选修2-1(空间向量)

3.1 空间向量及其运算

1 空间向量及其加减运算、数乘运算

【学习目标】

1.类比平面向量,理解空间向量的相关概念;

2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算的运算法则,比较与平面向量的异同,加深

理解.

【重难点】

概念的理解

【新知探究】

一、空间向量的有关概念

1.空间向量的定义:

在空间,我们把_________________________的量叫做空间向量

[思考] 空间向量间能否比较大小?

二、空间向量的加减法

1.定义:

空间向量的加、减运算结果仍是_______,其法则类似于平面向量的加、减法的运算法则:加法满足________法则和_________________________法则;减法为加法的__________,与平面向量的减法运算一样.

2.运算律:

空间向量的加法满足__________和_____________,即:

a_____________;=

=

+b

(_______________________________.

a)

+c

+

b

[探究] 结合律的证明

[结论] 1.空间三个不共面向量的和向量可以与这三个向量移到相同起点后构造的平行六面体的对角线联系;

2.首尾相接的若干向量之和,等于____________________________________, 即:_________________________________________________

3.首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为________

4.若P是线段AB的中点，则=____________________

三、空间向量的数乘运算

1.定义:

与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个______,记为_______.称为向量的数乘运算.

其方向和长度规定如下:

(1)长度规定:

λa的长度是a的长度的________,

(2)方向规定:

当λ>0时, λ与向量的方向________;

当λ<0时, λa与向量a的方向________;

2.运算律:

空间向量的数乘运算满足分配律及结合律: 结合律:____________________ 分配律1:__________________ 分配律2:__________________

【例题分析】

例1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

（1）1BA CB +; （2）12

1

AA CB AC +

+;（3）CB AC AA --1 C 1

B 1

C

B

A

A 1

例2、如图，在长方体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E ,F 分别是//,B D DB 的中点，设k OK j OJ i OI ===,,,试用向量k j i ,,表示OE 和

OF

F E D'

B'C

B

O D A'

I J

K

例3、空间四边形ABCD 中，连接AC ,

BD ，△BCD 的重心为G ，若

z y x ++=，求x ,y ,z 的值。

【变式练习】

已知空间四边形ABCD ，连接,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r

；

（2）1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r

；

（3）1()2

AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r ．

B

C

D

M

G

A

2 共线向量与共面向量

【学习目标】

1.类比平面共线向量学习空间共线向量,注意体会平面到空间的变化;

2.理解共面向量定理;

3.掌握三点共线、四点共面的充要条件;

4.了解直线和平面的向量表示.

【重点、难点】

共线向量定理和共面向量定理及其简单运用

【新知探究】

一、共线向量

1.定义

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_________________,则这些向量叫做共线向量或_______________.

2.共线向量定理

对于空间任意两个向量,a(≠____),//等价于

________________________________________________________________

3.空间直线的向量表示式

空间中的直线l可由直线上的一点A以及平行于直线l的非零向量(向量叫做直

线l的__________________)确定.即

对空间任意一点O,点P在直线l等价于存在实数t,使

_____________________①

若在l上取=,则①式可化为

_____________________②

①和②式都称为空间直线的向量表示式.

4.三点共线问题

空间中三点A,B,C共线?_______________________________________________

?_______________________________________________

二、共面向量

1.定义

___________________________的向量,叫做共面向量

2.空间中任意两个向量一定是共面向量.三个向量则不一定.

3.共面向量定理

___________________________________________________________________________ 4.平面的向量表示式

空间中任意平面可由空间一点及两个不共线的向量确定

空间一点P 位于平面ABC 内等价于存在___________________,使______________. 或对空间任意一点O ,有________________________________③

③式称为空间平面ABC 的向量表示式 5.四点共面问题

空间中四点A ,B ,C ,D 共面?______________________________________________

?_______________________________________________

【例题讲析】 例

1、(1)设1e ,2

e 是空间中两个不共线的向量,已知

212e k e AB +=,213e e CB +=212e e CD -=且A ,B ,D 三点共线,求k 的值

(2) 已知两个非零向量21,e e u r u u r 不共线，如果21AB e e =+u u u r u r u u r ，2128AC e e =+u u u r u r u u r

