A ．a ＜2
B ．a ＞—2
C ．a ＞—1
D ．—1≤a ≤2
3．集合A 、B 各有12个元素，A ∩B 中有4个元素，则A ∪B 中元素个数为
4．数集M={x|N k k x ∈+=,41}，N={ x|N k k x ∈-=,4
12}，则它们之间的关系是
5．已知集合M={（x,y ）|x+y=2 }，N={（x,y ）|x —y=4}，那么集合M ∩N=
6．设集合A={x|x 2—px+15=0}，B={x|x 2—5x+q=0}，若A ∪B={2，3，5}，则A=
B=
7．已知全集U=R ，A={x|x ≤3}，B={ x|0≤x ≤5}，求（C U A ）∩B
8．已知集合A={x|x 2—3x+2=0}，B={x|x 2—mx+(m —1)=0}，且 B A ，求实数m 的值
9．已知A={x|x 2+x —6=0}，B={x|mx+1=0}，且A ∪B=A ，求实数m 的取值范围
10．已知集合A={x|—2＜x ＜—1或x ＞0}，集合B={ x|a ≤x ≤b}，
满足A ∩B={x|0＜x ≤2}，A ∪B={x|x ＞—2}，求a 、b 的值
§2.1.1函数的概念与图象（1）
[自学目标]
1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠
数的概念；
2．了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则；[知识要点]
1．函数的定义：)(x
f
y=，A
x∈.
2．函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则. 3．函数的相等.
[预习自测]
例1．判断下列对应是否为函数：
（1）2,0,;
x x x R
x
→≠∈
（2）,
x y
→这里2,
y x
=,.
x N y R
∈∈
补充：（1）,{
A R
B x
==∈R︱0
x>}，:f x y x
→=；
（2）,:3
A B N f x y x
==→=-；
（3）{
A x R
=∈︱0}
x>，,:
B R f x y x
=→=±；
（4）{0
A x
=≤x≤6},{0
B x
=≤x≤3},:
2
x
f x y
→=
分析：判断是否为函数应从定义入手，其关键是是否为单值对应，单值对应的关键是元素对应的存在性和唯一性。
例2．下列各图中表示函数的是------------------------------------------[ ]
A B C D
例3．在下列各组函数中，)
(x
f与)
(x
g表示同一函数的是------------------[ ]
A．)(x
f=1，)(x
g=0x B．x
y=与2x
y=
C．2x
y=与2)1
(+
=x
y D．)(x
f=∣x∣，)(x
g=2x
6
3-
x（x≥0）
例4 已知函数=)
(x
f求)1(f及)]1(
[f
f
5
+
x（x0
<），
[课内练习]
1．下列图象中表示函数y=f(x)关系的有--------------------------------( )
x
y
x
y
x
y
x
y
O O
O
O
A.(1)(2)(4)
B.(1)(2)
C.(2)(3)(4)
D.(1)(4)
2．下列四组函数中，表示同一函数的是----------------------------------
( )
A
．y =32y x =-B ．2y x =和y x x =
C ．y x =
和y =D ．y x =
和2y =
3．下列四个命题
（1）f(x)=x x -+-12有意义;
（2）)(x f 表示的是含有x 的代数式
（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；
（4）函数
y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是抛物线，其中正确的命题个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0 ４．已知f(x)=221(1)1(1)x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，则
；
5．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f =
[归纳反思]
１．本课时的重点内容是函数的定义与函数记号()f x 的意义，难点是函数概念的理解和正确应用；
２．判断两个函数是否是同一函数，是函数概念的一个重要应用，要能紧扣函数定义的三要素进行分析，从而正确地作出判断．
[巩固提高]
1．下列各图中，可表示函数)(x f y =的图象的只可能是--------------------[ ]
A B C D
2．下列各项中表示同一函数的是-----------------------------------------
[ ]
A ．0)1(-=x y 与1=y
B ．y =221x ，y =x x 23
C ．1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈
D ．=)(x f 2-x 1与
12)(-=t t g 3．若=)(x f a x +2(a 为常数)，)2(f =3，则a =------------------------[ ]
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．2-
4．设=)(x f 1,1
1±≠-+x x x ，则)(x f -等于--------------------------------[ ]
A ．)(1x f
B ．)(x f -
C ．)(1x f -
D ．)(x f
5．已知)(x f =12+x ，则)2(f =，)1(+x f =
6．已知)(x f =1-x ，Z x ∈且]4,1[-∈x ，则)(x f 的定义域是，
值域是
7．已知)(x f = ()()
221111x x x x ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩，则=)33(f 8．设3()1f x x =+，求)]}0([{f f f 的值
9．已知函数1()3,2f x x =+求使9()(,4)8
f x ∈的x 的取值范围 10．若12)(2+=x x f ，1)(-=x x
g ，求)]([x g f ，)]([x f g
§2.1.1函数的概念与图象（2）
[自学目标]
掌握求函数定义域的方法以及步骤；
[知识要点]
1、函数定义域的求法：
