【100所名校】江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考

数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I 卷（非选择题）

一、填空题

1．ABC ?的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ， 60ab =，

面积ABC S ?= ABC ?

则c =________.

2．若数列{}n a 满足(

)*

1220n n n a a a n N

++-+=∈，且1

22,4a

a ==，则数列{}n a 的通项公式为

n a =____________.

3．在△ABC 中，

BC =

， 1AC =，且6

B π

=

，则A =______．

4．在等比数列{}n a 中，已知253432,4a a a a =-+=，且公比为整数，则9a =_______.

5．若在,x y 两数之间插入3个数，使这五个数成等差数列，其公差为()110d d ≠，若在,x y 两数之间插入4

个数，使这6个数也成等差数列，其公差为()220d d ≠，那么12

d

d =______．

6．已知数列{}n a 的前n 项和2

1n S n =+，则15a a += ___________．

7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， ()7193S a a =+则的

5

4

a a 值为____________. 8．已知等比数列的前n 项和为n S ，若32:3:2S S =，则公比q = ．

9．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，

已知2,sin ,a b B C +== sin 2

C

=______________.

10．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*

n ∈N ，总有314

n n n S T +=，则3

3

a b = ． 11．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ．

12．在ABC ?中，已知1,2,b c AD ==是A ∠的平分线，

AD =

，则C ∠=________. 13．在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足22b a ac -=，则11

tan tan A B

-

的取值范围为___________.

14．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，且

222

123

123

a a a

b b b ++++是正整数，则q 等于_______．

二、解答题

15．在ABC ?中， ,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边， （1）若,,A B C 成等差数列，求cos cos A C +的取值范围；

（2）若,,a b c 成等差数列，且4cos 5B =，求11

tan tan A C

+的值． 16．已知数列{a n }是首项为a 1=

14，公比q=14的等比数列，设14

23log n n b a +=（n ∈N *），数列{c n }满足c n =a n ?b n （1）求证：{b n }是等差数列； （2）求数列{c n }的前n 项和S n ．

17．已知数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且()

*1112.41

n n n n N a a S +-=∈-. （1）求2a 的值； （2）设1n

n n n

a b a a +=

-，求数列{}n b 的通项公式；

（3）求数列{}n a 的通项公式；

18．如图，半圆O 的直径为2， A 为直径延长线上的一点， 2OA =， B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，设AOB α∠= (0)απ<<.

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

（1）当α为何值时,四边形OACB 面积最大,最大值为多少； （2）当α为何值时， OC 长最大，最大值为多少．

19．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2222

623455,,a a a a a =+=+数列{}n b 的通项公式为311n b n =-

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）将数列{}n a ,{}4n b +中的公共项按从小到大的顺序构成数列{}n C ，请直接写出数列{}n C 的通项公式； （3）记n

n n

b d a =

，是否存在正整数,m n ()5m n ≠≠，使得5,,m n d d d 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．

20．已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >， ()2

21

410n n n a na

++-=，设数列{}n b 满足2

n n n a b t

=

（1

）求证：数列为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；

（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，均存在*m N ∈，使得2422

11816n n

a S a n

b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.

江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考

数 学 答 案

1．3

【解析】由题意得11

sin 60sin 22

ABC S ab C C ?=

=??=

sin C =． 设又ABC ?外接圆的半径为r

，则2sin c

r C

==

，

∴3c C ===． 答案：3 2．2n

【解析】由递推公式可得： 211n n n n a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差数列，故：

()2112,12n d a a a a n d n =-==+-=.

3．3

π或23π

【解析】在△ABC 中，由正弦定理得

sin sin BC AC

A B

=

，

∴sin sin 6BC B A AC π?=

==，

又BC AC >， ∴6

A B π

>=，

∴3

A π

=

或23

A π

=

． 答案： 3

π或23π

4．256

【解析】由等比数列的性质结合题意有： 25343432{

4a a a a a a ==-+=，解得： 348

{ 4

a a ==-或438{ 4a a ==-，

结合公比为整数可得： 438

24

a q a =

==--， 则： ()()6

69342256a a q ==-?-=-.

点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握

等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应

该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

5．54

【解析】由题意得11,45

y x y x

d d --==

， ∴

1154

d d =． 答案： 54

6．11

【解析】由2

1n S n =+,得

21112a =+= ,

()()

2255451419a S S =-=+-+=. 152911a a +=+=故.

7．

76

【解析】∵()7193S a a =+， ∴

()()1719732

a a a a +=+，

∴4576a a =， ∴

5476

a a =． 答案：

76

点睛：

在等差数列的项与前n 项和的计算中，项的下标和的性质，即若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，常与前n 项和公式()12

n n n a a S +=结合在一起，利用整体思想解题，可简化解题过程，提高运算的速度．

8．112

-

或 【解析】

试题分析：若1q =，必有3211:3:23:2S S a a ==，满足题意；若1q ≠，由等比数列的求和公式可得

()()32113211::3:211a q a q S S q q --==--，化简可得2

12102q q q --=?=-，综上112

q =-或．

考点：等比数列的性质

9

．4

【解析】由sin B C =

及正弦定理得b =，

又2a b =，

∴a =

．

∴2

2

C

A B π

==

-

. 在ABC ?中，由正弦定理得

sin sin a c

A C

=

，

∴

sin cos 2sin cos

sin 222

22c

c

C C C C C

π==

=

??- ???

