以有些同学对几何计算题产生了畏惧心理，每每遇到，便停笔不前．其实几何计算题还是有章可循的，下面以求几何图形中线段长度为例，作一个简单阐述． 仔细回顾我们所做过的几何计算题，大致有如下几类： 一、 用算术方法直接求解 这一类型题目又有不同层次要求． （1）比如有些问题中要求某条线段长，由中点、中位线、特殊四边形、三角函数、等式性质、相似形、勾股定理等知识直接可解，思路很明显． 例如： 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，求梯形ABCD 的中位线长． 分析：要求中位线即要求梯形的两底，而该题的 条件集中在对角线上，所以应将对角线AC 平移 至经过点D ，与BC 延长线交于点E ，则可得口 ACED ，进而可得Rt △BDC ，利用勾股定理可求 出BE=13cm ，也就是两底之和等于13cm ，所以 中位线长为6.5cm ． （2）而有些题目并不能一眼就看出结果的求法，但只要根据已知条件，将能求的线段尽可能多地求出来，当成为已知的量越来越多，未知的量越来越少，“包围圈”越收越紧时，要求的量便自然“浮出水面”了． 例如： 如图2，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，∠ CAB 的角平分线AE 交BC 于点D ，交半圆O 于点E ．若 AB=10，tan ∠CAB=43，求线段BC 和CD 的长． 分析：根据已知条件易求出AC=8，BC=6，而线段CD 的 长却不易看出，仔细分析条件，发现角平分还没有起到作 A D E B C O A B O C D E F 图2 图1
考点17 立体几何中的计算问题(解析版)
考点17 立体几何中的计算问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． 【答案】 22π 3 【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12 ×22＝22π3 . 2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】 3π 3 【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高． 设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则?????πr 2 ＝π，πrl ＝2π，解得? ????r ＝1， l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积 V ＝13Sh ＝3π 3 . 3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3 . 【答案】 3 3 π 【解析】 圆锥的底面半径R ＝1，高h ＝22－12＝3，故圆锥的体积为V ＝13×π×12 ×3＝33π. 4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3 . 【答案】 54 【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2 －32 ＝6，所以它的体积V ＝32 ×6＝54，故答案为54. 5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1B 1C 1CB 的体积是________．
【答案】2 3 【解析】如图，取B 1C 1的中点E ，连结A 1E ，易证A 1E ⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1E 为四棱锥A 1B 1C 1CB 的高，所以V 四棱锥A 1B 1C 1CB ＝13S 矩形BB 1C 1C ×A 1E ＝1 3 ×(2×3)×3＝2 3. 6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 3 【解析】设圆锥的高为h ，母线为l ，由2 =,=S rl S r ππ侧底得，2 1=31l ππ???，即=3l ，h == 故该圆锥的体积为2 113π???= .
立体几何中的计算问题
立体几何中的计算问题 1.求底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积. 2.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm. (1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积． 3.(1) 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为___ (2)平行四边形ABCD 满足AD=2，AB=4，60BAD ? ∠=,将平行四边形ABCD 绕边AB 所在的直线旋转一周，由此形 成的几何体是什么？并求出其表面积 4.正三棱锥的棱长为1，侧面等腰三角形的顶角为30度，一只小虫沿从B 出发 ，沿侧面爬行一周后回到B ， 求路径的最短距离. 5.若一个正方体的棱长为a ，则 （1）该正方体外接球的体积为 ；（2）该正方体的内切球的表面积为 . 6. 若一个等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与该球的体积之比是 .
7.已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？ 8．(2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________． 9.已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿 AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 . 10.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，13,2AB AD cm AA cm ===，则四棱锥11A BB D D -的体积为 3cm 11.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，D 为线段AA 1上的点，则三棱锥B 1－BDC 1的体积为________． 12.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC . (1)求证：PC ⊥AB ； (2)求点C 到平面APB 的距离． 13.若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =1AB =，2AC =，60BAC ∠=?，则球O 的表面积为______.
