(完整word版)高中数学必修1第一章导学案

1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义

学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.

知识点一 集合的概念

思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？

答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素. 梳理 元素与集合的概念

(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.

(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示. 知识点二 元素与集合的关系

思考 1是整数吗？1

2是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

答案 1是整数；1

2

不是整数.没有.

梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三 元素的三个特性

思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？

答案2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.

思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？

答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的.由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.

梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.

知识点四常用数集及表示符号

类型一判断给定的对象能否构成集合

例1考察下列每组对象能否构成一个集合.

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)3的近似值的全体.

解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.

反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.

跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()

A.数学必修1课本中所有的难题

B.小于8的所有素数

C.直角坐标平面内第一象限的一些点

D.所有小的正数

答案B

解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合. 类型二 元素与集合的关系 命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：

①1

2∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

解析 1

2是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3为无

理数，④错；0是自然数，⑤错.故选B.

反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空. －2________R ； －3________Q ； －1________N ； π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉

命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理

例3 集合A 中的元素x 满足6

3－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________.

答案 0,1,2

解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝6

3＝2∈N ；

当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝6

3－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2.

反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的.

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素

所具有的特征.

跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( ) A.a >－4 B.a ≤－2 C.－4

答案 D

解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4，∴－4

例4 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B .

解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，

当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1.经检验，0与－1都符合要求. ∴a ＝0或－1.

(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0，－52，5

4}≠B .

故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .

反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.

跟踪训练4 已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值.

解 方法一 根据集合中元素的互异性，

有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝0，

b ＝0或⎩⎨⎧

a ＝14

，b ＝12.

再根据集合中元素的互异性，得⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝0，

b ＝1或

⎩⎨⎧

a ＝14

，b ＝12.

方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同.

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＋

b ＝2a ＋b 2，

a ·

b ＝2a ·b 2， 即⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＋

b (b －1)＝0， ①ab ·(2b －1)＝0， ② ∵集合中的元素互异，∴a ，b 不能同时为零.

当b ≠0时，由②得a ＝0，或b ＝1

2

.当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去).

当b ＝12时，由①得a ＝1

4.当b ＝0时，a ＝0(舍去).∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝0，

b ＝1或⎩⎨⎧

a ＝1

4，

b ＝1

2.

1.下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A.一切很大的数 B.好心人 C.漂亮的小女孩

D.方程x 2－1＝0的实数根 答案 D

2.下面说法正确的是( ) A.所有在N 中的元素都在N *中 B.所有不在N *中的数都在Z 中 C.所有不在Q 中的实数都在R 中 D.方程4x ＝－8的解既在N 中又在Z 中 答案 C

3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C

4.下列结论不正确的是( ) A.0∈N B.2∉Q C.0∉Q D.－1∈Z 答案 C

5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可

答案 B

解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.

1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.

2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.

3.集合中元素的三个特性

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.

课时作业

一、选择题

1.已知集合A由x<1的数构成，则有()

A.3∈A

B.1∈A

C.0∈A

D.－1∉A

答案C

解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式.

2.由实数x，－x，|x|，x2，－3

x3所组成的集合，最多含()

A.2个元素

B.3个元素

C.4个元素

D.5个元素答案A

解析由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3

x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多

含2个元素.

3.下列结论中，不正确的是()

A.若a∈N，则－a∉N

B.若a∈Z，则a2∈Z

C.若a∈Q，则|a|∈Q

D.若a∈R，则3

a∈R

答案A

解析 A 不对.反例：0∈N ，－0∈N .

4.已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y

|y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )

A.0∉M

B.1∈M

C.－2∉M

D.2∈M

答案 D

解析 ①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋

y

|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y

|y |的值为－2，所以集合M 的元素共有3个：

－2,0,2，故选D.

5.已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D

解析 由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等.

6.已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A.－1∉A B.－11∈A C.3k 2－1∈A D.－34∉A 答案 C

解析 令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A .令3k －1＝－11，解得k ＝－10

3∉Z ，∴－11

∉A ；∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A .令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A . 二、填空题

7.在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素. 答案 1

解析 易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素.

8.下列所给关系正确的个数是________.

①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *. 答案 2

解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.

9.如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________. 答案 x ≠0,1,2，1±5

2

解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±5

2.

10.已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，b

a ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，

若A ＝B ，则a ＋b ＝____. 答案 －1

解析 ∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴b

a ＝0，则

b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}.

∵1∈B ，∴a 2＝1，a ＝±1.由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1. 三、解答题

11.已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值. 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－3

2

.

当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去. 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意.∴实数a 的值为－3

2.

12.已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值.

解 (1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0. 此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a －1，则a ＝－1. 此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.

(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为1.

13.数集A 满足条件：若a ∈A ，则1

1－a ∈A (a ≠1).

