高中数学必修一 《4 3 对数》集体备课导学案

第四章 指数函数与对数函数

4.3.2 对数的运算

1.理解对数的运算性质．(重点)

2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)

3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)

重点：对数的运算性质

难点：对数的运算性质的探究是教学的难点，突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a 的范围是________________.

2.

3.a

b b

c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．

问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

探究一：对数的运算性质

回顾指数幂的运算性质：

n m n m a a a +=⋅，n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(．

把指对数互化的式子具体化：

设m a M =，n a N =，

于是有,m n MN a ,m n n mn M

a M a N n N m M a a ==log ,log ．

根据对数的定义有：n m a

n m a +=+log ，n m a n m a -=-log ，mn a mn a =log ． 于是有对数的运算性质：

如果0>a ，且1≠a 时，M>0，N>0，那么：

（1）log ()

a M N

；（积的对数等于两对数的和） （2）log a M N ；（商的对数等于两对数的差）

（3）log n a M

；（R n ∈）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数） 1．思考辨析

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )

(2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( )

(3)log 2(－3)2＝2log 2(－3)．( )

例1．求下列各式的值

（1）log 84＋log 82；（2）log 510－log 52 （3）log 2（47×25）

跟踪训练1 计算下列各式的值：

(1)12lg 3249－43

lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23

lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8

. ().ln ,ln ,ln 1ln x y z xy z 例2用表示下列各式

探究二：换底公式

问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否

将其它底的对数转换为以10或e 为底的对数？

把问题一般化，能否把以a 为底转化为以c 为底？

探究：设p b a =log ，则b a p =，对此等式两边取以c 为底的对数，得到：

b a

c p c log log =，根据对数的性质，有：b a p c c log log =，所以

a b p c c log log =． 即

a b

b c c a log log log =

．其中0>a ，且1≠a ，0>c ，且1≠c ． 公式log a b ；称为换底公式．

用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．

问题2：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B 地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 x =log 1.112 的值。

例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震M 之间的关系为

2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？

跟踪训练2求值：

(1)log 23·log 35·log 516； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．

1．计算：log 153－log 62＋log 155－log 63＝( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

2．计算log 92·log 43＝( )

A ．4

B ．2 C.12 D.14

3．设10a ＝2，lg 3＝b ，则log 26＝( )

A.b a

B.a ＋b a

C ．ab

D ．a ＋b 4． log 816＝________.

5．计算：(1)log 535－2log 573

＋log 57－log 51.8； (2)log 2748＋log 212－12

log 242－1.

lg 4.8 1.5E M =+

1.对数的运算法则。

2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。

3.对数运算法则的应用。

4.换底公式的证明及应用。

参考答案：

二、学习过程

思考辨析 1. [答案] (1)√ (2)× (3)×

例1.解：（1）log 84＋log 82＝log 88＝1.

（2）log 510－log 52＝log 55＝1

(3) log 2（47×25）= log 2219 =19

跟踪训练1[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·3

2lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)

＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋1

2lg 5

＝12lg 2＋12lg 5＝1

2(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝1

2.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18

102lg 1.8＝lg 1.8

2lg 1.8＝1

2.

例2.[解] ()()1ln ln ln ln ln ln xy

xy z x z z =-=+-

()(2332ln x y

x y z z =-23ln 1

1

2ln ln ln 23x y z x y z

=+=+-

问题2：换底公式可得;x =log 1.112=lg2

lg1.11，

利用计算工具，可得x =lg2

lg1.11≈6.64≈7，

由此可得，大约经过7年，B 地景区的

游客人次就达到2001年的2倍，类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，:…所需要的年数。

例3解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E

1和E 2

设里利用计算工具可得，

虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。

跟踪训练2.[解] (1)原式＝lg 3lg 2·lg 5lg 3·lg 16lg 5＝lg 16lg 2＝4lg 2lg 2

＝4. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8

＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54

.. 三、达标检测

1.【答案】B [原式＝log 15(3×5)－log 6(2×3)＝1－1＝0.]

2.【答案】D [log 92·log 43＝lg 2lg 9·lg 3lg 4＝14

.] 3.【答案】B [∵10a ＝2，∴lg 2＝a ，

∴log 26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a ＋b a

.] 4.【答案】43 [log 816＝log 2324＝43

.] 5【答案】(1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595

＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.

(2)原式＝log 2748

＋log 212－log 242－log 22 ＝log 2

7×1248×42×2＝log 2122

＝log 22－32＝－32. lg 4.8 1.5,E M 由=+12lg 4.8 1.59.0,

lg 4.8 1.58.0E E 可得；=+⨯=+⨯1122

lg lg -lg = 4.8 1.59.0- 4.8 1.58.0=E E E E 于是（）（）1.5

=+⨯+⨯1.5121032E E =≈