高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.2第1课时
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1
λ＝2
4，∴λ＝2.
【答案】 B
2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行
C ．在平面内
D ．平行或在平面内
【解析】 ∵AB
→＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1，1) B.? ?
???1，3，32 C.?
????1，－3，32 D.?
????－1，3，－32
【解析】 对于B ，AP →＝?
??
??－1，4，－12，
则n ·AP →＝(3，1，2)·?
??
??－1，4，－12
＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ?
??
??1，3，32在平面α内．
【答案】 B
4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( )
A ．l ⊥α
B ．l ∥α
C ．l 与α相交但不垂直
D ．l ∥α或l ?α
【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ?
α.
【答案】 D
5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A ．(0，－3，1)
B ．(2，0，1)
C ．(－2，－3，1)
D ．(－2，3，－1)
【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题
6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x
－2－8＝0，所以x ＝－10.
【答案】 －10
7．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．
【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－3
2.
【答案】 16 －3
2
8．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝________．
【解析】 AB
→＝(－2，2，－2)，AC →＝(－1，6，－8)， AP
→＝(x －4，－2，0)，由题意知A ，B ，C ，P 四点共面， ∴AP
→＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴?????2λ＋6μ＝－2，－2λ－8μ＝0，∴?????λ＝－4，
μ＝1，
而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 11 三、解答题
9.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且OE
→＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH
→＋mEF →.求证： 【导学号：18490106】
图3-2-6
(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG
→＝kOC →. 【解】 (1)由AC
→＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)∵EG
→＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD
→－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC
→∥EG →. (3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO → ＝k (AC →－AO →)＝kOC →. ∴OG
→＝kOC →. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1
F 的法向量． 【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，E ? ????1，1，12，D 1(0，0，1)，F ? ?
???0，12，0，A 1(1，0，1)，
AE →＝?
??
??0，1，12，
D 1F →＝?
??
??0，12，－1，A 1D 1→＝(－1，0，0)．
∵AE →·D 1F →＝?
??
??0，1，12·?
??
??0，12，－1
＝12－1
2＝0， 又AE →·A 1D 1→＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ， ∴AE →是平面A 1D 1
F 的法向量． [能力提升]
1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A ．(4，2，－2)
B ．(2，0，4)
C ．(2，－1，－5)
D ．(4，－2，2)
【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.
【答案】 D
2．已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能．．．
是( )
A ．(1，－4，2) B.? ????1
4，－1，12 C.? ??
??－1
4，1，－12 D ．(0，－1，1)
【解析】 因为PM
→＝(0，2，4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足?????n·
a ＝0，n ·
PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D
不满足，故选D.
【答案】 D
3．若A ?
??
??0，2，198，B ?
??
??1，－1，58，C ?
?
?
??－2，1，58是平面α内的三
点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．
【解析】 因为AB →＝?
??
??1，－3，－74，
AC →＝?
??
??－2，－1，－74，
又因为a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 所以?????x －3y －74z ＝0，
－2x －y －7
4z ＝0，
解得?????x ＝23y ，z ＝－4
3y .
所以x ∶y ∶z ＝2
3y ∶y ∶? ??
??－43y ＝2∶3∶(－4)．
【答案】 2∶3∶(－4)
4.如图3-2-7，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所
成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝1
2AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ，使得CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由. 【导学号：18490107】
图3-2-7
【解】 分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0), 设E (0，y ，z )，则
PE
→＝(0，y ，z －1)， PD
→＝(0，2，－1)， ∵PE
→∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0， ①
∵AD
→＝(0，2，0)是平面P AB 的法向量， CE
→＝(－1，y －1，z )， ∴由CE ∥平面P AB, 可得CE
→⊥AD →， ∴(－1，y －1，z )·(0，2，0)＝2(y －1)＝0， ∴y ＝1，代入①式得z ＝1
2.∴E 是PD 的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。
2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。
4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。
6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。
8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。
9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。
10、自己不感兴趣的学科也好好学。
11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。
12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。
02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。
14、为准备考试，会制定一个详细的计划。
15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。
16、常自己寻找没有干扰的地方学习。
17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。
18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。
19、作业总是在自己规定的时间内完成。
20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。
03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。
22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。
23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。
24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。
25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。
26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。
27、常寻找同一道题的几种解法。
28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。
29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。
30、常对学过的知识进行分类、比较。
31、常回忆当天学过的东西。
32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。
33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。
34、注意学习别人的解题方法。
35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。
36、留意别人好的学习方法，学来用用。
37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。
38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。
04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。
40、在学习时很少烦躁不安。
41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。
42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。
43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。
44、解决问题时，要检验每一步的合理性。
45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。
47、常让同学提问自己学过的知识。
48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。
49、常常对一天的学习内容进行回顾。
50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。
51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。
52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。
53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。
54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。
06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。
56、常和别人一起讨论问题。
57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。
58、自己到书店选择适合自己的参考书。
59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。
60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。