(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；

(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；

(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”. 解 (1)2∈A ，则11－2∈A ，即－1∈A ，则11＋1

∈A ，即12∈A ，则1

1－12∈A ，

即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，1

2

.

(2)如：若3∈A ，则A 中其他所有元素为－12，2

3

.

(3)分析以上结果可以得出：A 中只能有3个元素，它们分别是a ，1

1－a ，a －1a ，且三个数的

乘积为－1.

证明如下：若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且1

1－a

≠1，所以又有

11－1

1－a

＝

a －1a ∈A 且a －1

a

≠1， 进而有11－

a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝1

1－a ，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1

＝0无解).故

11－a

≠a －1a ，所以A 中只能有3个元素，

它们分别是a ，

11－a

，a －1a ，且三个数的乘积为－1.

四、探究与拓展

14.已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A.{1,2,3} B.{1,2} C.{0,1} D.{0,1,2}

答案 B

解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＋

b ＝1，b ＋

c ＝2，

c ＋a ＝3，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝1，

b ＝0，

c ＝2，

∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}.故选B.

15.已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z )，求证： (1)3∈A ；

(2)偶数4k －2(k ∈Z )不属于集合A .

证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A . (2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立. ①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数， 所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾. ②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，

所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾.所以假设不成立.综上，4k －2∉A .

第2课时集合的表示

学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.

知识点一列举法

思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？

答案把它们一一列举出来.

梳理把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用于元素较少的集合.

知识点二描述法

思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？

答案不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.梳理描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征.

类型一用列举法表示集合

例1用列举法表示下列集合.

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.

解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，

那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.

反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；

(2)列举法表示的集合的种类

①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；

②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；

③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为

{0,1,2,3，…}.

跟踪训练1用列举法表示下列集合.

(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；

(2)由1～20以内的所有素数组成的集合.

解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.

(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.

类型二用描述法表示集合

例2试用描述法表示下列集合.

(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}.

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10

因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10

引申探究

用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合.

解{(x，y)|y＝x2－2}.

反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点

(1)写清楚该集合中元素的代号；

(2)说明该集合中元素的性质；

(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；

(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.

跟踪训练2用描述法表示下列集合.

(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；

(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.

解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.

所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.

(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.

类型三集合表示的综合应用

命题角度1选择适当的方法表示集合

例3用适当的方法表示下列集合.

(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；

(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；

(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.

解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.

(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}.

(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.

反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.

跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.答案{2 000,2 001,2 004}

解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}.

命题角度2新定义的集合

例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()

A.18

B.17 D.16 D.15 答案B

解析因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.

反思与感悟命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.

跟踪训练4定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________. 答案6

解析由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，

又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.

1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()

A.{1,1}

B.{1}

C.{x＝1}

D.{x2－2x＋1＝0}

答案B

2.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()

A.{1，－2}

B.{x＝1，y＝－2}

C.{(－2,1)}

D.{(1，－2)}

答案 D

3.设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A.6∈A B.0∈A C.3∉A D.3.5∉A 答案 D

4.第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A.{(x ，y )|xy >0} B.{(x ，y )|xy ≥0} C.{(x ，y )|x >0且y >0} D.{(x ，y )|x >0或y >0} 答案 C

5.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( ) A.{x |x ＝4k －1，k ∈Z } B.{x |x ＝2k －1，k ∈Z } C.{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z } D.{x |x ＝2k ＋3，k ∈Z }

答案 A

1.在用列举法表示集合时应注意：

(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示. 2.在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；

(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.

课时作业

一、选择题

1.方程组⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )

A.{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝3x －y ＝－1} B.{(x ，y )|⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1y ＝2} C.{1,2} D.{(1,2)} 答案 C

解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合. 2.集合A ＝{x ∈Z |－2

A.1

B.2

C.3

D.4 答案 D

解析 因为A ＝{x ∈Z |－2

解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D. 4.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy

|xy |}为( )

A.{0,3}

B.{1,3}

C.{－1,3}

D.{1，－3} 答案 C

解析 当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1. 若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0，则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1. 因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}. 5.下列选项中，集合M ，N 相等的是( )

A.M ＝{3,2}，N ＝{2,3}

B.M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}

C.M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}

D.M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2} 答案 A

解析 元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等. 6.集合{3，52，73，9

4，…}用描述法可表示为( )

A.{x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *}

B.{x |x ＝2n ＋3

n ，n ∈N *}

C.{x |x ＝2n －1n ，n ∈N *}

D.{x |x ＝2n ＋1

n ，n ∈N *}

答案 D

解析 由3，52，73，94，即31，52，73，9

4，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表

示为{x |x ＝

2n ＋1

n

，n ∈N *}. 二、填空题

7.方程x 2－5x ＋6＝0的解集可表示为______. 答案 {2,3} 解析 易知方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或3，则方程解集为{2,3}. 8.集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________. 答案 {1} 解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.又x ∈N ，∴x ＝1.