，

∴sin

24

C ==

． 答案：

4

10．9 【解析】

试题分析：由题意可知，

1

1

1a b =，不妨设11a b t ==，{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，则 221105142S t tq q T t tp p ++====++，222332128714S t tq tq q q T t tp tp p p ++++====++++，解得14p q =??=?（舍去），或3

9p q =??

=?，所以232381

99

a tq

b tp ===； 考点：1.等比数列的通项；2.等比数列的前n 项和； 11．1

2n - 【解析】

试题分析：由2

213a a a =，211a a -=及0n a >得()

2

1311

1

1124a a a a a +==++≥（当且仅当11a =时取等号），此时

22a =，则12n n a -=．

考点：等比数列通项公式，基本不等式. 12．090

【解析】设ABC ?中BC 边上的高为h ，

则有11sin 2211sin 22

ABD ADC

AB AD BAD BD h

S S AC AD CAD CD h ????∠??==

??∠??，整理得2AB BD AC CD ==． 设22BD CD x ==，

在,ABD ADC ??中分别由余弦定理得222222

22AB AD BD AC AD CD AB AD AC AD

+-+-=????，

22

2222

241x x

+-+-=

，解得x =． 在ADC ?

中由余弦定理得2

2

2

1cos 0C +-=

=．

又0180C ?<

点睛：

解答本题时首先根据三角形的面积公式得到三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段与该角的两边对应成比例，利用此结论并结合余弦定理可得到三角形的为止边长，然后在根据要求解题即可．

13

．13??

? ??

?，

【解析】∵22b a ac -=，

∴22222cos b a ac a c ac B =+=+-， ∴2cos c a B a =+，

由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+， 又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴()sin cos sin sin cos sin A A B A B B A =-=-，

∵ABC ?是锐角三角形， ∴A B A =-，

∴2,3B A C A π==-，

∴02

{02 2

032

A A A ππππ<<

<<

<-<

，解得

6

4

A π

π

<<

，

∴

23

2

A π

π

<<

，即

3

2

B π

π

<<

．

∵()sin 11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin sin sin B A A B B A B A A B A B A B A B ---=-==

sin 1

sin sin sin A A B B =

=

．

又

sin 12

B <<，

∴1sin B <<

11

tan tan A B -

的取值范围为? ?

?． 答案：

? ??

点睛：解答本题时注意两点

（1）注意“锐角三角形”这一条件的运用，由此可得三角形三个角的具体范围．

（2）根据三角变换将11

tan tan A B

-

化为某一角的某个三角函数的形式，然后再根据角的范围求出三角函数值的取值范围． 14．

1

2

【解析】由题意可得12131,2,23a d a a d d a a d d ==+==+=， 2222

123,,b d b d q b d q ===．

∴222

22212322222

12349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++， 又222123123

a a a

b b b ++++是正整数，公比q 是小于1的正有理数，

令2141t q q =

++， t

是正整数，可得2

1410q q t ++-=，

解得q =

或q =（舍去）

．

对t 进行赋值可得，当8t =时， 1

2

q =

符合题意． 答案：

12

15．（1）1,12??

???

；（2）2. 【解析】试题分析：

（1）由A B C ，，成等差数列可得23

3

B C A π

π

=

=

-，，于是 2cos cos cos cos sin 36A C A A A ππ???

?+=+-=+ ? ????

?，然后根据6A π+的范围可得所求结果．（2）由4cos 5B =，得3sin 5B =

．由余弦定理得22285b a c ac =+-，又由2a c b +=，可得22224a c ac b ++=，于是得25

6

ac b =，所以25sin sin sin 6A C B =．由三角变换得11cos cosC

tan tan sin sin A A C A C

+=+

625sin B

== 试题解析： （1）∵A B C ，，成等差数列， ∴2A C B += ， ∴23

3

B C A π

π

=

=

-，， ∴2cos cos cos cos sin 36A C A A A ππ???

?+=+-=+

? ????

?．

又203

A π<<， ∴5666

A πππ<+<， ∴

1sin 126A π?

?<+≤ ??

?． ∴cos cos A C +的取值范围是112??

???

，

． （2）△ABC 中，由4cos 5B =

，得3sin 5

B ==． 由余弦定理得222228

2cos 5

b a

c ac B a c ac =+-=+-．①

∵a b c ，，成等差数列， ∴2a c b +=，

∴22224a c ac b ++=②，