(1)由函数的解析式确定函数的定义域；
(2)由实际问题确定的函数的定义域；
(3)不给出函数的解析式，而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域。
[预习自测]
例1．求下列函数的定义域：
（1）()1f x x x =+-（2）)(x f =
x x -1（3）1()21f x x =+（4）
)(x f =+-x 5x -21 分析：如果
()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的实数的集合；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。
例2．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如
图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域
例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1-
（1）求函数(1)f x +的定义域；
（2）求函数=y )4
1()41(-++x f x f 的定义域。
[课内练习]
１．函数()1
f x x x =-的定义域
是―――――――――――――――――（）
Ａ．(),0-∞Ｂ．()0,+∞Ｃ．[0,)+∞Ｄ．Ｒ
２．函数f(x)的定义域是[
12,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（）
A ［0,1］
B ［2，52］
C ［0，52
］ D (),3-∞
３．函数
()f x =()01x -的定义域是： ４．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是
5．函数()()1log 143++--=x x x x f 的定义域是 [归纳反思]
１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值；
２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组；
[巩固提高]
1．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ]
A ．[1-，1]
B ．（),1[]1,+∞-∞-
C ．[0，1]
D ．{1,1-}
2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------
[ ]
A ．[2,2-]
B ．[]23
,21- C ．[]3,1- D ．[,2-]2
3 3．函数0
1x y
+=------------------------------------[ ] A ．{}0x x > B ．{}0x x < C ．{}0,1x x x <≠- D ．{}0,1x x x ≠≠-
4．函数y =
x
x 1+的定义域是 5．函数)(x f =1+x 的定义域是；值域是。
6．函数11y x
=-的定义域是：。 7．求下列函数的定义域 (1) y =32+x ；（2）y =
)1)(21(1+-x x ；（3）51+-=x x y 8．若函数()f x 的定义域为[]3,1x ∈-，则()()()F x f x f x =+-的定义域.
9．用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积S （2cm ）表示为
矩形一边长()x cm 的函数，并画出函数的图象.
10．已知函数)(x f =c bx ax ++2，若1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f ，求)(x f 的表达式.
§2.1.1函数的概念与图象（3）
[自学目标]
掌握求函数值域的基本求法；
[知识要点]
函数值域的求法
函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：
（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。
[预习自测]
例1．求下列函数的值域：
（1）21,{1,2,3,4,5}y x x =+∈；
（2）=y x 1+;
（3）=y 1
+x x ； （4）=y 2
211x x +-； （5）=y 322+--x x 变题：=y 322+--x x 5(-≤x ≤2-）； （6）=y 12-+x x
分析：求函数的值域，一种常用的方法就是将函数的解析式作适当的变形，通过观察或利用熟知的基本函数（如一次函数、二次函数等）的值域，从而逐步推出所求函数的值域（观察法）；或者也可以利用换元法进行转化求值域。
例2． 若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4
--，求m 的取值范围
[课堂练习]
1．函数()201y x x
=
>+的值域为（） A ．[]0,2 B ．(]0,2 C ．()0,2 D ．[)0,2 2．函数y=2x 2-4x-3，0≤x ≤3的值域为 ( )
A (-3,3)
B (-5,-3)
C (-5,3)
D (-5,+∞)
3．函数[]2,4,1y x x =-∈--的最大值是 ( )
A ．2
B ．12
C ．1-
D ．4-
4．函数2y x =()2x ≠-的值域为
5．求函数
[归纳反思]
求函数的值域是学习中的一个难点，方法灵活多样，初学时只要掌握几种常用的方法，如观察法、图象法、配方法、换元法等，在以后的学习中还会有一些新的方法（例如运用函数的单调性、配方法、分段讨论法、不等式法等等），可以逐步地深入和提高。
[巩固提高]
1.函数y =)1(1
>x x
的值域是---------------------------------------[ ]
A ．（),0()0,+∞∞-
B ．R
C ．（0，1）
D ．(1,)∞+走 2.下列函数中，值域是(0,∞+)的是--------------------------------[ ]
A ．y = 132+-x x
B ．y =21+x （)0>x
C ．12++=x x y
D ．21x
y = 3.已知函数()f x 的值域是[]2,2-,则函数()1y f x =+的值域是--------
[ ]
A.[]1,3-
B.[]3,1-
C.[]2,2-
D.[]1,1-
4.)(x f =∈-x x x ,2{3,2,1±±±}，则)(x f 的值域是:.
