知识讲解三角形中的几何计算基础
三角形中的几何计算
编稿：张林娟 审稿：孙永钊
【学习目标】
1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；
2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.
【要点梳理】
要点一：正弦定理和余弦定理的概念
①正弦定理公式：
②余弦定理公式：第一形式：
第二形式：
要点二：三角形的面积公式
要点三：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.
在ABC ?中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类：
①若A 为锐角时：sin sin ()sin ()()a b A
a b A b A a b a b <=<<≥???????无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角 一解 一解 两解 无解
② 若A 为直角或钝角时： ()
a b a b ≤>???无解一解锐角 要点四：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：222a b c +=，
互余关系：090A B +=，cos 0C =，sin 1C =；
（2）等腰三角形：a b =，A B =；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）
（1）在ABC ?中，222
00
222090cos 02b c a A A b c a bc +-<?+>； （2）在ABC ?中，222
22290cos 02b c a A A b c a bc +-=?==?+=； （其中R 表示三角形的外接圆半径）
（3）在ABC ?中，222
22290cos 02b c a A A b c a bc +-
在ABC ?中，0180A B C ++=，0902
A B C ++= （1）在ABC ?中sin sin cos cos A B a b A B A B >?>?>?<；
（2）互补关系：
（3）互余关系：
【典型例题】
类型一：利用正、余弦定理解三角形
例1. 在ABC ?中，已知下列条件，解三角形. （1）10a =， 52b = 45A =?；
（2）23=a 62=c 45B =?.
【思路点拨】
（1）题中利用正弦定理先求B ，再求C 和c ；
（2）题中利用余弦定理求b ；求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理. 【解析】
（1）∵10521sin 2sin 45
o B =?=， 法一：∵b a <，∴B A <，即00045B <<，
∴30B =?，105C =?，5(31)c =.
法二：∵000180B <<， ∴30B =?或150B =?，
①当30B =?时，105C =?，5(31)c =；
②当150B =?时，180A B +>?（舍去）. （2）∵222222cos (23)(62)223(62)cos 45b a c ac B =+-=+-?? ∴22b =法一：∵222222
(22)(62)(23)1cos ,22222(62)b c a A bc +-++-=??+ ∴60A =?，75C =?
法二：∵0
233sin sin sin45222a
A B b == 6223a c <
∴A C <，有00090A <<，
∴60A =?，75C =?.
【总结升华】
①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；
②解三角形时，要留意三角形内角和为180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用.
举一反三：
【变式1】 △ABC 中，已知12c b =，45B =?，求∠C 和a . 【答案】∵211sin sin sin sin 22b c C B C C =?=?=6C ?=π，56C =π(舍) 或由正弦定理得：2622sin 75sin 45sin105a a a +=?=??=??. 【变式2】在ABC ?中::3:7:5a b c =， 求角B ；
【答案】2222225371cos 12022352
o a c b B B ac +-+-===-?=??. 【变式3】在ABC ?中，若2a =，22b =62c A 和sin C ． 【答案】根据余弦定理：222884343cos 2222(62)
b c a A bc +-+--===??- ∵0180A <<，
∴30A =，sin (62)sin 30(62)sin c A C a --===. 例2.ABC ?中，ABC ?中，1,3,30a b A =∠=?，求边c 的值.
【思路点拨】结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图形来考虑.
【解析】解法一：利用正弦定理 由sin sin a b A B
=得3sin 60B B ∴=?或120?. ∴90C =?或30C =?， ∴sin 1C =或1
sin ,2C =
由sin sin a c A C
=，得2c =或1c =. 解法二：利用余弦定理列方程
即得到关于c 的一元二次方程，解方程得到2c =或1c =.
【总结升华】
（1）对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解.此外，有的时候还要对边角关系(例如，大边对大角)进行讨论从而舍掉不合理的解.
（2）解题后可进行比较，可以看出思路2用余弦定理要简单得多，在解题过程中尽量采用简单方法. 举一反三：
【变式】ABC ?中，6c 452A a =?=，，求b B C 和，.
【答案】
解法一 ：正弦定理 由sin sin sin sin a c A C =?得26345 若60C =?，则75B =?，2sin sin 7531,sin sin 45a b B A ==?=? 若120C =?，则15B =?，2sin sin153 1.sin sin 45a b B A =
=?=? 解法二：余弦定理 若31b =，则2226-2cos 2a c b B ac +-=，所以7560B C =?=?，. 若31b =，则22262cos 2a c b B ac +-+=15120B C =?=?，. 解法三：正余弦定理
22222cos 6234a b c bc A b b =+-=+-=，解得31b . 若31b =，由sin sin sin a b c A B C
==，得623sin B C += ∵b c a >>，所以B C A >>，所以7560B C =?=?， B=75°，C=60°； 若31b =，由sin sin sin a b c A B C
==，得6-23sin B C =. ∵c a b >>，所以C A B >>，所以15120B C =?=?，.
类型二：正、余弦定理的综合应用
例3．已知ABC ?中，689a b c ===，，，试判断此三角形的形状.