，

2133AD e e =-u u u r u r u u r

，求证：,,,A B C D 共面．

例2、(1)若三点A ,B ,C 共线,P 为空间任意一点,且y x =+,则x -y =_______ (2)已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若由向量

OC OB OA OP λ++=3

2

51确定的点P 与A ,B ,C 共面,则λ=__________

例3、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设直线A 1C 与平面BDC 1的交点为E ,求

1

CA CE

1

例4、已知平行四边形ABCD ,过平面AC 外一点O 做射线OA ,OB ,OC ,OD ,则四条射线上分别取点E ,F ,G ,H ,并且使k OD

OH

OC OG OB OF OA OE ====,求证:E ,F ,G ,H 四点共面

例5、E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点,求证:

(1)E,F,D,B四点共面;(2)平面AEF//平面BDHG

1

A

例6、已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE 上,且BM=

3

1

BD,AN=

3

1

AE,求证:MN//平面CDE

3 空间向量的数量积运算

【本节要求】

1. 正确理解数量积和向量的夹角等的概念;

2. 了解投影及数量积的几何意义;

3. 掌握数量积的运算律、性质;

4. 比较数量积和实数运算的异同点,进一步理解数量积的概念

5. 能运用数量积解决垂直、距离、线线角等问题.

【知识点解读】 1.向量的夹角 （1）定义及记法

（2）起点相同，>-<->=-<->=-->=<>=<<,,,,,ππ （3）范围：________________.①0°:________;②90°:_________;③180°:_________. 2.向量的投影

称_________为在方向上的投影,称_________为在方向上的投影.

3.空间向量的数量积

(1)定义及记法:_______________________________________________,且结果是_______ (2)几何意义 (3)运算律

①_________________,②__________________,③_________________. (4)性质

①_______,__________?⊥

②与同向,则_______________,与反向,则_______________, ③______________||≤?b a ④__________||=

⑤><,cos =_________________

[思考] 教材90页

[自学] 教材91页例2、例3

【典例剖析】

类型一数量积的正确理解例1、判断下列说法的正误

则它们垂直

均不为

与

若,0

)

(

)

(

)3(

|;

||

||

|)2(;

)

(

)1(2

2

2

2

2

b

c

a

c

b

a

a

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

?

?

-

?

?

-

=

-

?

+

?

=

?

类型二求向量的模或求空间中的线段长度

例2、(1) (导学案90页基础学习交流第3题) 设a⊥b,=,=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b+c的模为.

(2) (导学案91页探究三) 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D两点间的距离.

类型三证线线垂直

例3、(1) (导学案90页探究一) 已知正三棱柱ABC—A1B1C1,底面边长AB=2,若M为BC1的中点.求证:AM⊥BC.

若A在PB、PC上的射影分别是E、F.求证:EF⊥PB.

类型四求异面直线所成的角

例4、(1) (导学案90页基础学习交流第4题) 如图所示,在空间四边形OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=60°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.

(2) (导学案90页探究二) 已知S—ABC是棱长为1的正四面体,M、N分别是AB、SC的中点,求异面直线SM与BN所成角的余弦值.

4 空间向量的坐标表示、空间向量运算的坐标表示

【目标】

1.理解空间向量基本定理;

2.理解空间向量的坐标表示;

3.正确理解并掌握空间向量运算的坐标表示

【新知探究】

1.空间向量基本定理

定理如果三个向量a,b,c________________,那么对空间中任一向量p,存在______有序实数组(x,y,z),使得____________________.把{a,b,c}叫做空间的一个

________,a,b,c都叫做__________.把有序实数组(x,y,z)叫做在基底{a,b,c}下的坐标.空间任何_________________的向量都可构成空间的一个基底.

练习. (导学案95页基础学习交流1) .已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是().

A.2a,a-b,a+2b

B.2b,b-a,b+2a

C.a,2b,b-c

D.c,a+c,a-c

例1.(教材98页11题)

例2.(导学案95页探究一) 在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为基底,则=.

2.空间向量的正交分解、空间向量的坐标表示

(1)设,,k是空间三个_____________的_______向量,分别以,,k的方向为x轴,y 轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,空间任意一个向量都可以用,,唯一表示,即存在______________________使得______________,我们把x,y,z称作向量在单位正交基底,,k下的坐标,记作__________________

①设点P(x0,y0,z0),则=________________________;

②设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

则=_____________________,AB的中点坐标为_____________________,

|AB|=_________________________________.