5.函数
2y x =-的值域为:.
6.函数2122
y x x =-+的值域为:. 7.求下列函数的值域
（1）1y =（2）221y x x =---（3）2(23)y x x =-≤≤
（4）2211x y x -=+（5）2y x =-6）y =x
x 3121-+ 8.当[1,3]x ∈时，求函数2()26f x x x c =-+的值域
§2.1.1函数的概念与图象（4）
[自学目标]
1．会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；
2．通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力．
[知识要点]
1．函数图象的概念
将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐
标，就得到坐标平面上的一个点()()0,0x f x ．当自变量取遍函数定义
域Ａ中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的
集合（点集）为()(){},,x f x x A ∈即()(){},,x y y f x x A =∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．
2．函数图象的画法
画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域．
3．会作图，会读（用）图
[预习自测]
例1．画出下列函数的图象，并求值域：
(1)y =13-x ，∈x [1，2]； (2)y = (1-)x ,∈x {0,1,2,3}；
(3)y =x ；变题：1y x =-； (4)y =2x 22--x
例2．直线y =3与函数y =|x 2-6x |图象的交点个数为（）
（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个
例3.下图中的A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下的一个图象写出一件事。
离开家的距离(m) 离开家的距离(m)
时间（min ）时间（min ）
A B
离开家的距离(m) 离开家的距离(m)
时间（min ）时间（min ）
C D
(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学；
(2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。
[课堂练习]
1．下列四个图像中，是函数图像的是（ ）
A 、（1）
B 、（1）、（3）、（4）
C 、（1）、（2）、（3）
D 、（3）、（4）
2．直线x a =()a R ∈和函数21y x =+的图象的交点个数 ( )
A 至多一个
B 至少有一个
C 有且仅有一个
D 有一个或两个以上
（1） （2） （3） （4）
3．函数y=|x+1|+1的图象是 ( )
4．某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（ ）（年
增长率=年增长值/年产值）
A ）97年
B ）98年
C ）99年
D ）00年 5．作出函数223(1y x x x =--≤-或2x >）的图象；
[归纳反思]
根据函数的解析式画函数的图象，基本方法是描点法，但值得
指出的是：一要注意函数的定义域，二要注意对函数解析式的特征加以分析，充分利用已知函数的图象提高作图的速度和准确性；
函数的图象是表示函数的一种方法，通过函数的图象可以直观
地表示x 与y 的对应关系以及两个变量变化过程中的变化趋势，以后我们会经常地运用函数解析式与函数图象两者的有机结合来研究函数的性质．
[巩固提高]
1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在 下图中纵轴表示离学校距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是（ ）
d d d d
O t O t O t O t
A B C D
2．某工厂八年来产品C （即前t 年年产量之和）与时间t(年)的函数如下图，下列四种说法：（1）前三年中，产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，年产量保持不变；
（4）第三年后，年产量逐步增长．
其中说法正确的是（）
A ．（2）与（3）
B ．（2）与（4）
C ．（1）与（3）
D ．（1）与（4）
3.下列各图象中，哪一个不可能是函数)(x f y =的图象（）
0099989796(年）200400
600800
1000（万元）
x
A ．
B ． x x
C ．
D ．
4.函数)0(≠+=kb b kx y 的图象不通过第一象限，则b k ,满足-----------[ ]
A ．k 0,0>B ．0,0<
C ．0,0<>b k
D ．0,0>>b k
c bx ax y ++=2与b ax y +=（)0≠ab 的图象只可能是---------[ ]
A ．
B ．
C ．
D ．
6.函数1+=x y 的图象是----------------------------------------[ ] ． C ． D ．
1(1≤x ≤2）的图象是
2,0）和（-2，1），则此函数的解析式为
9.若二次函数3222+-+-=m mx x y 的图象的对称轴为2-=x ，则=m
10.在同一个坐标系中作出函数)(x f =2)1(-x 与)(x g =1-x 的图象
（1）问：=y )(x g 的图象关于什么直线对称？
（2）已知121<§2.1.2函数的表示方法
[自学目标]
1.了解表示函数有三种基本方法:图象法、列表法、解析法;理解函数关系的三种表示方法具有内在的联系，在一定的条件下是可以互相转化的.