高中数学必修五北师大版 2 三角形中的几何计算 作业(含答案)3
第2章 2 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13 ，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2 解析： 设另一条边为x ， 则x 2＝22＋32－2×2×3×13 ， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13 ， 则sin θ＝223 . ∴2R ＝3sin θ＝3223 ＝924 . 答案： B 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32 ，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3 解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32 ， ∴ac ＝6. ∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3. 答案： B 3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定
解析： 若c 为最大边， 则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0， ∴a ＞3；若a 为最大边， 则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0， ∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5. 答案： C 4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为 ( ) A.36 B.336 C ．±36 D ．± 336 解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在 过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′. 在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ， 于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C ， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D ·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝ 1－????362＝336. ∴cos ∠B ＝ 336 ，故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________. 解析： 根据正弦定理的变形 a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ， 故(3b －c )cos A ＝a cos C ， 等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ， 整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos A ＝ 33 . 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．
专题复习 几何计算题
专题复习 几何计算题 教学目标：会做一些几何计算题。 教学重难点：用几何、代数方法解决几何计算题 学习过程： 一、课前复习： 1、梳理知识： 2、常用的知识点： 直角三角形——找出所求的线段所在的直角三角形，借助勾股定理、三角函数求解，这类题的关键是通过作辅助线构造直角三角形； 相似三角形——找出所求线段所在的三角形与某个三角形相似，借助比例线段求解。 3、几何计算题运用的范围 问题单纯的几何计算题；与代数结合，与直角坐标系结合，与有关解析式结合。 4、考点训练： （1）（线与角）（2008广州）如图1，∠1=70°，若m ∥n ， 则∠2= （2）（三角形）（2010广州）在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC ＝5，则DE 的长是（ ） A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15 （3）（相似形）（2009重庆）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1 D 图1
（4）（解直角三角形）（2010广州）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示， 新电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米） （5）（圆的有关运算）（2009广州）如图10，在⊙O 中， ∠ACB=∠BDC=60°，AC=32 ， （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长 二、合作探究： .例1、（2009广州）如图6，在 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） （A ）8 （B ）9.5 （C ）10 （D ）11.5 例2、如图，已知直线L 与⊙○相切于点A ，直径AB=6，点P 在L 上移动，连接OP 交⊙○于点C ，连接BC 并延长BC 交直线L 于点D ； （1）若AP=4， 求线段PC 的长； （2）若ΔPAO 与ΔBAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积（答案要求保留根号） 分析：本题是典型的几何计算题，利用了勾股定理、相似三角形、三角形函数等知识。 解： 三、课堂小结：几何计算题是借助于几何的相关定义、定理、公理等来求解有关集合元素的问题. 是处理几何图形的核心问题之一。复习时应注重抓好基础知识的训练，多加分析、勤 45°39°D C E B
《挑战中考数学压轴题》之几何证明及通过几何计算进行说理问题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形． ①求正方形的ABCD 的面积； ②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ． 动感体验 请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似． 请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似． 思路点拨 1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ． 2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ． 满分解答 （1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 1,421 3.c b =??-++=-? 解得0,1. b c =??=? 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1． （2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ． 解方程－x 2＋1＝2x ，得1x =- 所以点A 1．
三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例(最新整理)
三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)． 2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之． 如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD， α α (1)证明：sin＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值． 3 【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为 ________．