9.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________. 答案 3

解析 根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素. 10.定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝{x |x －23<0}，则集

合A －B ＝________. 答案 {x |x ≥2}

解析 A ＝{x |x >－12}，B ＝{x |x <2}，A －B ＝{x |x >－1

2且x ≥2}＝{x |x ≥2}.

三、解答题

11.已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由.

解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同， 所以它们是互不相同的集合.理由如下：

集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；

集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}. 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}. 12.用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；

(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合. 解 (1)用描述法表示为{x |2

(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}.

13.设A 表示集合{2,3，a 2＋2a －3)，B 表示集合{|a ＋3|,2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值. 解 ∵5∈A ，且5∉B ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a －3＝5，|a ＋3|≠5，即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－4或a ＝2，

a ≠2且a ≠－8，

解得a ＝－4. 四、探究与拓展

14.设正整数集N *，已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x

＝3m－2，m∈N*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是()

A.2 006＝a＋b＋c

B.2 006＝abc

C.2 006＝a＋bc

D.2 006＝a(b＋c)

答案C

解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，

而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；

abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；

a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；

a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足.故选C.

15.若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P ＋Q.

解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}.

1.1.2集合间的基本关系

学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.

知识点一子集

思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？

答案所有的白马都是马，马不一定是白马.

梳理对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”).

子集的有关性质：

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.

知识点二真子集

思考在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集.

梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或

B A)，读作：A真包含于B(或B真包含A).

知识点三空集

思考集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？答案0个.

梳理

定义不含任何元素的集合叫做空集

符号用符号表示为∅

规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

知识点四

思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________.

答案A⊆B⊆C

梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.

类型一求集合的子集

例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；

(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.

解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.

(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集.如∅，有一个子集，0个真子集.

反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.

跟踪训练1适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()

A.15

B.16

C.31

D.32

答案A

解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个.

类型二判断集合间的关系

命题角度1概念间的包含关系

例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()

A.P ⊆N ⊆M ⊆Q

B.Q ⊆M ⊆N ⊆P

C.P ⊆M ⊆N ⊆Q

D.Q ⊆N ⊆M ⊆P

答案 B

解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B. 反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.

跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N 、Z 、Q 、R 表示，用符号表示N 、Z 、Q 、R 的关系为________. 答案 N

Z Q R

命题角度2 数集间的包含关系

例3 设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x <2或x >3}，则A 与B 的关系为( ) A.A ∈B B.B ∈A C.A ⊆B D.B ⊆A 答案 C

解析 ∵0<2，∴0∈B .又∵1<2，∴1∈B .∴A ⊆B . 反思与感悟 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察.

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图.

跟踪训练3 已知集合A ＝{x |－1

解析 由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .

类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)

例4 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值. 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}. (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意.

(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a }，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1

a ＝1，即a ＝1.

综上，a ＝0或a ＝1.

反思与感悟 集合A 的子集可分三类：∅、A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略∅. 跟踪训练4 已知集合A ＝{x |1

解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意. (2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪

⎧

a <1，2a －3≥1，

a －2≤2，这样的实数a 不存在.

综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}.

1.下列集合中，结果是空集的是( ) A.{x ∈R |x 2－1＝0} B.{x |x ＞6或x ＜1} C.{(x ，y )|x 2＋y 2＝0} D.{x |x ＞6且x ＜1}

答案 D

2.集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( ) A.P T B.P ∈T C.P ＝T D.P ⊈T 答案 A

3.下列关系错误的是( )

A.∅⊆∅

B.A ⊆A

C.∅⊆A

D.∅∈A 答案 D

4.下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )

答案 B

5.若A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x >6}，且A ⊆B ，则实数a 可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 D

1.对子集、真子集有关概念的理解

(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.

(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A

中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.

(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.

2.集合子集的个数

求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.

集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.

3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；

②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.

(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

课时作业

一、选择题

1.在下列关系中错误的个数是()

①1∈{0,1,2}；

②{1}∈{0,1,2}；

③{0,1,2}⊆{0,1,2}；

④{0,1,2}＝{2,0,1}；

⑤{0,1}⊆{(0,1)}；

A.1

B.2

C.3

D.4

答案B

解析①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；

③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.

2.已知集合A＝{x|x＝1

9(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝

4

9k±

1

9，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为

()

A.A B

B.B A

C.A＝B

D.A≠B 答案C

解析A＝{x|x＝2k＋1

9，k∈Z}＝{…，－

5

9，－

3

9，－

1

9，

1

9，

3

9，

5

9，…}，

B＝{x|x＝4k±1

9，k∈Z}＝{…，－

5

9，－

3

9，－

1

9，

1

9，

3

9，

5

9，…}，故A＝B.

3.已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()