2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式.
3.了解简单的分段函数的特点以及应用.
[知识要点]
1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法.
在表示函数的基本方法中,列表法就是直接列表表示函数,图象法就是直接作图表示函数,而解析法是通过函数解析式表示函数.
2.求函数的解析式,一般有三种情况
⑴根据实际问题建立函数的关系式;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x x x x
x x x x y y y
y y y y y
⑵已知函数的类型求函数的解析式;
⑶运用换元法求函数的解析式;
3．分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数;
注意:
①分段函数是一个函数,而不是几个函数;
②分段函数的定义域是x 的不同取值范围的并集;其值域是相应的y 的取值范围的并集
[例题分析]
例1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别
用解析法、列表法、图象法将y 表示x({}1,2,3,4x ∈)成的函数，
并指出该函数的值域．
例2．（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)的表达式；
（2）已知f(2x-3)= 2x +x+1，求f(x)的表达式；
例3．画出函数()f x x =的图象，并求(3)f -，(3)f ，(1),f -(1)f ，((2))f f - 变题①作出函数()1f x x =+()2f x x =-的图象
变题②作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象
变题③求函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域
变题④作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象，是否存在0x 使得
f(0x
)=
通过分类讨论，将解析式化为不含有绝对值的式子．
作出f(x)的图象
由图可知，()f x 的值域为[3,)+∞，
而<3，故不存在0x ，
使
0()f x =例4．已知函数
25,1,(),11,2, 1.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
(1)求f(-3)、f[f(－3)] ； （2）若f(a)= 12
,求a 的值．
[课堂练习]
1．用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积S （2cm ）表示为
矩形一边长x （cm ）的函数，并画出函数的图象．
2.若f(f(x))=2x －1，其中f(x)为一次函数，求f(x)的解析式．
3.已知f(x-3)＝221x x ++，求f(x+3) 的表达式．
4．如图，根据y=f(x) (x R ∈)的图象，写出y=f(x)的解析式．
[归纳反思]
1. 函数关系的表示方法主要有三种: 解析法,列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺点,千万不能误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数;
2. 函数的解析式是函数的一种常用的表示方法,要求两个变量间的函数关系,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域;
3. 无论运用哪种方法表示函数,都不能忽略函数的定义域;对于分段函数,还必须注意在不同的定义范围内,函数有不同的对应关系,必须先分段研究,再合并写出函数的表达式.
[巩固提高]
1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是------------------------------------------------------------( )
2．已知()223f x x =+,则()f x 等于--------------------------------------------------( ) A.32x + B.3x + C.32
x + D.23x +
3．已知一次函数的图象过点()1,0以及()0,1，则此一次函数的解析式为------（）
A ．1y x =-+
B ．1y x =+
C ．1y x =-
D ．1y x =--
4．已知函数()()()221122(2)x x y f x x x x x +≤-⎧⎪==-<<⎨⎪>⎩，且()3f a =，则实数a 的值为---
（）
A ．1
B ．1.5
C ．3-
D ．3
5．若函数()2,(),(1)1,f x x mx n f n m f =-+==-则()5f -=
6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量
（kg ）与其运费（元）由如图的一次函数图象
确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为
7．画出函数2x
0,f(x)=x 0,x x ≥⎧⎨<⎩的图象，
并求f(32+)+f(32-的值．
8．画出下列函数的图象
(1) y=x －︱1－x ︱ (2) 21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩
9．求函数y=1－︱1－x ︱的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积．
[人教A版]高中数学必修一(全册)导学案及答案汇总
§1.1.1 集合的含义与表示（1） 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 23 讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形； ④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根； ⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答： 各组对象分别是一些什么？有多少个对象？ 新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）. 试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？ 探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？ 新知2：集合元素的特征 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. 互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
2021年新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案
§1.1.1集合的含义及其表示 欧阳光明（2021.03.07） [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例 2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例 3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求 ,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.