求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．例题2.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出 2发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为10海里/小时． (tan θ＝12)5(1)求出发后3小时两船相距多少海里？ (2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
全国初中数学竞赛辅导(初3)第17讲平面几何中的定值问题(20200619101924)
第十七讲平面几何中的定值问题 定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几个例题，说明上述思考方法． 例1 如图3－80．已知△ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交△ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值． 分析欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么， 然后再给以一般化的证明．为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB2(定值)，以下证明这个推测．证连 结BQ．因为AB=AC，所以 ∠ABC=∠ACB． 又因为∠ACB=∠AQB，所以 ∠ABC=∠AQB． 又因为∠BAQ=∠PAB，所以 所以 AP·AQ=AB2(定值)． 注意如果连结QC，将怎样证明？请读者思考． 例2 如图3－81．已知△ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值．
分析从图3－81中可以发现，如果引AD⊥BC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值． 证作AD⊥BC于D，则 所以 所以 又因为 所以 所以
所以 由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值． 例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BE⊥OA于E，过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值(图3－82)． 分析由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合， 证延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以 EP2=AP·PB=CP·PD ＝(OC-OP)·(OD+OP) ＝r2-OP2，
北师大版必修5高中数学第二章《三角形中的几何计算》word教案2
北师大版必修5高中数学第二章《三角形中的几何计算》w o r d教 案2 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2.2 三角形中的几何计算 教学目的： 1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。 2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。 教学重点、难点： 1。重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。 2。难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。 教学过程： 例题讲解： 例1. 在△ABC 中，已知3,2,45,a b B ===求边c 。 解析：解法1（用正弦定理） a A b B sin sin =
∴==?=sin sin sin A a B b 345232 又 b a B A A <∴<∴=，，或60120 当A ＝60°时，C ＝75° ∴===+c b C B sin sin sin sin 2754562 2 当A ＝120°时，C ＝15° ∴===-c b C B sin sin sin sin 2154562 2 解法二： b a c ac B 2222=+-cos ∴=+-2323452c c cos 即c c 2610-+= 解之，得c =±6 2 2 点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。 例2. 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状。 解析：解法一 由正弦定理，得2sin sin sin B A C =+ ∵B ＝60°，∴A+C ＝120° A ＝120°－C ，代入上式，得 260120sin sin()sin =-+C C 展开，整理得： 3 21 21sin cos C C += ∴+=∴+=sin()C C 3013090 ， ∴C ＝60°，故A ＝60° ∴△ABC 为正三角形 解法二
三角形中的几何计算
三角形中的几何计算-1 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题） 1．锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=4，c=5，面积为5，求 B ，再由正弦定理可=2r =sinA= a= = r=， ，运算求得结果． ，3．（2012?荆州模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，， B
的面积 解：由及正弦定理得： ， ． cos=a = 4．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． ①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故 的图象向右平移个单位，可以得到函数）的图解：①∵=2时，
﹣ 13= 的图象向右平移个单位，）=sin[ 5．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为（） B 的面积， 解：∵sin60= = 6．如图所示，AB是塔的中轴线，C、D、A三点在同一水平线上，在C、D两点用测角仪器测得塔顶部B处的仰角分别是α=30°和β=60°，如果C、D间的距离是20m，测角仪器高是1.5m，则塔高为（）（精确到0.1m）
=1.5+10 7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为（） 由直角三角形相似得=，得x= （ 解：由直角三角形相似得，得x= （ 8．如图，P是△ABC内一点，BP、CP、AP的延长线分别与AC、AB、BC交于点E、F、D．考虑下列三个等式：
几何计算中的面积问题
几何计算中的面积问题 教学目标： （1）.掌握用几何推理的方法来解决有关图形的面积计算 （2）.提高学生解决实际问题的能力 教学重点与难点 有关图形的面积计算 教学过程： 情境引入：操作，请同学们利用所学的有关全等三角形的判定定理，在练习本上画出两个全等的三角形。（复习全等三角形的五个判定定理） 对于两个全等的三角形，你还能得出哪些结论？（引导得出它们的面积相等） 提出问题，解决问题： 那你能解决下面的一个问题吗？已知两个红颜色的三角形全等， S1=12 S3=7，如何计算S△ABC 板书：全等三角形的面积相等。 例1．如图所示，在ΔABC中，AD=CD，CF∥AB，FD的延长线交AB于E，S△ ABC=2平方厘米，求S四边形BCFE. （通过证△AED≌△CFD） 练习1在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，
EF经过点O，且交AD于E，交BC于F，已知 S平行四边形ABCD=10cm2,求S四边形ABFE （通过证△AEO≌△OFG） 我们知道了在三角形全等的情况下，面积相等。请观察下面的演示过程，三角形的面积有无发生变化？ C点在与AB平行的直线上移动。 从而得出等底等高的两个三角形面积 相等。板书 思考： 如图△A BC的中线AD，BE相交于点F, 你能从图中找出有哪些三角形的面积相等吗？ 当两个三角形的高相等，底不相等时，它们的面积会是怎样的情况呢？ 例2 如图，在△ABC中，BC=10，D是BC上的一点，且BD=4。求S△ABD：S△ACD的值。 （得出在高相等的情况下，面积的比等于 底的比）板书
练习2.如图，在四边形ABCD中，两对角线AC与BD相交于点O，已知AO：OC=5：2，BO：OD=3：2。 且S△AOB =15cm2,求S△COD 练习3.如图，点E是△ABC的高上的一点，且AE=2，ED=3。求S△ABC：S△EBC的值。 （从中你可以得出什么结论？） 底相等时，面积的比等于高的比。