【思路点拨】已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号.
【解析】因为a b c <<，所以A B C <<，
又22219cos 0296
a b c C ab +-==>， 所以2
C <π 所以三角形是锐角三角形. 【总结升华】
余弦定理用于判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）
（1）在ABC ?中，222
00
222090cos 02b c a A A b c a bc +-<?+>； （2）在ABC ?中，222
22290cos 02b c a A A b c a bc +-=?==?+=； （3）在ABC ?中，222
22290cos 02b c a A A b c a bc +-
举一反三：
【变式】ABC ?的三边若满足下列条件，试判断三角形的形状：
(1)6810a b c ===，，；
(2) 6811.a b c ===，，
【答案】
(1)因为2222226810010a b c +=+===，所以三角形为直角三角形.
(2)因为a b c <<，所以A B C <<，
又22221cos 0296a b c C ab +-==-<，所以2C >π， 所以三角形是钝角三角形.
例4．已知ABC ?满足中cos cos a A b B =，试判断ABC ?的形状.
【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系；也可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.
【解析】 方法一：用余弦定理化角为边的关系
由cos cos a A b B =得222222
22b c a a c b a b bc ac
+-+-?=?， 整理得22222222()()a b c a b a c b +-=+-，
即22222()()0a b a b c -+-=，
当220a b -=时，ABC ?为等腰三角形；
当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ?为直角三角形；
综上：ABC ?为等腰或直角三角形.
方法二：用正弦定理化边为角的关系
由正弦定理得：2sin sin a b R A B
== 即2sin a R A =，2sin b R B =
∵cos cos a A b B =，
∴2sin cos 2sin cos R A A R B B =
即sin2sin2A B =
∵0A B ∈、（，）
π ∴22A B =或22A B +=π，即A B =或2A B +=
π
故ABC ?为等腰三角形或直角三角形.
【总结升华】
（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？
（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断.
（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角.
（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理.
（5）sin sin =?==-或αβαβαπβ，不要丢解.
举一反三：
【变式1】根据下列条件，试判断ABC ?的形状.
（1）cos cos b A a B =；（2）2cos a b C =.
【答案】
（1）解法一：边角互化（化角）
由cos cos b A a B =得2sin cos 2sin cos R B A R A B =，
即()sin 0B A -=，于是B A =，
∴ABC ?为等腰三角形. 解法二：边角互化（化边）
由cos cos b A a B =得222222
22b c a a c b b a bc ac
+-+-?=?，即22a b =， 所以a b =，ABC ?为等腰三角形.
（2）解法一：正弦定理
由2cos a b C =得2sin 4sin cos R A R B C =，有()sin 2sin cos B C B C +=，得出()sin 0B C -=，
即B C =，
所以ABC ?为等腰三角形；
解法二：余弦定理
由2cos a b C =得222
22a b c a b ab
+-=?，得22b c =， 即b c =，
所以ABC ?等腰三角形.
【变式2】在ABC ?中，根据下列条件决定三角形形状.
(1)sin sin sin cos cos B C A B C
+=
+；(2)2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-. 【答案】
(1)由222222
sin sin sin cos cos 22B C b c a c b a b c A B C a ac ab +++-+-=?=++ 22290a b c A ?=+?=?，
则该三角形为直角三角形；
(2)∵2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-，
∴222sin cos 2sin cos a B A b A B =，
由正弦定理得：22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =，
∵ABC ?中，sin 0A ≠， sin 0B ≠，
∴sin cos sin cos A A B B ?=?，即sin2sin2A B =，
∴22A B =或22A B =-π，即：A B =或2A B +=
π，
∴ABC ?是等腰三角形或直角三角形.
例5．锐角 ABC ?中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.
(1) 若()()(),a c a c b b c +-=-求A ∠的大小 (2) 函数22sin sin(2)6
y B B =++π取最大值时，求B ∠的大小 【思路点拨】在（1）中，将所给边的关系式化简变形后，根据结构形式可判断出应该用余弦定理.
【解析】（1）∵()()(),a c a c b b c +-=-， ∴222.b c a bc +-=，
故由余弦定理得2221cos 22
b c a A bc +-== ∵A 是锐角三角形的内角，所以02A <<
π， ∴3A =π
.
（2）22sin sin(2)6
y B B =++π =1cos2sin 2cos
cos2sin 66B B B -++ππ 当且仅当3B =
π时取等号 ∴3B =π
.
【总结升华】
对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题
举一反三：
【变式】在ABC ?中，三内角满足的方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=
有两个相等的根.
（1） 求证：角B 不大于3
π； （2） 当角B 取最大值时，判断ABC ?的形状.
【答案】
（1）由韦达定理得sin sin 1,sin sin C B B A -=-即2sin sin sin B A C =+， 由正弦定理，有2b a c =+.
由余弦定理得22222222)()3()26212cos 22882a c a c a c b a c ac ac ac B ac ac ac ac ++-+-+--=
===≥， ∴03B <≤π
.
（2）当角B 取最大值时，3B =
π，且a c =，
易知ABC ?为正三角形.