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§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()() (){} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的 值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素
新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(105页)
课题：1．1．1集合的含义与表示(1) 一、三维目标： 知识与技能:了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；掌握常用数集及其记法、集合中 元素的三个特征。 过程与方法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。 情感态度与价值观:培养学生的应用意识。 二、学习重、难点： 重点：掌握集合的基本概念。 难点：元素与集合的关系。 三、学法指导：认真阅读教材P 1-P 3，对照学习目标，完成导学案，适当总结。 四、知识链接： 军训前学校通知：8月13日8点，高一年级在操场集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 初中时你听说过“集合”这一词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合” 这一词？（试举几例） 五、学习过程： 1、阅读教材P 2 页8个例子 问题1：总结出集合与元素的概念： 问题2：集合中元素的三个特征： 问题3：集合相等： 问题4：课本P 3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子。 2、集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 问题5：元素与集合之间的关系？ A 例1：设A 表示“1----20以内的所有质数”组成的集合，则3、4与A 的关系？ B 例2：若+∈N x ，则N x ∈，对吗？ 六、达标检测：
A 1.判断以下元素的全体是否组成集合： （1）大于3小于11的偶数； （ ） （2）我国的小河流； （ ） （3）非负奇数； （ ） （4）本校2009级新生； （ ） （5）血压很高的人； （ ） （6）著名的数学家； （ ） （7）平面直角坐标系内所有第三象限的点 （ ） A 2.用“∈”或“∉”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A ； B 3.下面有四个语句:①集合N 中最小的数是1;②若N a ∉-，则N a ∈;③若N a ∈，N b ∈，则b a +的最小值是2;④x x 442 =+的解集中含有2个元素； 其中正确语句的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 B 4.已知集合S 中的三个元素a,b,c 是∆AB C 的三边长，那么∆ABC 一定不是 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 B 5. 已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当A a ∈，有6-a ∈A ，那么a 为 （ ） A ．2 B.2或4 C.4 D.0 B 6. 设双元素集合A 是方程x 2 -4x+m=0的解集,求实数m 的取值范围。 C 7. 已知集合A 由1,x,x 2 三个元素构成,集合B 由1,2,x 三个元素构成,若集合A 与集合B 相等,求x 的值。 七、学习小结： 1.集合的概念 2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. 3.常见数集的专用符号。 八、课后反思:
人教版高中数学必修第一册4.4.2 对数函数的图像和性质 导学案(2)
【新教材】4.4.2 对数函数的图像和性质（人教A 版） 1、掌握对数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力; 2、通过观察图象,分析、归纳、总结对数函数的性质; 3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 1.数学抽象:对数函数的图像与性质; 2.逻辑推理:图像平移问题; 3.数学运算:求函数的定义域与值域; 4.数据分析:利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式; 5.数学建模:通过由抽象到具体,由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 重点:对数函数的图象和性质; 难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳对数函数的性质、 一、 预习导入 阅读课本132-133页,填写。 1、对数函数的图象及性质 的范围 0＜a ＜1 a ＞1 升”;当0＜a ＜1时,对数函数的图象“下降”、
2、反函数 指数函数__________和对数函数y ＝log a x( a＞0且a≠1)互为反函数、 1.若函数y=log a x的图象如图所示,则a的值可能是 ( ) A.0.5 B.2 C.e D.π 2.下列函数中,在区间( 0,+∞)内不是增函数的是( ) A.y=5x B.y=lg x+2 C.y=x2+1 D.y= 3.函数的f( x)=log a( x-2)-2x的图象必经过定点.. 4.( 1)函数f( x)= 的反函数是. ( 2)函数g( x)=log8x的反函数是. 题型一对数函数的图象 例1函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示. ( 1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由; ( 2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lo g1 2 x,y=lo g1 5 x,y=lo g1 10 x的图象; ( 3)从( 2)的图中你发现了什么? 跟踪训练一 1、作出函数y=|lg( x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间. 题型二比较对数值的大小 例2比较下列各组数中两个值的大小: ( 1)log23.4,log28.5; ( 2)log0.31.8,log0.32.7; ( 3)log a5.1,log a5.9( a＞0,且a≠1)、 跟踪训练二 1、比较下列各题中两个值的大小: ( 1)lg 6,lg 8;( 2)log0.56,log0.54; ( 3)log 1 3 2与log 1 5 2; ( 4)log23与log54. lo g1 2 x 2 3 x
第四章 章末复习课(导学案)-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记(人教
章末复习课 一、指数、对数的运算 1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明． 2．掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养． 例1化简并计算(式中字母均为正数)． (1) 1 4 4x(－ 1 1 3 4 3x y-)÷( 2 1 3 2 3x y- - -)； (2) 1 3 1 27 - ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ＋(π－4)2－3 2log2 3+＋lg 4＋2lg 5＋log49·log34. 解(1)原式＝ 1 4 4x· 1 4 x· 1 3 y-÷ 2 1 3 2· x y- - ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭
＝1 4 4x ·14 x ·13 y -·2 13 2·x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝1211133 442 ·4x y -+++·＝4x ·13 y . (2)原式＝() 133 3 --＋|π－4|－32·3log 2 3 ＋lg 4＋lg 25＋2log 43·log 34 ＝3＋4－π－18＋lg(4×25)＋2lg 3lg 4·lg 4 lg 3＝－π－7. 反思感悟 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 跟踪训练1 计算： (1)1－12 3－ 12＋3－1 3 338⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＋(7－103)0； (2)log 20.25＋ln e ＋243 ·log 2＋lg 4＋2lg 5－4 (－2)4. 解 (1)1－12 3－ 12＋3－13 338⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＋(7－103)0 ＝1－3－2－3 (2＋3)(2－3)－13 278⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1 ＝1－3－2＋3－133 32⨯ ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＋1＝－3 2 . (2)log 20.25＋ln e ＋243 ·log 2 ＋lg 4＋2lg 5－4 (－2)4 ＝log 214＋1 2ln e ＋4 2log 32＋lg 4＋lg 52－424 ＝－2＋12＋81＋lg 100－2＝791 2 . 二、指数函数、对数函数的图象及其应用 1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知
人教版高中数学必修一全册导学案
人教版高中数学必修一全册导学案 1．1．1集合的含义 使用说明： “自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。 “合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。 “个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。能力展示5分钟，教师作出总结性点评。 通过本节学习应达到如下目标: (1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义.。. (2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.(3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义. (4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性). (5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度. 学习重点：
集合概念的形成。 学习难点： 理解集合的元素的确定性和互异性. 学习过程 （一）自主学习 阅读课本，完成下列问题： 1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能 否构成集合，如果能，他们的元 素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。 2、一般地，我们把研究对象称为，把一些元素组成的总体叫做 3、 集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。 4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算 作一个元素。 5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。 6、如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作读作”。 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作，读作””。7有理 数集，实数集 （二）合作探讨 1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由
2021年高中数学必修1第一册第一章教案示例新课标人教版
2021年高中数学必修1第一册第一章教案示例新课标人教版 教学目标：（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 （2）学习用集合语言刻画函数 （3）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式 教学重点：函数的概念. 教学过程： 1．通过多教材上四个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2．引出用集合语言刻画函数（见教材第33页） 3．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式 4．区间概念 5．补充例子 例1求下列函数的定义域 1， 2， 3，
例2求函数的值域 1． 2． 3． 例3求函数的解析式 1．若，求 2．若，求 3．若一次函数满足，求 课堂练习：教材第35页练习A、B 小结：学习用集合语言刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式 课后作业：第58页习题1-1B第1题 二 教学目标：理解映射的概念； 用映射的观点建立函数的概念. 教学重点：用映射的观点建立函数的概念. 教学过程： 1．通过对教材上例4、例5、例6的研究，引入映射的概念. 注：1，补充例子：投掷飞标时，每一支飞标射到盘上时，是射到盘上的唯一点上。于
是，如果我们把A 看作是飞标组成的集合，B 看作是盘上的点组成的集合，那么，刚才的投飞标相当于集合A 到集合B 的对应，且A 中的元素对应B 中唯一的元素，是特殊的对应. 同样，如果我们把A 看作是实数组成的集合，B 看作是数轴上的点组成的集合，或把A 看作是坐标平面内的点组成的集合，B 看作是有序实数对组成的集合，那么，这两个对应也都是集合A 到集合B 的对应，并且和上述投飞标一样，也都是A 中元素对应B 中唯一元素的特殊对应. 一般地，设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f)叫做集合A 到集合B 的映射，记作f:A →B.其中与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 2，强调象、原象、定义域、值域、一一对应和一一映射等概念 3．映射观点下的函数概念 如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （CB ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x). 这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义. 注：新定义更抽象更一般 如：（狄利克雷函数）是无理数）（ 是有理数）⎩⎨⎧=x 0x (1)x (f 4．补充例子：