3.空间向量运算的坐标表示

(1)空间向量运算的坐标表示

设=(x1,y1,z1),= (x2,y2,z2),则

①+=_______________,-=_______________,λ=_________________.

②a·b=________________

(2)空间向量平行和垂直的坐标表示

设=(x1,y1,z1),= (x2,y2,z2),则

①a//b?_________?________________或_________________________

②⊥?_________?________________

(3)空间向量的模、夹角的坐标表示

设a=(x1,y1,z1),b= (x2,y2,z2),则

①||=_____________________________;

②cos<,>=___________________________________________________.

例3.(导学案96页探究二) 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).

(1)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.(2)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值.

例4.(导学案96页探究三) 已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t ,-),若a 与b 的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.

例5.(导学案97页基础智能检测1) 若ABCD 为平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则顶点D 的坐标为( ).

A.(,4,-1)

B.(2,3,1)

C.(-3,1,5)

D.(5,13,-3).

例6.如图,已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 是AB 的中点,点N 在PC 上,且PN =2NC .P A =AD =1,建立适当的空间直角坐标系,求MN DC ,的坐标

C

D

A

P

N

变练.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面边长为1,高为2,建立适当的空间直角坐标系,写出

111,AC 的坐标.

C 1

A 1

A

1

3.2 立体几何中的向量方法

1 用向量法证明直线、平面的平行和垂直

[知识点探析]

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量

若____________________,则向量a叫作直线l的方向向量.

(2)平面的法向量

如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量_____________,记作_______,如果_______,那么向量a叫作平面α的法向量.

2.用空间向量表示立体几何中的平行于垂直关系

设直线l、m的方向向量分别为a、b,平面α、β的法向量分别为u、v,当l、m不重合,α、β不重合且l、m不在平面α、β内时,有

(1)线线平行:l∥m?____________

线面平行: l∥α? ______________________________

面面平行:α∥β?_________________________________________

(2)线线垂直: l⊥m_______________________________________

线面垂直: l⊥α?_________________________________________

面面垂直:α⊥β?__________________________________________

[典例探析]

例1. (1) 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:BF //ED 1

F

1

A

(2)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥DA 1

1

A

例2.(导学案P100探究一) 已知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(abc≠0),求平面ABC的一个法向量.

变练.(导学案P101应用一) 已知正方体ABCD—A'B'C'D',点E、F、G分别是AB、BC、AA'的中点.求平面EFG的一个法向量.

G

1

A

例3. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1C,且A1E=2EC,求证:

(1)AD1//平面BDE,(2)A1C⊥平面BDE

1 A

例4.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,D为AB的中点,点E,F,G分别在BC,PB,PD 上,且DG:GP=BE:EC=PF:FB=1:2,求证:平面EFG⊥平面PBC

P

变练1.(导学案P102应用二) 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BB1的中点,F是CD的中点.求证:平面A1D1F⊥平面ADE.

变练2.(导学案P102应用三) 图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D 是AP的中点,E、F、G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD,如图2.

求证:AP∥平面EFG.

3.2 立体几何中的向量方法

2 用向量法求空间角

[回顾] 三类空间角

[新知]

一、用向量法求异面直线所成的角

设异面直线l ,m 所成的角为θ,它们的方向向量分别为a 、

b ,则___________________ [例1] (导学案P 105应用一) 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 和CN 所成角的余弦值是 .

[变练1] (导学案P 105探究一)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是D 1D ,BD 的中点,G 在CD 上,且CG=CD ,H 为C 1G 的中点.则EF 与B 1C 所成角为 ;EF 与C 1G 所成角的余弦值为 ;EF 与B 1H 所成角的余弦为_____

二、用向量法求直线与平面所成的角

设直线l 与平面α所成的角为θ,直线l 的方向向量为,平面α的法向量为,则________________

[例2] 已知三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,P A =AC =

2

1

AB ,N 为AB 上一点,且AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点,求SN 与平面CMN 所成角的大小.

A B

C

P

N

M

S