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案新人教A版必修1(2021年整理)
高中数学第三章函数的应用3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂导学案新人教A版必修1 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章函数的应用3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂导学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章函数的应用3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂导学案新人教A版必修1的全部内容。
3.1。2 用二分法求方程的近似解 课堂导学 三点剖析 一、用二分法求相应方程的近似解 【例1】证明方程x3—3x+1=0在区间(1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0。01）. 证明:令f（x）=x3—3x+1,则f（x）在区间[1，2］上的图象是一条连续不断的曲线. ∵f（1)=1-3+1=—1＜0， f(2)=8—6+1=3＞0, ∴f（1)·f(2)＜0, ∴函数f(x）在区间（1，2）内必有一零点， ∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0. 取区间（1，2）的中点x1=1.5， 用计算器算得f(1.5）=—0。125。 因为f(1。5)·f（2)＜0， 所以x0∈(1.5,2）. 再取（1。5，2)的中点x2=1。75， 用计算器算得f(1.75）=1.109 375。 因为f（1.5)·f(1。75)＜0， 所以x0∈（1。5，1.75）. 又取（1。5,1。75）的中点x3=1。625。 用计算器算得f(1。625）=0。416 015 625. 因为f(1.5）·f(1。625）＜0,
人教A版高中数学必修1全册课后习题(附解析)
结合全新各地模拟考试相关题目 人教A版高中数学必修1全册课后习题（附解析） 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 第1课时集合的概念与几种常见的数集 课后巩固 1.设集合A={2,4,5},B={2,4,6},若x∈A,且x∉B,则x的值为() A.2 B.4 C.5 D.6 2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是() D.√7 A.3.14 B.-5 C.3 7 √7是实数,但不是有理数,故选D. 3.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是() A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a=A A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C. 4.下列对象能构成集合的是() A.高一年级全体较胖的学生 B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1 C.全体很大的自然数 D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 ,不满较胖”与“很大”的标准不明确,所以A、C不能构成集合;对于B,由于sin 30°=cos 60°=1 2 足集合中元素的互异性,故B错误;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点,可知这个点就是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故选D. 5.(多选题)下列关系正确的有() A.1 ∈R B.√2∉R C.|-3|∈N D.|-√3|∈Q 2
中,12 ∈R ,正确;B 中,√2∉R ,错误;C 中,|-3|∈N ,正确;D 中,|-√3|∈Q ,错误,所以正确的个数是两个,故选A,C . 6.已知集合S 中的元素a ,b 是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 ,所以a ≠b ,即四边形对角线不相等,故选C . 7.已知集合A 中含有2个元素x+2和x 2,若1∈A ,则实数x 的值为 . x+2=1或x 2=1,所以x=1或x=-1. 当x=-1时,x+2=x 2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x 2=1,满足题意.故x=1. 8.设P ,Q 为两个非空实数集合,P 中含有0,2,5三个元素,Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素是a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则P+Q 中元素的个数是 . a ∈P , b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q 中有8个元素. 9.已知集合A 中含有两个元素a-3和2a-1. (1)若-3是集合A 中的元素,试求实数a 的值; (2)-5能否为集合A 中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由. 因为-3是集合A 中的元素, 所以-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0, 此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合要求; 若-3=2a-1,则a=-1, 此时集合A 中含有两个元素-4,-3,符合要求. 综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1. (2)若-5为集合A 中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5. 当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性; 当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性. 综上,-5不能为集合A 中的元素. 10.已知集合A 中含有3个元素:x ,y x ,1,B 中含有3个元素:x 2,x+y ,0,若A=B ,则x 2 017+y 2 018= . A=B ,∴{y =0,x 2=1,x ≠1, 解得{x =-1,y =0, 则x 2 017+y 2 018=(-1)2 017+02 018=-1.
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§集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.以下的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. 〔1〕小于5的自然数; 〔2〕某班所有高个子的同学; 〔3〕不等式217x +>的整数解; 〔4〕所有大于0的负数; 〔5〕平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素确实定性. 例2.集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()() (){} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=假设()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素
